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必修5——3.1不等关系与不等式


一、引入
(一).生活中的不等关系

(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速 1)中国“神舟七号” 1)中国 度不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇 宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免 2)《 2) 铁路旅行常识》规定: ------杆状物不超过 杆状物不超过200cm, 费携带物品 ------杆状物不超过200cm, 重量不得超过20kg 重量不得超过20kg (3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的 3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的 3) 高度。 高度。 问题:上面的不等关系是用什么不等式表示的? 问题:上面的不等关系是用什么不等式表示的? 请你举出生活中的一些不等关系的例子

一、引入
用不等式(组 表示不等关系 (二).用不等式 组)表示不等关系 用不等式 (1)右图是限速 右图是限速40km/h的路标,指示司 的路标, 右图是限速 的路标
机在前方路段行驶时, 机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v不超过 不超过40km/h . 不超过 0<v≤40

40

(2)中国"神舟七号” (2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的 中国 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 宙速度( ),且小于第二宇宙速度 v 且小于第二宇宙速度( 宙速度( 记作 1 ),且小于第二宇宙速度(记 2 ).

v

v

v1 ≤ v < v2

(3)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 某品牌酸奶的质量检查规定, 某品牌酸奶的质量检查规定 f应不少于 应不少于2.5%,蛋白质的含量 应不少于 应不少于2.3%. 应不少于 ,蛋白质的含量p应不少于

?f ≥ 2.5% ? ?p ≥ 2.3%

一、引入

思考一下什么是不等式? 思考一下什么是不等式?
我们用数学符号“ ” 我们用数学符号“≠”,“>”, ,

“<”,“≥”,“≤”连接两个 , ” ” 数或代数式, 数或代数式,以表示它们之间的 不等关系.含有这些不等号的式 不等关系 含有这些不等号的式 子叫做不等式. 子叫做不等式

问题1. 设点A 问题1. 设点A与平面 α 的距离为d,B为平面 α 的距离为d 上的任意一点, 上的任意一点,则 d≤|AB|.
A

d B B

α

o

B

问题2、某种杂志原以每本 元的价格销售 元的价格销售, 问题 、某种杂志原以每本2.5元的价格销售, 可以售出8万本 据市场调查, 万本。 可以售出 万本。据市场调查,若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少 元销售量就可能相应减少2000本。若把提 本 元销售量就可能相应减少 价后杂志的定价设为x元 价后杂志的定价设为 元,怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢 万元呢? 销售的总收入仍不低于 万元呢? 思考(1 )销售量减少了多少 销售量减少了多少? 思考 销售量减少了多少 (2)现在销售量是多少 现在销售量是多少? 现在销售量是多少 (3)销售总收入为多少 销售总收入为多少? 销售总收入为多少
x ? 2.5 (8 ? × 0.2) x ≥ 20 0.1
x ? 2.5 × 0.2万本 0.1

