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2013大学物理竞赛辅导(热学)


大学物理竞赛辅导(热学部分)

一、气体动理论 (一)、新增要求: ?分子热运动的平均自由程:

kT ?? 2 2?d p

? p ? nkT ?

?分子热运动的平均碰撞频率:

z ? 2?d v n
2

RT v ? 1.60 M

例: 1、一定量的理想气体盛于容器中,则该气体分子热运 动的平均自由程仅决定于 A压强 B体积 C温度D分子的平均碰撞频率

kT ?? 2 2?d p

1 ?V ?? ?? ? ? 2 2?d n
p ? nkT

12、在下列四种情况中,何种将一定能使理想气体分子 的平均碰撞频率增大?( )
A增大压强,提高温度; B增大压强,降低温度;C降低压 强,提高温度;D降低压强,保持温度不变

z ? 2?d v n
2
2

? ? RT ? v ? 1.60 ? , p ? nkT ? ? M ? ?

RT p ? 2?d 1.60 ? M kT

3 、如果理想气体的温度保持不变,当压强降为原来 的一半时,分子的碰撞频率为原值的( ),分子的平 均自由程程为原值的( )。

p z ? 2?d v n ? T
2

1/2

kT ?? 2 2?d p

2

8、有一个边长为10cm的立方容器,内盛有标准状态下 的 He 气,则单位时间内原子碰撞一个器壁面的次数的 数量级为( ) (a)1020s-1 (b)1026s-1 (c)1032s-1
析:单位时间内一个原子 与一个器壁碰撞的次数:

1 v ? 6 a
a

单位时间内所有原子与一 个器壁碰撞的次数:

?1 v ? 25 3 Nm ? ? ? ? na ? 7.49 ?10 / s ?6 a?

(二)新增要求:热传导率
设x轴是气体温度变化最大的方向,该方向上气体温
dT 度的空间变化率-----温度梯度: dx

设??S为垂直x轴的某指定平面的面积,则单位时间内 从温度较高的一侧,通过这一平面,向温度较低一侧 所传递的热量,与这平面所在处的温度梯度成正比, 与面积成正比

?Q dT ? ?k ?S ?t dx

x k为热传导率或导热系数
Δs

29-4
如图所示,厚度为l,热导率分别为K1和K2的两块金属大平板,左 右并排紧靠在一起,左侧空气温度恒为T1,右侧空气温度恒为 T3<T1。若两侧空气压强相同,分子数密度分别记为n1和n3,则 n1:n3= 。设K1=2K2,在热传导已达稳定状态时,则两 。 块金属板接触面上的温度T2=

T2 T1 T3

(1)若两侧空气压强相同,分子数密度分别记为n1和n3,则

n1:n3=
解:

p1 ? p 3 n1kT1 ? n 3kT3 n1 T3 ? n 3 T1
T2 T1 T3

(2)设K1=2K2,在热传导已达稳定状态时,则两 块金属板接触面上的温度T2= 0 解:在不同的x处取相同的截 面S,则单位时间通过的热 量Q相等 dT ? k1 S ?Q dx T ?x ? x Q ? dT ? dx ? ? k 1S 0 T1
T1 ? T ? x ? ? T1 ? T2 ? Q x k 1S

。 x x

Q l k 1S

对于右侧的板,

T ?x ?

dT ? k2 S?Q dx Q ? dT ? dx ? ? k 2S 0 T2 Q x k 2S
x

0

x

T2 ? T?x ? ?

Q T2 ? T3 ? l k 2S

两式联立,

Q T1 ? T2 ? l k 1S Q T2 ? T3 ? l k 2S k 1 ? 2k 2

0

x

2T1 ? T3 T2 ? 3

25-16
在两端绝热封顶,半径R2=7.5cm的长 容器筒内,同轴的固定着半径 R1=5cm的长铀棒,两者之间夹着一 层空气。铀因裂变在单位时间、单位 体积内产生的热量为 ?Q=5.5?103W/(m3s),热传导率 Ku=46W/(m?K),空气的传导率 KA=46W/(m?K)。设整个装置与周围 环境间已处于热平衡状态,筒壁与环 境温度同为T2=300K。 (1)计算单位时间、单位长度铀棒 因裂变产生的热量Q;(2)计算铀棒 外表面温度T1;(3)计算铀棒中央 轴处温度T0;(4)计算筒内R1处空 气密度?1与R2处空气密度?2间的比值 ?

r

R1,T1 R2,T2

(1)计算单位时间、单位长度铀棒因裂变产生的热 量Q:
Q ? ?Q ?R ? 5.5 ? 10
2 1 3 2 ? ? ? ? ? 0.05 ? 43.2J

(2)计算铀棒外表面温度T1

热平衡时,单位时间通过该单位长度空气柱面向 外所传递的热量: ?Q dT ? ?k A ?S ? Q R1,T1 r
?t dr dT ? kA 2?r ? Q dr Q ? ? dT ? 2?k A T1
T2 R2

R2,T2

dr ? ? r R1

Q R2 T1 ? T2 ? ln ? 624K 2?k A R 1

(3)在铀棒内部取一单位 长度同轴柱面,热平衡 时,单位时间铀棒通过 该面向外所传递的热量:
?Q dT ? ?k u ?S ? Q ?t dr dT ?k 2?r ? ? Q ?r 2 dr T1 R ?Q 1 ? ? dT ? rdr ? ? 2k u 0 T0
2 ? QR 1 T0 ? T1 ? ? 624.07K 4k u

