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北师大版数学必修四:《正弦函数的图像与性质》导学案(含解析)


第 5 课时

正弦函数的图像与性质

1.能从单位圆得出正弦函数的性质(定义域、值域、周期性,在[0,2π]上的单调性). 2.理解正弦线的含义,能在单位圆中作出角 α 的正弦线. 3.了解正弦曲线的画法,能利用五点法画出正弦函数的简图. 4.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.

如图所示,装满细沙的漏斗在做单摆运动时 ,沙子落在与单摆运动方向垂直的运动的木 板上的曲线轨迹.

问题 1:如下图,设任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(a,b),过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,我们称 MP 为角 α 的 ,如果 b>0,把 MP 看作与 y 轴 ,规定 此时 MP 具有正值 b;如果 b<0,把 MP 看作与 y 轴反向,规定此时 MP 具有负值 b,当角 α 的终 边在 x 轴上时,正弦线变成 .

问题 2:作正弦函数图像的一般方法 (1)描点法:列表,描点,连线. (2)几何法:几何法就是利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像. (3)五点法:正弦函数 y=sin x,x∈ [0,2π]中,

五个关键点为 、 、 问题 3:根据曲线写出正弦函数的一些性质:





.

函数 定义域 值域 周期性 最值 性质 单调性 奇偶性 对称性 对称轴为 增区间 减区间

y=sin x

是周期函数,周期为 2kπ(k∈ Z),最小正周期为 当 当 时,取得最大值 1 时,取得最小值-1

对称中心为点

问题 4: 《创设情境》 中细沙在木板上形成的曲线是 点法”作图画出该曲线的图像.

的曲线,可采用“五

1.y=sin x,x∈ [ , ]的值域为(

).

A.[-1,1]

B.[ ,1]

C.[ , ]

D.[ ,1] ).

2.若 sin x=2m+3,且 x∈ [- , ],则 m 的取值范围为(

A.[- , ] B.[- ,- ]

C.[- ,- ] D.[- , ] 3. 用 “ 五 点 法 ” 作 函 数 y=2+sin x,x∈ [0,2π] 的 图 像 时 的 五 个 点 分 别 是 、 、 、 、 . 4.观察正弦函数的图像,求满足 sin x>0 的 x 的取值范围.

与正弦函数有关的函数的定义域 求函数 y= 的定义域.

与正弦函数有关的函数的值域 求下列函数的值域. (1)y=(sin x-2)2+1;(2)y=msin x+n(m≠0).

正弦函数性质的运用 求函数 y=lo sin x 的单调递增区间.

求下列函数的定义域: (1)y=lg( sin x-1);(2)y=

+

.

求 f(x)=2sin2x+2sin x- ,x∈ [- , ]的值域.

求函数 y=sin(-2x)的单调递增区间.

1.点 M( ,m)在函数 y=sin x 的图像上,则 m 的值为(

).

A.

B.

C.

D.1 ).

2.函数 y=sin x 的图像的一条对称轴方程可以是( A.x=B.x= C.x=D.x=π

3.函数 y=

的定义域为

.

4.判断方程 x+sin x=0 的根的个数.

(2010 年· 江西卷)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1] B.[- ,-1] C.[- ,1]

).

D.[-1, ]

考题变式(我来改编):

第 5 课时

正弦函数的图像与性质

知识体系梳理 问题 1:有向线段 正弦线 同向 一点 问题 2:(3)(0,0) ( ,1) 问题 3:R [-1,1] 2π (π,0) ( ,-1) (2π,0)

x= +2kπ(k∈ Z)

x=- +2kπ(k∈ Z)

[- +2kπ, +2kπ](k∈ Z)

[ +2kπ, +2kπ](k∈ Z) 奇函数 x=kπ+ 问题 4:正弦型函数 基础学习交流

(kπ,0)

1.B 当 x= 时,y 有最大值 1,当 x= 时,y 有最小值 .

2.C

∵x∈ [- , ],∴由 y=sin x 的图像可知 y∈ [- , ],即- ≤2m+3≤ ,解得- ≤m≤- .故 m 的取值

范围为[- ,- ].

3.(0,2)

( ,3)

(π,2) ( ,1)

(2π,2)

4.解:如图,观察正弦曲线可得{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈ Z}.