x ? 2.5 8? × 0.2 0.1
(8 ? x ? 2.5 × 0.2)x万元 0.1

解:若杂志的定价为x元,则销售量减少: 若杂志的定价为 元 则销售量减少: x ? 2 .5 × 0.2万本 0 .1

x ? 2 .5 因此,销售总收入为: 因此,销售总收入为: (8 ? × 0.2)x万元 0 .1

x ? 2.5 × 0.2) x ≥ 20 用不等式表示为: (8 ? 用不等式表示为: 0.1

问题3.某钢铁厂要把长度为 问题 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 某钢铁厂要把长度为 的钢管 截成500mm和600mm的两种规格。按照生 的两种规格。 截成 和 的两种规格 产的要求, 产的要求,600mm的钢管的数量不能超过 的钢管的数量不能超过 500mm钢管的 倍 请思考 钢管的3倍 思考:(1)找出两种规格 找出两种规格 钢管的 找出 的钢管的数量满足的不等关系. 的钢管的数量满足的不等关系 (2)用不等式(组)表示上述不等关系 用不等式( 表示上述不等关系. 用不等式 分析:假设截得500mm的钢管 的钢管x根 分析:假设截得500mm的钢管x根,截得 600mm的钢管 根。根据题意,应当有什么 的钢管y根 根据题意, 的钢管 样的不等关系呢? 样的不等关系呢? (1)截得两种钢管的总长度不能超过 截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; 截得两种钢管的总长度不能超过 ; (2)截得 截得600mm钢管的数量不能超过 钢管的数量不能超过500mm 截得 钢管的数量不能超过 的钢管数量的3倍 的钢管数量的 倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负 截得两种钢管的数量都不能为负. 截得两种钢管的数量都不能为负

上面三个不等关系, 上面三个不等关系,是“且”的关系,要同 的关系, 时满足的话,可以用下面的不等式组来表示: 时满足的话,可以用下面的不等式组来表示:

?500x + 600y ≤ 4000 ? 3x ≥ y ? ? ?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ? ∈ ? x,y∈N ?
考虑到实际问题的意义,还应有 ∈ 考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N 实际问题的意义

课堂练习:书本: 课堂练习:书本:P74,练习 、2 ,练习1、
1、用不等式表示下面的不等关系: 、用不等式表示下面的不等关系:

的和是非负数; (1).a与b的和是非负数; ) 与 的和是非负数

a+b≥0

某公路立交桥对通过车辆的高度h“限 (2).某公路立交桥对通过车辆的高度 限 ) 某公路立交桥对通过车辆的高度 0<h≤4 高4m” 在一个面积为350 350平方米的矩形地基 (3).在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L 上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L 大于宽W 写出L 大于宽W的4倍.写出L与W的关系
5m 5m 5m 5m

?( L + 10)(W + 10) = 350, ? L > 4W ? ? ?L > 0 ?W > 0 ?

课堂练习 有一个两位数大于50而小于60, 50而小于60,其个位数字 2、有一个两位数大于50而小于60,其个位数字 比十位数字大2,试用不等式( 2,试用不等式 比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系
1.分析 设个位数字为 分析:设个位数字为 分析

?50 < 10b + a < 60 ?a ? b = 2 ? ?0 ≤ a ≤ 9 ? ? ?0 < b ≤ 9 ?a ∈ N ? ? ?b ∈ N ?

a

, 十位数字为

b

,则 则

不等式的概念: 不等式的概念:
用不等号 ( > , < , ≥ , ≤ , ≠ )表示不等关系的式子叫 作 不等式。 不等式。 用不等号“ “ , 用不等号“ >” <”表示不等关系的式子 叫作 严格不等式。 严格不等式。 用不等号“ ≥” ≤”表示不等关系的式子 叫作 , 用不等号“ “ 非严格不等式。 非严格不等式。

思考: 思考:不等式 a ≥ b或b ≤ a的含义
不等式 a ≥ b表示 a > b或 a = b中有一个成立即可
不等式 a ≤ b表示 a < b或 a = b中有一个成立即可

思考: 思考: 观察不等式 " a < b" , " c < d " , " e < f " 有什么
特点? 特点?

对于两个不等式, 对于两个不等式,如果 每一个不等式的左边 右边, 都比于 (或都比于 )右边,这样的两个不等 式 叫作同向不等式。 叫作同向不等式。如果 两个不等式的不等号 开口方向不同, 开口方向不同,那么两 个不等式叫作异向不 等式。 等式。

知识探究( 知识探究(二):比比实数比比的基本原理 思考1 实数可以比比比比,对于两个实数a 思考1:实数可以比比比比,对于两个实数a,b, 其比比关系有哪几种可能? 其比比关系有哪几种可能?

a>b,a=b,a<b.
思考2:任何一个实数都对应数轴上的一个点,那 思考2 任何一个实数都对应数轴上的一个点, 么比数与比数所对应的点的相对位置关系如何? 么比数与比数所对应的点的相对位置关系如何? 比数对应的点位于比数对应的点的右边