R1,T1

r R2,T2

(4)计算筒内R1处空气密度?1与R2处空气密度?2间 的比值?
热平衡时压强同,P=nkT=常量 所以

?1T1 ? ? 2 T2 ? ?1 T2 ?? ? ? 0.481 ? 2 T1

(三)、麦克斯韦气体分子速率分布律 1) 速率分布函数 :
f(v)
面积=

dN f (v ) ? Ndv
dNV
N

O

v v+dv

v

表示速率分布在速率 v 附近单位速率间隔内的 分子数占总分子数的比率 (相对分子数)。

2) 麦克斯韦速率分布律

dN m 32 ? f (v)dv ? 4? ( ) e N 2?kT

mv2 ? 2 kT

v dv

2

此数学表达式适用于平衡态的任何气体

7 理想气体处于平衡态时,根据麦克斯韦速率分布函数
dN m 32 ? f (v)dv ? 4?( ) e v 2dv ,可导得分子平 N 2?kT 动动能在 ? 到 ? + d ? 区间的概率为f(?)d ?=
1 其中 ? ? mv 2 。 在根据这一分布式,可导得分子平动 2
mv 2 ? 2kT

动能的最可几值 ?p =

1 ? ? mv 2 ? d? ? mvdv 2

dN m 32 ? f (v)dv ? 4?( ) e N 2?kT ? ? 2 ?3 2 ?kT ? ?e kT d? ? ?

mv 2 ? 2kT

v 2dv

df ?? ? 1 ? 0 ? ? ? kT d? 2

3) 三种统计速率
(1)最概然速率:反映速率分布的基本特征 。
vp ? 2kT RT ? 1.41 m M

f(v) f(vp)

O

vp

v

(2)平均速率:大量气体分子速率的算术平均值。 反映分子迁移、碰撞的基本特征。

? v?

?

0

vdN N

? ?

?

0

vNf (v)dv N

? ? vf (v)dv
0

?

8kT RT v? ? 1.60 m M

(3)方均根速率:与分子的能量有关,用于 讨论气体的压强和温度。

v

2

? ?

?

0

v dN N

2

? ?

?

0

v Nf (v)dv N

2

??

?

0

3kT v f (v)dv ? m
2

3kT RT v ? ? 1.73 m M
2

f(v)

T

v ? v ? vp

2

O

vp v

v2

v

f(v)
f(vp1)

2.讨论
T1
T2



v p , v, v 2 与


T

呈正比,

f(vp2) f(vp3)

m

成反比。
1 2

T3

4 ? m ? f (v p ) ? ? ? e ? ? 2kT ?

O

vp1 vp2

vp3

温度越高,速率大的分子数越多

2kT RT vp ? ? 1.41 m M

v

例: 5 、处于平衡态的气体系统中 , 分子运动的速率分布律 可图示为( );速度分布律可图示为( ).已知0C温度下氮 气分子的方均根速率大约为 493m/s ,则该温度下氧气 分子的方均根速率为( );25C下氧分子的方均根速 率为( ),1摩尔氧气的定体热容量为( ) f(v)

f(vi)

O

v

O

vi

v

2

N

2

3RT 2 2 ? ? v o ? 461m / s M N2

250C下氧分子的方均根速率为:482m/s

1摩尔氧气的定体热容量为: 5R/2

6、设气体分子服从麦克斯韦速率分布律,
平均速率,

vp

v

代表

代表最可几速率, ?v为一固定的速率

间隔, 则速率在

v ? ?v

范围内的分子的百分率

随着温度的增加将(减小 ),速率在

vp ~ v

之间

的分子的百分率随着温度的增加将(不变 ) f(v) T1 8kT RT v? ? 1.60 T2 m M T3
O

vp

v

v

m 32 f (v) ? 4? ( ) e 2?kT
vp ?

mv 2 ? 2 kT

dN v ? Ndv
2

2kT RT ? 1.41 m M

8kT RT v? ? 1.60 m M

?v ? v ? v p ? 0.13v p

? ?N 4 ? v ? ? e ? f ?v ??v ? ? N v ?? ? p? ???? ? 10.8%
代入v p

2

? v ?? ? vp ?

? ? ? ?

2

?v vp

17 、已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图, 试在图上定性画出相同温度下氢气分子的速率分布 曲线 f(v)
N2 H2

m 32 f (v) ? 4? ( ) e 2?kT
v

mv 2 ? 2 kT

v

2

O

4 ? m ? f (v p ) ? ? ? e ? ? 2kT ?

1 2

(四)能量按自由度均分定理 气体处于温度为T的平衡态时,分子任何一个自由
1 度的平均动能都相等,均为 kT 2

理想气体的内能:

所有分子动能与分子内原子间势能的总和
气体的内能: 所有分子相对质心参照系的动能与分子间相互作用 势能的总和

分子的平均 分子的平 分子平
平动动能 均动能 均能量

理想气体 的内能

单原子
分子

3 Ek ? kT 2

3 m 3 3 RT Ek ? kT Ek ? kT E ? 2 M 2 2 5 Ek ? kT 2 6 Ek ? kT 2 m 5 5 RT Ek ? kT E ? M 2 2 7 m 7 Ek ? kT E ? RT 2 M 2

双原子分 3 子(刚性) Ek ? kT 2 双原子分 3 子(弹性) Ek ? kT 2

例:

10、在常温下,氦气的定压摩尔热容是 A R B R C 3R D 2R E 5 R 2 2 2 11、一个大气压下270C时空气分子的平均动能是 :

5 ? 20 kT ? 1.04 ?10 J 2

二、热力学理论
(一)可逆过程:无摩擦的准静态过程

如果一个系统p进行后,存在另一个过程q,可以使 原过程反方向进行,使系统和外界都恢复到原来的状态 而不留下任何影响,那么原来的过程称为可逆过程。反 之称为不可逆过程。
例: 一个系统经历的过程是不可逆的,就是说,该系统不可能 再回到原来的状态。 ?

(二)准静态过程
无限缓慢进行的过程,有一系列依次接替的平衡态组成 的过程,可以系统状态图上一条曲线表示---过程曲线 四个等值过程:

p V ? C; ? C T V P ? C; ? C T T ? C ; PV ? C 绝热;PV ? C , TV
? ? ?1

? C, P T

? ?1

??