重点难点探究 探究一:【解析】由题意知 2sin x+1≥0,即 sin x≥- .

在一周期[- , ]内满足的角为 x∈ [- , π],

由此可以得到函数的定义域为[2kπ- ,2kπ+ π](k∈ Z).

【小结】此题等价于求解不等式 sin x≥- ,注意数形结合,利用图像、正弦线可以快速、准 确地得到答案. 探究二:【解析】(1)设 t=sin x,则有 y=(t-2)2+1,t∈ [-1,1], 2 ∴当 t=-1 时,y=(t-2) +1 取得最大值 10;当 t=1 时,y=(t-2)2+1 取得最小值 2, ∴y=(sin x-2)2+1 的值域为[2,10]. (2)∵sin x∈ [-1,1],且 m≠0, ∴当 m>0 时,y=msin x+n 的值域是[n-m,n+m]; 当 m<0 时,y=msin x+n 的值域是[n+m,n-m]. 综上可知,函数 y=msin x+n 的值域是[n-|m|,n+|m|].

【小结】本题用到换元法,先设 t=sin x,得出 t 的取值范围,从而将问题转化为我们熟悉的 一、二次函数的值域问题. 探究三:【解析】令 u=sin x,则 y=lo u,

∵∈ (0,1),∴y=lo u 是关于 u 的减函数,
故只需求 u=sin x 的单调递减区间即可, 而 u=sin x 的单调递减区间为{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈ Z},

∴y=lo sin x 的单调递增区间为[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈ Z).
[问题]sin x 可以小于等于 0 吗? [结论]sin x 不可以小于等于 0,因为它是对数函数的真数,故 sin x>0. 于是,正确解答如下: 令 u=sin x,则 y=lo u,

∵∈ (0,1),∴y=lo u 是关于 u 的减函数,
故只需求 u=sin x 大于 0 的减区间即可, 而 u=sin x 的减区间为{x|2kπ+ <x≤2kπ+π,k∈ Z},

∴y=lo sin x 的单调递增区间为[2kπ+ ,2kπ+π)(k∈ Z),
【小结】解决此题的关键是理解并掌握对数函数和正弦函数的性质.对于复合函数的单 调性问题,注意“同增异减”.同时,注意对数函数的真数大于 0. 思维拓展应用 应用一:(1)由 sin x-1>0,得 sin x> .

作如图正弦曲线 y=sin x 与直线 y= ,

可知所求定义域为(2kπ+ ,2kπ+ )(k∈ Z).

(2)由

得 - ≤sin x<1,作如图正弦曲线 y=sin x 与直线 y=- ,可知所求定义域

为[2kπ- ,2kπ+ )∪ (2kπ+ ,2kπ+ ](k∈ Z).

应用二:令 t=sin x,则 f(t)=2(t+ )2-1,

又 x∈ [- , ], ∴t∈ [-1, ],

∴f(t)max=f( )=1+

,f(t)min=f(- )=-1,

∴f(x)=2sin2x+2sin x- 的值域是[-1,1+

].

应 用 三 :∵y=sin(-2x)=-sin 2x,∴ 只 需 求 sin 2x 的 单 调 递 减 区 间 即 可 , 即 2kπ+ ≤2x≤2kπ+ (k∈ Z),

即 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈ Z),

∴y=sin(-2x)的单调递增区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈ Z).
基础智能检测 1.B 将( ,m)代入 y=sin x 中,得 m=sin = . 2.C 函数 y=sin x 图像的对称轴方程为 x=kπ+ (k∈ Z ).

3.{x|2kπ-

≤x≤2kπ+

,k∈ Z}



+sin x≥0 得 sin x≥-

,由正弦函数图像得

{x|2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈ Z}. 4.解:设 f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出 f(x)和 g(x)的图像,由图知 f(x)和 g(x) 的图像仅有一个交点,即方程 x+sin x=0 仅有一个根.

全新视角拓展 C

y=sin2x+sin x-1=(sin x+ )2- ,∵-1≤sin x≤1,∴- ≤y≤1.

思维导图构建 五点法 (kπ,0)(k∈ Z)

x=kπ+

(k∈ Z)

[-1,1]

[-

+2kπ,

+2kπ](k∈ Z)

[ +2kπ, +2kπ](k∈ Z) 奇函数


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