思考3 如果两个实数的差是正数, 思考3:如果两个实数的差是正数,那么这两个 实数的比比关系如何?反之成立吗? 实数的比比关系如何?反之成立吗?如何用数学 语言描述这个原理? 语言描述这个原理?

a -b >0

a> ? a >b

思考4 如果两个实数的差是负数, 思考4:如果两个实数的差是负数,那么这两个实 数的比比关系如何?反之成立吗? 数的比比关系如何?反之成立吗?如何用数学语 言描述这个原理? 言描述这个原理?

a -b <0

?

a<b a<

思考5 如果两个实数的差等于零, 思考5:如果两个实数的差等于零,那么这两个实 数的比比关系如何?反之成立吗? 数的比比关系如何?反之成立吗?如何用数学语 言描述这个原理? 言描述这个原理?

a-b=0

?

a=b

两数比比的比比

判断两个实数比比的依据是: 判断两个实数比比的 依据是: 依据是 a > b? a?b> 0

a = b? a?b= 0 a < b? a?b< 0

通过上式,比比两个数( 通过上式,比比两个数(式)的比比,就 比比, 可以转化为判断它们差 符号。 可以转化为判断它们差的符号。
作差比比法其一般步骤是: 作差比比法其一般步骤是: 其一般步骤是 作差→变形→判断符号→下结论. 作差→变形→判断符号→下结论.

比较两个数( 比较两个数(式)的大小的方法: 的大小的方法:
的大小. 例1.比较 2-x与x-2的大小 .比较x 与 - 的大小 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2 - - =(x-1)2+1, - , 因为(x- 因为 -1)2≥0, , 所以(x 所以 2-x)-(x-2)>0, - - ,
(4)结论 比结:作差法的步骤: 作差→ 变形→ 比结:作差法的步骤:(1)作差→(2)变形→ 定号→ (3)定号→(4)结论 其中,变形的方法有:配方法;因式分解法; 其中,变形的方法有:配方法;因式分解法;分子有 理化等 理化等。 (1)作差 (2)变形 (3)判号

因此x 因此 2-x>x-2. -

比比下面两式的比比: 例1-2:比比下面两式的比比:

(1) x 2 + 2 x + 3与2 x 2 + 2 x + 4 (2) x + 3与3 x
2 2 2

配方 配方

(3) x 2 + y 2 + 4与2 x + 2 y
4

(4)( x + 7)( x + 9)与x + 64 因式分解 (5) 6 ? 5)与( 7 ? 6) (
比结:作差法的步骤: 比结:作差法的步骤: (1)作差→(2)变形→(3)定号→(4)结论 作差→ 变形→ 定号→ 其中,变形的方法有:配方法;因式分解法; 其中,变形的方法有:配方法;因式分解法;分子 有理化等 有理化等。

b ( 备 选 ) 例 2 已 知 a 、 、m 都 是 正 数 , 且 a > b , 求 证 : b+m b > a + m a b + m b (b + m)a ? (a + m)b 证明: 证明 ∵ ? = a+m a ( a + m) a
ab + ma ? ab ? bm = ( a + m) a m( a ? b) = ( a + m) a
∵ a 、 、m 都是正数,且 a > b 都是正数, b ∴ m > 0, m + a > 0, a > 0, a ? b > 0 b+m b b+m b ? > 0∴ > ∴ a+m a a+m a
若b>a,结论 结论 又会怎样呢? 又会怎样呢