?C

(三)热力学第一定律

Q ? ?E ? W
适用于两平衡态间任意系统的任意过程
例: 12 、一定的理想气体从体积 V 的初状态,变到体积为 2V的末状态,则不论经历什么过程,系统必然对外做 正功。 X W=0 理想气体 自由膨胀

29-5

单原子分子理想气体经历的三个准静态过程AB1,AB2,AB3如 图所示,这三个过程的吸热量依次为Q1,Q2,Q3,其中最大者 为 。这三个过程的摩尔热容量依次记为Cm1,Cm2,Cm3, 其中最大者为 。
解:过程AB1吸热: p 2p0 Q1 p0 A V0 B1 Q2 Q3 B3 V B2

Q 1 ? ?E ? ?C V ?T 3 3 ? ? RT0 ? p 0 V0 2 2 3 Cm1 ? R 2

2V0

过程AB2吸热:

p 2p0 Q1 p0 A V0 B1 Q2 Q3 B3 V

Q2 ? ?E ? W 3 ? ?CV ?T ? p0V0 2 9 3 ? ? RT0 ? p0V0 2 2 ? 6?RT0 ? 6 p0V0 Cm 2 ? 2 R
过程AB3吸热: Q2最大 Cm3最大

B2

2V0

5 5 Q 3 ? ?Cp ?T ? ? RT0 ? p 0 V0 2 2 5 Cm 2 ? R 2

13、隔板C把绝热材料包裹的容器分为 A、B两部分。如 图所示,A室充以真实气体,B室为真空。现将C打开, A室气体充满整个容器,在此过程中,内能应( )

A

C

B
不变

绝热自由膨胀 Q ? 0,W ? 0 ? ?E ? 0

14、用一不导热的活塞,把气室分成A、B两部分,内 有理想气体。活塞和气室间无摩擦 。开始时 tA=270C , tB=370C ,活塞最终达平衡状态。现将活塞固定,同时使 A、 B的温度各升高 100C,然后撤去对活塞的固定,活塞 将向( B)侧运动。(9)

A

B

初始条件:

A

B

TA ? 300K ; TB ? 310K ; pA ? pB ? ? 310K ; TB ? ? 320K 末态: TA vA保持不变;vB保持不变
p A p? 310 A ? ? p? pA A ? ? TA TA 300 p B p? 320 B ? ? p? pB B ? ? TB TB 310

p? 961 A ? ? p? 960 B

活塞将向( B)侧运动。

28-12如图所示,在内壁光滑固定 直立的圆筒形气缸内,有一个质量 可略的活塞A紧密地与汽缸壁接触, 此活塞上有一个小孔,装有只能朝 下打开的阀门K1。气缸的下部有一 个固定的薄隔板C和一个固定在缸 壁上厚度可忽略的卡环B,隔板C 的中央有一个小孔装有只能朝下打 开的阀门K2。隔板C和气缸底部的 距离为L,卡环B到隔板C的距离为 L/2,活塞A能够达到的最高位置在 隔板C的上方4L处。开始时A在最 高位置,气缸内A到C之间以及C下 方的气体压强与外界大气压强相同, 均为p0。假设阀门K1、 K2。打开 和关闭时间均可略。

A
K1 向下 4L B L/2 C 固定 K2 向下

L

(1)在等温条件下,使活塞 A从最高位置缓慢朝下移动, 直到最低位置B处,试求此时 隔板C下方气体的压强P1。 (2)再将活塞A从B处朝上拉, 拉到距C的高度h达到什么值 时,方能使C上方气体的压 强等于p0? (3)令活塞A从B处移动到 L/2 原最高位置,然后再次移动 到B处,如此反复进行,试 求隔板C下方气体压强所能 达到的最大值?

A
K1 向下 4L B C 固定 K2 向下

L

(1)已知:初态pA= pC =p0 T=C; A 末态:A pA B K2 打开

P0 K1 向下

A

求:C下气体压强p1=? 解:研究系统:

PA B L/2 PC C 固定 向下 K2

4L

A活塞下气缸内的气体
3 p0 ? 5 L ? p1 ? L 2 10 ? p1 ? p0 3

L

(2)已知:A在B处

P0 K1 向下

A

PA=pC=10p0/3,
PA A K2关闭

l=3/2L
PA<pC

求:A拉到距离C的高度h=? pA=p0 解:研究系统: A活塞与C之间的气体
1 p1 ? L ? p0 ? h 2 5 ?h? L 3

PA B L/2 PC K2 C 固定

4L

向下 L

(3)已知:A在B处

P0 K1 向下

A

PA=pC,

l=3/2L

B? ? 原最高位置 求:C下气体压强的最高 值pe? L/2

PA B

4L

解:研究系统:

C 固定 PC K2

A活塞下气缸内的气体

向下 L

设A第N次从最高位置移动 到B时,C下气体压强达到最 高值pN=pe,当A第N+1次从 最高位置移动到B时,C下气 体压强pN+1=pe
初态:A位于最高位置, 开始第第N+1次压缩 末态:A位于B L/2

P0 K1 向下

A

PA B C 固定 PC K2

4L

3 p0 ? 4 L ? p N L ? p N ?1 ? L 2 ? p N ? 8 p0

向下 L

11.每边长76cm的密封均匀正方形导热细管按图1所示直 立在水平地面上,稳定后,充满上方AB管内气体的压 强PAB=76cmHg,两侧BC管和AD管内充满水银,此时 下方DC管内也充满了该种气体。不改变环境温度,将 正方形细管按图2所示倒立放置,稳定后试求AB管内气 体柱的长度lAB. D C A B

D

图1

C

A

图2

B

AB初态:

CD初态:

A l0 D

B

PAB ? 76cmHg ; PDC ? PAB ? 76cmHg l0 ? 76cm
AB末态: CD末态:

图1
C

D

l AB ? l0 ? 2 x; ? ? PCD ? ? ?76 ? x ?cmHg ; PDC ? PAB
A
x

lAB

图2

x

B

对AB、CD应用等温过程方程: A

B l0

? l AB ; PABl0 ? PAB ? ?l0 ? 2 x ? PCD l0 ? PCD

D D

图1
C

x ? 19.6cm l AB ? 36.8cm;

lAB

A

x

图2

x

B

15、摩尔质量为?、摩尔数为?的单原子理想气体进 行了一次x过程,在p-V图上过程曲线向下平移P0后, 恰好与温度为T0的等温曲线重合,则x过程的过程方 程(V-T关系式)为( ),x 过程的比热c与压强的 关系为c=( ) P

V?

