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2014年人教A版选修4-5教案 二 绝对值不等式(1)——绝对值三角不等式


绝对值三角不等式
目的要求: 理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明不等式 重点难点: 绝对值三角不等式。

教学设计:
一、 引入: 实数 a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点的距离:

|a|
O

A

a

x

任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B, 那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。
A

| a?b|
a
b

B

x

下面研究a , b , a ? b 之间的关系 .

(1)当ab ? 0, 有 a ? b ? a ? b
O a b a+b x a+b b a O x

(2)当ab ? 0时

(i)当a ? 0, b ? 0时, 有 a ? b ? a ? b

b a+b a
二、

O a a+b b

x x

(ii)当a ? 0, b ? 0时, 有 a ? b ? a ? b

O

给出定理

1. 综上所述可得定理: 定理1 如果a, b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立。 (这个不等式称 为绝对值三角不等式。 ) 2. 探究 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果?你能解释它的几 何意义吗?

在上面的不等式中 , 用向量 a, b分别替换a, b,当向量a, b不共线 时, 那 么由向 量 加 法的 三角形法则 ,向量a ? b, a, b构成三角形 , 因此我们有向量形式的 不等式 | a ? b |?| a | ? | b | .
它的几何意义就是三角 形的两边之和大于第三 边.
3. 探究 当向量a, b共线时,有怎样的结论?

y

a?b

b

a
O

x

4. 一般地, 我们有 | a ? b |?| a | ? | b | .

为了更好地理解定理 1, 我们再从代数推理的角 度给出它的证明 .:
证明 当ab ? 0时, ab ?| ab |, | a ? b |?
?

?a ? b ?2

? | a | 2 ?2 | ab | ? | b | 2

?| a | ? | b |?2

?| a ? b |

当ab ? 0时, ab ? ? | ab |,
| a ? b |?

?a ? b ?2

? | a | 2 ?2 | ab | ? | b | 2

2 2 ? a 2 ? 2 | ab | ?b 2 ? | a | ?2 | ab | ? | b |

?

?| a | ? | b |?2

?| a ? b |

所以 | a ? b |?| a | ? | b | .
当且仅当ab ? 0 时, 等号成立.
5.5.

探究 你 能 根据定理 1 的研究思路 , 探究一下 | a | , | b | , | a ? b | , | a ? b | 等 之 间的其他 关 系 吗 ? 例如 :| a | ? | b | 与 | a ? b |,| a | ? | b | 与 | a ? b |,| a | ? | b | 与 | a ? b | 等之间的关系

事实上 , 我们可以得出许多正确 的结论 .例如果a, b是实数, 那么 | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | . 以上我们讨论了关于两 个实数的绝对值不等式 , 这 是最基本、最重要的. 根据这样的思想 方法, 我们可以讨论涉及多个 实数的绝对值不等式问 题.例如, 我们有

定理 2 如果 a, b, c 是实数 , 那么| a ? c | ? | a ? b | ? | b ? c | , 当且仅当?a ? b??b ? c ? ? 0 时, 等号成立.

探究 你能给定理2的几何解释吗 ?
如图1.2 ? 5, 在数轴上 , a, b, c 所对应的点分别为A, B, C, 当点B在 A, C之间时, | a ? c |?| a ? b | ? | b ? c | .
A B

a?

? b
图1.2 ? 5

C
? c

A

x

a?
图1.2 ? 6

C
c
?

B

? b

x

如图 1.2 ? 6, 给出了当点 B不在 A, C之间时的一种情形 . 请同学们自己给出其他 情形时定理 2 的几何解释 .

三、

教学实例:

例1 已知? ? 0, | x ? a |? ? , | y ? b |? ? , 求证 | 2x ? 3 y ? 2a ? 3b |? 5? .
关于绝对值三角不等式的简单应用,只要对不等式稍加变形即可.

例 2 两个施工队分别被安排 在公路沿线的两个地点 施工, 这两个地点分别位 于公路碑的第 10km和第20km处.现要在公路沿线建两个 施工队的共同临时生 活区, 每个施工队每日在生活 区和施工地点之间往返 一次.要使两个施工队 每天往返的路程之和最 小, 生活区应建在何处?
有关绝对值三角不等式的实际应用题,首先把实际问题转化为数学问题,在求解。 四、 小结 绝对值三角不等式的几种形式,以及取等号的条件.


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