1.不等关系和不等式 不等关系和不等式 2.判断两个实数比比的依据是: 判断两个实数比比的依据是 2.判断两个实数比比的依据是: 小 a > b? a?b> 0

a = b? a?b= 0 a < b? a?b< 0
3.作差法的步骤: 3.作差法的步骤: 作差法的步骤



(1)作差→(2)变形→(3)定号→(4)结论 作差→ 变形→ 定号→

其中,变形的方法有:配方法;因式分解法; 其中,变形的方法有:配方法;因式分解法; 分子有理化等 分子有理化等。

作业
一、交:P75,B1,A4、5 , , 、 不交: 二、不交:练习册

3.1

不等关系与不等式 第二课时

问题提出
1.反映实数比比关系的基本原理是什么? 1.反映实数比比关系的基本原理是什么? 反映实数比比关系的基本原理是什么

a> a -b >0 ? a >b a-b=0

? a=b a< a -b <0 ? a <b

2.用 差比法” 2.用“差比法”比比两个代数式比比的一般步骤 如何? 如何? 作差→变形→ 作差→变形→判断符号

探究( ):不等式的基本性质 探究(一):不等式的基本性质
思考1 若甲的身材比乙高,则乙的身材比甲矮, 思考1:若甲的身材比乙高,则乙的身材比甲矮, 反之亦然. 数学的观点分析, 反之亦然.从数学的观点分析,这里反映了一个不 等式性质, 等式性质,你能用数学符号语言表述这个不等式 性质吗? 性质吗?

b< 对称性) a>b ? b<a(对称性)

思考2:若甲a的身材比乙b高,乙的身材b比丙c 思考2 若甲a的身材比乙b 乙的身材b比丙c 那么甲a的身材比丙c 高,那么甲a的身材比丙c高,这里反映出的不等 式性质如何用数学符号语言表述? 式性质如何用数学符号语言表述?

a >b ,b >c a <b ,b <c

? ?

a> a >c ; a< a<c(传递性) 传递性)

思考3 再有一个不争的事实:若甲 的年薪比乙 的年薪比乙b 思考3:再有一个不争的事实:若甲a的年薪比乙 高,如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多 的善款,则甲的年薪仍然比乙高, 的善款,则甲的年薪仍然比乙高,这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述? 不等式性质如何用数学符号语言表述?

a >b

?

a+c>b+c(可加性) a+c>b+c(可加性)

思考4:还有一个不争的事实:若甲班的男生 思考4 还有一个不争的事实: 比乙班多,甲班的女生也比乙班多, 比乙班多,甲班的女生也比乙班多,则甲班 的人数比乙班多. 的人数比乙班多. 这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述? 如何用数学符号语言表述?

a >b ,c >d

? a+c>b+d(同向可加性) a+c> 同向可加性)

思考5 如果a 思考5:如果a>b,c>0,那么ac与bc的 那么ac与bc的 ac 比比关系如何?如果a 比比关系如何?如果a>b,c<0,那么 ac与bc的比比关系如何 为什么? 的比比关系如何? ac与bc的比比关系如何?为什么? ac>bc; a>b,c>0 ? ac>bc; a>b,c<0 ? ac<bc(可乘性 ac< 可乘性 可乘性) 思考6 如果a 思考6:如果a>b>0,c>d>0,那么 ac与bd的比比关系如何 为什么? 的比比关系如何? ac与bd的比比关系如何?为什么? ac> a>b>0,c>d>0 ? ac>bd
(正数同向不等式可相乘 正数同向不等式可相乘) 正数同向不等式可相乘

思考7 如果a 思考7:如果a>b>0,n∈N*,那么an与 n∈N ,那么a 的比比关系如何? bn的比比关系如何? (n∈N*) 乘方法则 乘方法则) a>b>0 ? an>bn (n∈N ) (乘方法则 思考8 如果a 思考8:如果a>b>0,n∈N*,那么 n a n∈N , 的比比关系如何? 与 b 的比比关系如何? a >b >0
方法则) 方法则
n

?

n

a>

n

(n∈N*) b(n∈N )