?R
p0

?T ? T0 ?

P0
T0

x

R? p 3? ? c? ? ? ? ?? p 2 ? 0 ?

P0 V

解(1)设A态气体的状态 方程是:

P P0

A x B P0

? p ? p0 ?V ? ?RT0
?V ?

pV ? ?RT

T0

?R
p0

?T ? T0 ?

V

dQ (2)比热 c ? dTdm

设在x过程中有一微小变化

微小过程的过程方程: dV ?

?R
p0

dT

利用热力学第一定律

P P0

A x B P0

dQ ? dW ? dE 3 ? pdV ? ? RdT 2
(2)比热

T0

V

1 dQ c? M dT 1 dQ R ? p 3 ? ? ? ? ? ? ? ?? dT ? ? p0 2 ? ?

17、图中MN为某理想气体的绝热过程曲线, ABC是 任意过程,箭头表示过程进行的方向。ABC过程结束 后气体的温度(增加、减小或不变)( );气体所吸 收的热量为(正、负或零)( )。 减小
解:(1)MN绝热过程Q=0 A经MN到达C,W>0 内能降低,TC<TA P 负

M
A N

(2)设一循环过程 ABCNM:W<0,QNM=0
QABC<0

B

C

V

28、一绝热容器被一活塞分隔成两部分,其中分别充有一 摩尔的氦气和氮气,设初始时 He 的压强为 2atm ,温度为 400K,N2的压强为1atm,温度为300K。由于两则压力不 等,活塞将在容器内滑动。假定活塞是导热的,摩擦可以 互略不计, He 和 N2 均可视为刚性分子理想气体,求最终 达到平衡时He的压强和温度(2) T=337.5k;P=1.35atm

He

N2

解:系统总内能不变;总体积不变
初态: He N2
He : p1 ? 2atm, T1 ? 400 K , n1 ? 1mol N 2 : p2 ? 1atm, T2 ? 300 K , n2 ? 1mol

末态:p,T相同 内能不变 体积不变
CV 1 ?T ? T1 ? ? CV 2 ?T ? T2 ? ? 0
n1 RT1 n2 RT2 ?n1 ? n2 ?RT ? ? p1 p2 p

T=337.5k

P=1.35atm

29 、一气缸的初始体积为 30.5l ,内盛空气和少量水 (水的体积可略),总压强为 3atm. 作等温膨胀时体 积加倍,水恰好全部消失,此时压强为2atm。继续等 温膨胀,使体积再次加倍。空气和水汽均可看作理想 气体。试求( 1 )气体的温度;( 2 )最后的压强; (3)水和空气的摩尔数。 T0=100k, p3=1atm, n1=n2=2mol

解:
初态

V1 ? 30.5l , T0 , p总1 ? p空气1 ? p饱和 ? 3atm V2 ? 2V1 , T0 , p总2 ? p空气 2 ? p饱和 ? 2atm

中间态 末态

V3 ? 4V1 , T0 , p3
(1)初态到中间态: 对空气应用等温过程方程

? p1 ? p总1 ? p饱和 ? ? p1V1 ? p2V2 ?p ? p ? p 总2 饱和 ? 2

p饱和 ? 1atm(T0 ? 373K )
(2)从中间态到末态 对混合气体应用等温过程方程

p总2V2 ? p3V3

p3 ? 1atm
(3)将状态方程用于初态的空气:

p1空气V1 ? n1RT0 ? p1空气 ? p1总 ? p饱和 ? p3V3 ? ?n1 ? n2 ?RT0

n1 ? 2mol

水的摩尔数:

n2 ? 2mol

30、有n摩尔的理想气体,经历如图所示的准静态过程, 图中是P0,V0是已知量,ab是直线,求:
(2)在该过程中温度最高值是什么?最低值是什么? 并在P-V图上指出其位置。 P a(3P0,V0) W=Q=4 P0V0 4 P0V0 (2P0,2V0)温度最高 nR b(P0,3V0) 3P0V0 a或b温度最低 nR V

(1)气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量。

P

解: n摩尔,P0,V0
(1)由图知

a(3P0,V0)

paVa ? pbVb ? Ta ? Tb
由图线下面积知

b(P0,3V0)

W ? S ? 4 p0V0
由热一律,气体在该过程中吸收的热量:

V

Q ? ?U ? W ? 4 p0V0

(2)由图知,ab过程 方程: p0 p ? ? V ? 4 p0 V0

P

a(3P0,V0)

?? ? ?? p0 4 p0V 2 T ?? V ? nRV0 nR

pV ? nRT

b(P0,3V0)

V

dT ?0 V ? 2V0 ?过程方程 ?? ?? p ? 2 p0 dV d 2T ? 2 p0 ? ? 0 ?2 p0 ,2V0 ?为温度极大值点 2 dV nRV0

P a或b温度最低

a(3P0,V0)

Tmin

pV 3P0V0 ? ? nR nR

b(P0,3V0)

V

31、2摩尔单原子理想气体从初态经历一热容量 c=2R(1 +0.01T)的准静态过程,到达温度为初态温度的2倍、体
积为初态体积的 2 倍的终态。试求内能增量?E及系统对 外所作的功A

T0 ? 69.3k ?E ? 1728 J W ? 621J

解:热容量

dQ C? ? 2 R?1 ? 0.01T ? ? dT dQ ? 2 R?1 ? 0.01T ?dT ( 1)

由热一律

dQ ? dE ? dW ? nCV dT ? pdV 3 CV ? R 2 nRT p? V dT dV 0.01dT ? ? 2T V

( 2)

(1)从初态到末态积分
2T0

T0

? 0.01dT ? ?
T0

2T0

dT ? 2T

2V0

V0

?

dV V

T0 ? 69.2 K

(2)从初态到末态内能增量
?E ? nCV ?2T0 ? T0 ? ? 1728J

(3)从初态到末态吸收的热量
Q ? ? CdT ?
T0 2T0 2T0 2 ? ? 2 R 1 ? 0 . 01 T dT ? 2 RT ? 0 . 03 RT 0 0 ?