(开 开

常用的不等式的基本性质有: 常用的不等式的基本性质有 ⑴a > b ? b < a ; (反对称性 反对称性) 反对称性 (传递性 传递性) ⑵ a > b,b > c ? a > c ; 传递性 可加性)此法则又称为移项法则; ⑶ a > b ? a + c > b + c , (可加性 此法则又称为移项法则 可加性 此法则又称为移项法则 ? a > b,c > 0 ? ac > bc ⑷? (可乘性 可乘性) 可乘性 ? a > b,c < 0 ? ac < bc (5) a > b,c > d ? a + c > b + d (同向不等式可相加 同向不等式可相加 同向不等式可相加) (6) a > b > 0,c > d > 0 ? ac > bd (正数同向不等式可相乘) 正数同向不等式可相乘 正数同向不等式可相乘

0 ? (7) a > b > (n ∈ N ) a > b > 0
* n n

(乘方法则 乘方法则) 乘方法则

a > b > ( n ∈ N * , n ≥ 2) 0 ? (8)
1 1 (9) a > b,ab > 0 ? < a b

n

a > n b > 0 (开方法则 开方法则) 开方法则
(倒数法则 倒数法则) 倒数法则

练习: 练习:用“>”,”<“号填空 号填空

(1) x + 5 ___ x + 2 (2)a + 5 ___ b + 5(b > a ) (3)7 a ____ 4a( a > 0)(4)3a ___ 3b( a < b ) 1 1 (5) ? 5a ___ ? 5b( a < b )(6) ____ ( a > b > 0) a b
判断下列命题的真假

(1)a > b ? ac > bc (2)a > b ? ac > bc (3)a > b, a lg c < b lg c ? 0 < c < 1
2 2

用不等号>, 用不等号 ,<, ≠填空 填空

(1)a > b, c < d ? a ? c __ b ? d (2)a > b > 0, c < d < 0 ? ac __ bd (3)c __ 0, a > b ? ac > bc (4)c ___ 0, a > b ? ac < bc (5)a > 0, b < 0 ? ab ___ 0 (6)a > b, c > 0, d + ac ____ d + bc (7)a > b, c < 0, ? c( d ? a ) ____ c( d ? b)

例1

已知a 已知a>b>0,c<0,

c c 求证: 求证: > . a b

例2:比比两个数的比比:

6 + 10与 2 + 14

x 例3 : 已知 x > 0,求证: 1 + x < 1 + 2

例4 立.

若a<b<0,判断下列结论是否成

(1)

1 1 > a b

(2)

1 1 > a ?b a

(3) a 2 > b 2

(4)ac2<bc2

(备例)例5 备例)

给出三个不等式: 给出三个不等式:

, ③bc>ad, bc>ad, 以其中任意两个作条件, 以其中任意两个作条件,余下一个做结 可组成几个正确命题. 论,可组成几个正确命题.

c d > ab> ①ab>0,② a b

常用的不等式的基本性质有: 常用的不等式的基本性质有 (反对称性 反对称性) ⑴a > b ? b < a ; 反对称性 (传递性 传递性) ⑵ a > b,b > c ? a > c ; 传递性 可加性)此法则又称为移项法则; ⑶ a > b ? a + c > b + c , (可加性 此法则又称为移项法则 可加性 此法则又称为移项法则 (5) a > b,c > d ? a + c > b + d (同向不等式可相加 同向不等式可相加 同向不等式可相加) ? a > b,c > 0 ? ac > bc (可乘性 可乘性) ⑷? 可乘性 ? a > b,c < 0 ? ac < bc (6) a > b > 0,c > d > 0 ? ac > bd (正数同向不等式可相乘 正数同向不等式可相乘 正数同向不等式可相乘)

0 ? (7) a > b > (n ∈ N ) a > b > 0
* n n

(乘方法则 乘方法则) 乘方法则

0 ? (8) a > b > ( n ∈ N , n ≥ 2) 1 1 (9) a > b,ab > 0 ? < a b
*

n

a > n b > 0 (开方法则 开方法则) 开方法则
(倒数法则 倒数法则) 倒数法则

作业: 作业:
一、交:书本:P75,A 2、B2 书本: , 、 不交:练习册: 二、不交:练习册:P45~46(除A6,B4、 除 , 、 5外全做 外全做) 外全做


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