T0

系统对外做功:
W ? Q ? ?E ? 621J

大学物理竞赛辅导(热学部分)
三、热一律与循环效率计算 四、热二律与熵增原理 五、实际气体

33、某单原子理想气体经历的一准静态过程中,压强 p 和温度 T成反比例关系。( 1 )试求此过程中该气体 的摩尔热容量C;(2)设此过程中某一状态的压强为 p0 ,体积为 V0 ,试求在体积从 V0 增到 2V0 的一般过程 中气体对外做功量W?。

7 C ? R;W ? ? 2 2 ? 1 P0V0 2

?

?

解(1)依题意,过程方程可表述为:
(2)状态方程

p?

?
T

pV ? nRT

(3)由热一律 dQ ? dE ? dW ? nCV dT ? pdV

(1)( 2) ? V ?
n

n

?

RT

2

dV ? 2

n

?

RTdT

3 ? dQ ? 2 pRTdT ? n RdT ? 2 7 7 C? R ? nRdT 2 2

(4)系统对外做的功

由过程方程

V?

n

dW ? pdV ? 2nRdT
V0 2V0 ? 2 ? T ? 2T0 2 T0 T
W ? ? dW ?

?

RT 2

? 2 2 ? 1 p0V0

?

?

T0

? 2nRdT ? 2?
2T0

2 ? 1 nRT0

?

5-3-11(p140) 水平放置的绝热气缸内有一不导热的隔板,把气缸分 成A,B两室,隔板可在气缸内无摩擦的平移,如图 所示,每室中容有质量相同的同种单原子理想气体, 它们的压强都是P0,体积都是V0,温度都是T0。今通过A 室中的电热丝T对气体加热,传给气体的热量为Q, 达到平衡时A室的体积恰为B室的两倍,试求A、B两 室中气体的温度。
4T0 ?Q ? 3P0 V0 ? TA ? 9P0 V0 T 2T0 ?Q ? 3P0 V0 ? TB ? 9P0 V0

A
隔板

B

3 解: n1 ? n2 ; CV ? R; 2 T 初态: p0 ,V0 , T0 , Q
末态: p A ? pB ,VA ? 2VB
(1)由状态方程
p0V0 ? nRT0 ? p AV A ? nRT A ? ? p BVB ? nRTB ? TA ? 2TB ?p ? p B ? A

A

B

隔板

?V A ? 2VB ? ? 4 2 V A ? VB ? 2V0 ? V A ? V0 ;VB ? V0 ? 3 3 ?

(2)对A,B组成的 系统应用热一律

T

A

B

Q ? ?E ? nCV ?TA ? T0 ? ? nCV ?TB ? T0 ? 3 p0V0 ?3TB ? 2T0 ? ? 2 T0

隔板

4T0 ?Q ? 3P0 V0 ? TA ? 9P0 V0 2T0 ?Q ? 3P0 V0 ? TB ? 9P0 V0

三、热一律与循环效率的计算 热机的循环效率

W Q2 ? ? ? 1? Q1 Q1
卡诺热机的循环效率

Q1是系统在整个循环过程 中的总吸热。Q2是系统在 整个循环过程中的总放热。

T2 ? ? 1? T1



36、某气体系统在p?V图上的一条循环曲线如图所示,试 求证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量 (12) P

V

反证法: 设循环过程中摩尔热容 量是常量C,则循环过 程中吸收的热量:

P

Q ? ? dQ ? ? ?CV dT ? 0
循环后系统恢复原态,其内能增量: ?U ? 0

V

但系统对外做功不为零,与热一律矛盾

5.单原子分子理想气体热循环过程如右图所示,其效率 η= 。工作于该循环过程所经历的最高温度 热源与最低温度热源之间的可逆卡诺循环效率η卡= ? 解: P 2P0 P0 W=ΔS=P0V0 AB过程吸收的热量: D C T0 T1 A B T2

(1)系统对外作的功:

QAB ? ?C p ?T2 ? T1 ?; C p ? CV ? R

V0 p0V0 ? ?RT0 ;2 p0V0 ? ?RT1; ?2 p0 ??2V0 ? ? ?RT2

2V0

V

QAB ? 10 p0V0 ;
DA 过程吸热:
QCD 3 ? ?CV ?T1 ? T0 ? ? p0V0 2

P 2P0 P0

T1 A

B

T2

循环过程吸热:

Q1=QAB+QDA=13p0V0/2
该循环循环效率:

D V0

C T0

W 2 ?? ? Q1 13

2V0

V

(2)可逆卡诺循环效率
T0 T0 η卡= 1 ? ? 1 ? T2 4T0 3 ? 4

P 2P0 P0

T1

A

B

T2

D V0

C T0

2V0

V

8 一个平均输出功率为50MW的发电厂,热机循环的 高温热源温度为T1=1000K,低温热源温度T2=300K,理 论上热机的最高效率为 。如果该厂只能达到 这个效率的70%,为了产生50MW的电功率,每秒需 要消耗 J的热量。

T2 ? ? 1 ? ? 70%; T1 W ?? ? 70%? ? ; ? Q 吸热 W 50 Q? ? MJ/s 49% 0.49

25-6
四个恒温热源之间关系为 T1=???T2=?2T3=?3T4,其中常 数?>1。工作于其中两个任选 热源之间的可逆卡诺热机的循 环效率最大可取值 ?max= ; 由这四个热源共同参与的某个 可逆循环如图所示,途中每一 条实线或为T1、T2、T3、T4 等温线,或为绝热线,中间两 条实线与其间辅助虚线同属一 条绝热线。此循环效率为?=

P

T1
T2

T3 0

T4 V

25-6 卡诺循环的效率:
T2 ? ? 1? T1

P T1
T2

? max

T4 ? 1 ? (? ? 1) T1 1

? max ? 1 ?

T3 0
1

?3

T4 V

循环过程效率:

?1 ? 1 ?

?2
1 ? ? 1? 1

? 2 ? ?1 ? 1 ? ??
Q1 ? Q1 ?

?2 W1 ? W1? ?1Q1 ? ? 2Q1?
Q1 ? Q1 ?

?2

14-22设想某种双原子分子理想气体,在温度低于2T0时
5 等体摩尔热容量为 R ,在温度高于2T0时,等体摩 2 7 尔热容量增至 2 R 。该气体所经历热循环过程如图所

示,试求循环效率.

P

B 3T0 (等温线) C

A
0

T0(等温线)D
V0 3V0
V

解:首先判断吸热和放热过 程: 吸热:AB,BC

P

B 3T0 (等温线) C A
0

放热:CD,AD

QAB ? ?CV 2TB ? ?CV 1TA 7 5 ? ? R ? 3T0 ? ? R ? T0 2 2 ? 8?RT0 ? 0 吸热
QBC ? WBC

T0(等温线)D
V0 3V0
V

VC ? ?R3T0 ln ? 3?RT0 ln 3 ? 0 VB

吸热

QCD ? ?CV 1TD ? ?CV 2TC 5 7 ? ? R ? T0 ? ? R ? 3T0 2 2 ? ?8?RT0 ? 0 放热
Q DA ? WDA VA ? ?RT0 ln VD

P

B 3T0 (等温线) C A
0

T0(等温线)D
V0 3V0
V

? ? ?RT0 ln 3 ? 0

放热

总吸热 Q1 ? QAB ? QBC ? ?RT0 ?8 ? 3 ln 3? 总放热 Q2 ? QCD ? QDA ? ?RT0 ?8 ? ln 3?

循环效率:

P

Q2 ? ? 1? ? 19.5% Q1

B 3T0 (等温线) C A
0

T0(等温线)D
V0 3V0
V

5-3-20 P-V坐标面上,单原子分子理想气体的两条等压线和两条等体线 围成的矩形ABCD如图所示。状态B的温度是状态D的温度的4倍, 状态A与状态C的温度相同,过A、C的等温线已在图中画出。将 循环过程ABCA、ACDA的效率分别记为?1和?2 ,试求: ?1和?2 的比值

P

?1 ? 0.917 ?2

A

T2

B T3
C T2 V V2

0

T1D

V1

5 3 C ? R , C ? R, T3 ? 4T1 解: p V 2 2

P A T2 B T3 C T2 V V2
V2 T2 ? 2T1 , ? 2 V1

由状态方程:

A : p2V1 ? ?RT2 B : p2V2 ? ?RT3 C : p1V2 ? ?RT2 D : p1V1 ? ?RT1
0
T1D V1

V2 T2 T3 ? ? (T3 ? 4T1 ) V1 T1 T2

P 循环ABCA:
QAB ? ?C p ?T3 ? T2 ? ? 5?RT1 ? 0

A

T2

B T3 C T2 V V2

QBC ? ?CV ?T2 ? T3 ? ? ?3?RT1 ? 0
QCA

0

T1D V1

V1 ? W ? ?RT2 ln ? ?2 ln 2?RT1 ? 0 V2

效率:

?1 ? 1 ?

QBC ? QCA QAB

2 ? ?1 ? ln 2? 5

V2 T2 ? 2T1 , ? 2 V1

P A T2 B T3 C T2 V V2

循环ACDA:
QAC
QCD

V2 ? ?RT2 ln ? 2 ln 2?RT1 ? 0 V1 5 ? ?C p ?T1 ? T2 ? ? ? ?RT1 ? 0 2 0

T1D V1

3 QDA ? ?CV ?T2 ? T1 ? ? ?RT1 ? 0 2

效率:

?2 ? 1 ?

QCD QAC ? QDA

2?2 ln 2 ? 1? ? 4 ln 2 ? 3

P A T2 B T3 C T2 V V2

?1 ? 0.917 ?2

0

T1D V1

37 、 1mol单原子理想气体从初态( a 点) p0 = 32Pa 压 强,体积 V0 = 8m3 经 p—V 图上的直线过程到达终态 ( b 点)压强 p1 = 1Pa ,体积 V1 = 64m3 ;再经绝热过 程回到初态,如此构成一循环。求此循 环的效率(7)
52% P P0 a c b P1 V0 V1

V

解:

P

a c

p0 ? 32 Pa,V0 ? 8m3 , p1 ? 1 pa,V1 ? 64m3 P0

(1)求吸热放热的转折点C

b
P1 V0 V1 V

dQ ? 0 3R ?? dT ? pdV 2

设直线的过程方程: p ? ? ? ?V 直线上任一点:

pV ? ?RT

1 T? ?V ? ?V 2 ?R

?

?

P

对某一微小过程:
1 dT ? ??dV ? 2?VdV ? ?R

a c

P0

b
P1 V0 V1 V

代入热一律:

?5 ? dQ ? ? ? ? 4?V ?dV ?2 ?
若该过程在C点附近: dQ ? 0
p ?? ? ?V

5? VC ? 8?

3 ?? ? ?? pC ? ? 8

P

由a,b两点坐标

a c

P0

255 31 ?? ;? ? 7 56

b
P1 V0 V1 V

pC ? 13.7 pa,VC ? 41.1m3
(2)效率

QAC ? ?E ? W ? 0

QCB ? ?E ? W ? 0

? ? 1?

QCB QAC

? 52%

28-5单原子分子理想气体所经循环过程ABCA和ACDA 如图所示,对应的效率?ABCA= , ?ACDA= 。
(1)ABCA 判断吸热、放热 P 2P0 P0 o B A V0 2V0 C

p0V0 ? ?RT A 2 p0V0 ? ?RTB 2 p0 2V0 ? ?RTC

D

V

AB、BC吸热;CA放热

QAB ? ?CV ?TB ? TA ? 3 ? ??RTB ? ?RT A ? 2 3 ? p0V0 ? 0 2
QBC ? ?C p ?TC ? TB ? 5 ? ??RTC ? ?RTB ? 2 ? 5 p0V0 ? 0

P 2P0 P0 B A V0 2V0 C D

o

V

Q吸 ? Q AB ? Q BC ? 6.5 p0V0 W 0.5 p0V0 1 ?? ? ? Q吸 6.5 p0V0 13

(2)ACDA 判断吸热、放热

P

2P0
P0 o

B
A V0

C
D

p0V0 ? ?RT A 2 p0 2V0 ? ?RTC p0 2V0 ? ?RTD

2V0

V

AC(热一律)吸热;CD、DA放热

QCD ? ?CV ?TD ? TC ? 3 ? ??RTD ? ?RTC ? 2 ? ?3 p0V0 ? 0
QDA ? ?C p ?TD ? TA ? 5 ? ??RTD ? ?RT A ? 2 ? ?2.5 p0V0 ? 0
系统对外界做功: W=0.5p0V0

P 2P0 P0 B A V0 2V0 C D

o

V

Q放 ? Q CD ? Q DA ? 5.5 p0V0 0.5 p0V0 1 W ?? ? ? Q放 ? W 6 p0V0 12

38、等容热容量为常量的某理想气体的两个循环过程 曲线如图所示,图中的两条斜直线均过 p?V坐标面的原 点O,其余各直线或与p轴平行或与V轴平行。试证:这 两个循环过程的效率相等.(11)
P A B C E G o F V

解(1)

P A

计算ABCA循环效率
判断吸热、放热 AB:吸热;BC:放热; CA:放热 吸热: G o

B C E F V

Q1 ? QAB ? ?E ? W pV ? ?RT p ? k ABV

Q1 ? QAB

? CV 1 ? 2 ? k AB ? ? ? VB ? VA2 ? R 2?

?

?

循环过程系统对外做功:

P A

B C E G F V

1 W ? ? pB ? p A ??VB ? VA ? 2 k 2 ? ?VB ? VA ? 2
ABCA效率:
o W VB ? VA ?? ? Q1 ? 2CV ? ? 1??VB ? VA ? ? ? R ?

VB ? VA ?只与 、CV 有关, VB ? VA 与斜率无关,

P A

B C E G F V

ABCA和GEFG循环CV 相同,
VB ? VA VE ? VG ? VB ? VA VE ? VG

o

所以这两个循环过程的效率相等

32、某理想气体经历的正循环过程 ABCDA和正循环 过程 AEFGA 如图所示,有关特征态的状态参量在图 中已经给出,各自效率分别记为?1和?2, 试 证: ?2 : ?1 =4:3(15) P 3P0 2P0 E F

B A

C

P0
o

D

G

V0

2V0 7/3V0 V

解:设理想气体的摩尔数 为n,态A温度T0, (1)根据状态方程:

P 3P0 2P0 P0

E

F

pV ? nRT
TB ? 2T0 ; TC ? 4T0 ; TD ? 2T0 ; TE ? 3T0 ; TF ? 7T0
(2)ABCDA循环效率

B A V0

C D G

o

2V0 7/3V0 V

Q1 ? QAB ? QBC ? n?CV ? 2C p ?T0 W1 ? p0V0 ? nRT0

ABCDA循环效率:
W1 R ?1 ? ? Q1 CV ? 2C p

P 3P0 2P0 P0

E

F

B A V0

C D G

(3)AEFGA循环效率
4 8 W1? ? 2 p0 ? V0 ? nRT0 3 3

Q1? ? QAE ? QEF ? 2n?CV ? 2C p ?T0

o

2V0 7/3V0 V

AEFGA循环效率

W1? 4R ?2 ? ? ? Q1 3?CV ? 2C p ?

所以

P 3P0

E

F

?2 4 ? ?1 3

2P0 P0

B A V0

C D G

o

2V0 7/3V0 V

四热力学第二定律
A. 克劳修斯表述:

不可能把热量从低温物体传到高温物体,而不产生 任何影响
B. 开耳文表述: 不可能制成一种循环工作的热机,只从单一热源 吸热全部变为有用功而不产生任何影响

例 25、热力学第二定律的开尔文表述为 第二定律的克劳修斯表述为 。(19) ;热力学

22 、从单一热源吸收热量并将其完全用来对外做功, 是不违反热力学第二定律的,例如 过程就是这种 情况(2)

等温

24、假设循环由等温过程 P 和绝热过程组成(如图),
可以认为( )(4)

a

1 2
b V

( a )此循环过程违反 热力学第一定律 ( b )此循环过程违反 热力学第二定律
( c )此循环过程既违 反热力学第一定律,又违 反热力学第二定律 0

24-图

C熵增原理
在孤立系中进行的自然过程总是沿着熵增大的方向 进行,它是不可逆的。平衡态相当于熵的最大状态 (1)孤立系不可逆过程熵增加 (2)孤立系可逆过程熵不变 (3)熵S是系统的状态函数

?s ? 0 ?s ? 0

S ? K ln W

玻耳兹曼关系式

26、热力学系统处于某一宏观态时,将它的熵记为S, 该宏观态包含的微观态个数记为 W,玻耳兹曼假设二 者间的关系为 。一个系统从平衡态 A经平衡过 程到达平衡态 B ,状态 A 的熵 SA 与状态 B 的熵 SB 之间的 关系为 。(19)

S ? k ln W
玻尔 兹曼 常数

SB ? S A

(4)熵的计算: 任意系统在一微小可逆过程中的熵增:

dQ dS ? T
在一可逆过程中熵增:

dQ S 2 ? S1 ? ? T 1

2

27、1kg 冰在00C、1atm下溶解为水的过程中的熵增 量为( )。(已知冰的熔解热为333kJ/kg)(8)

1.22 ?103 J / K
解:冰在00C等温膨胀,设想冰与00C的恒温热源接触而进 行可逆的吸热过程

dQ Q 334 ?103 ?S ? ? ? ? ? 1.22 ?103 J / K T T 273

41 、设有一刚性绝热容器,其中一半充有 ? 摩尔理想 气体,另一半为真空。现将隔板抽去,使气体自由膨 胀到整个容器中。试求该气体熵的变化。(不能直接 用理想气体上的公式计算)(1)

?S ? ?R ln 2

解:

dQ ? 0; ?E ? 0; T保持恒定
设想从初态到末态经历一等温的可逆过程

dQ ? dW ? pdV
熵变:

dQ pdV ?s ? ? ? ? ? ?R ln 2 T V / 2 pV / ?R

V

29-12

1mol单原子分子理想气体,从初态(p0,V0)经过一 个准静态压缩过程,到达终态(8p0,1/4V0)。
(1)假设全过程的每一个无穷小过程中,气体对外 做功dW与吸热dQ之比dW/dQ均为常量? ,试求? (2)计算此气体的熵增量?S 8p0 B

p0 1/4V0 V0

A

(1)假设全过程的每一个无穷小过程中,气体对外

做功dW与吸热dQ之比dW/dQ均为常量? ,试求?
解: ? dW ? ? ? 8p0 B

dQ ? ?dQ ? dE ? dW ? 3 ? ? RdT ? pdV ? 2

p0 1/4V0 V0

A

3 p ? pdV ? RdT ? 2 dV



pdV ? Vdp ? RdT

2?5 1? ? ? ? pdV ? Vdp ? 0 ? ? 3? 2 ??

8p0

B



2?5 1? n? ? ? ? ? 3? 2 ?? ?
npdV ? Vdp ? 0
1 V0 4

p0 1/4V0 V0

A

V0

?

ndV ? V
n 0

8p 0

p0

?

dp ? p
n

2 ?1 ? p 0 V ? ?8p 0 ?? V0 ? ? n ? ? ? ? 4 3 ?4 ?

(2)计算此气体的熵 增量?S
构造可逆过程A?C ?B
dQ dQ ?S ? ? ?? T C T A 5 dT 3 dT ? R? ? R? 2 TA T 2 TC T TC 3 5 TB ? R ln ? R ln 2 TA 2 TC
TC TB C B

8p0

B

p0

C

A V0

1/4V0

(等压、等容过程方程)

3 5R 1 ? R ln 8 ? ln 4 ? ? R ln 2 2 2 2

五、实际气体:
模型:有引力的刚性球模型 1mol考虑分子体积:

RT p? Vm ? b
a pint ? 2 Vm
b=10-6 m3

考虑分子引力:

RT p? ? pint Vm ? b

a ? ? ? P ? 2 ??V ? b ? ? RT V ? ?
? m a ?? m ? m ? ? P ? V ? b ? RT ? ? 2 2 ? ? M V ?? M ? M ?
2

范德瓦耳斯方程

21、真实气体在气缸内等温膨胀,推动活塞作功,活塞 移动距离为 L 。若仅考虑分子占有体积去计算功,比不 考虑时为( );若仅考虑分子分子之间存在作用力去 计算功,比不考虑时为( );
(a)大 (b)小 (c)一样大(4)

? RT ? a P?? ?V ? b ? ??V 2 ? m ? m
大,小

仅考虑分子占有体积a=0

仅考虑分子间作用力b=0

解:范德瓦尔斯方程:

RT a p? ? 2 Vm ? b Vm
1mol范氏气体在T1温度下等温膨胀

W?

V2

V1

? pdV

V2 ? b ? 1 1 ? ? RT1 ln ? a? ? ? ? ? V1 ? b V V 1? ? 2
b体积修正;a压强修正

(1)仅考虑分子引力去计算功

a ? 0, b ? 0

?1 1? V2 W ? RT1 ln ? a? ? ? ? ? V1 V V 1? ? 2 <0

减小

(2)仅考虑分子占有体积 a ? 0, b ? 0

V2 ? b V2 W ? RT1 ln ? RT1 ln V1 ? b V1

增大

35、一摩尔氮气(设氮气服从范德瓦尔斯方程)作等温 膨胀,体积由V1变到V2,试求氮气对外界作的功(b) 内能的改变;(c)吸收的热量。(6)

V2 ? b Q ? RT ln V1 ? b

解:由范德瓦耳斯方程

a ? ? ? P ? 2 ??V ? b ? ? RT V ? ?
(1)氮气对外做的功:

RT a p? ? 2 Vm ? b Vm

? RT a ? W ? ? pdV ? ? ? ?V ?b ? V 2 ? ?dV m ? V1 V1 ? m
V2 ? b ? 1 1 ? ? RT ln ? a? ? ? ? ? V1 ? b V V 1? ? 2

V2

V2

(2)内能增量

dEK ? 0
a ?a? dE p ? ?dW ? 2 dV ? ?d ? ? V ?V ?
内能增量:

? dl
? ?pi

?a? ?1 1 ? ? ?E ? ? dE ? ? ? d ? ? ? a? ? ?V V ? V ? ? ? 1 2 ? 1 V1
2

V2

(3)氮气吸收的热量

Q ? ?E ? W V2 ? b ? RT ln V1 ? b


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