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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 立体几何初步双基限时练9(含解析)北师大版必修2


双基限时练(九)
一、选择题 1.下列命题(其中 a,b 表示直线,α表示平面)中,正确的个数是( )

①若 a∥b,b?α,则 a∥α;②若 a∥α,b∥α,则 a∥b;③若 a∥b,b∥α,则 a ∥α;④若 a∥α,b?α,则 a∥b. A.0 个 C.2 个 解析 B.1 个 D.3 个

对于①,a∥b,b?α,则 a?α,或 a∥α;对于②,当 a∥α,b∥α时,可

能 a∥b, 也可能 a 与 b 相交或异面, 对于③, 当 a∥b, b∥α时, 可能 a∥α, 也可能 a?α; 对于④,当 a∥α,b?α时,a 与 b 可能平行,也可能异面,故①②③④均不对. 答案 A

2.若一条直线 l 上有相异的三个点 A,B,C 到平面α的距离相等,那么直线 l 与平面

α的位置关系是(
A.l∥α

) B.l⊥α D.l∥α或 l?α

C.l 与α相交但不垂直 解析

∵当 l∥α时,直线 l 上任意一点到α的距离相等;当 l?α时,直线 l 上所有

点到α的距离都是零,也相等,其他情况不符合. 答案 D )

3.如图,△ABC 的边 BC 在平面α内,点 A 在α外,EF 是△ABC 的中位线,则(

A.EF 与平面α平行 B.EF 与平面α不平行 C.EF 与平面α可能平行也可能相交 D.EF 与平面α相交 解析 ∵EF 为△ABC 的中位线,∴EF∥BC,故 EF∥α.

1

答案

A )

4.设 a,b 为直线,α,β为不重合的平面,下列条件能得出α∥β的是( A.存在一条直线 a?α,a∥β B.存在两平行直线 a,b,a?α,b?β,且 a∥β,b∥α C. a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β D. a,b 为异面直线 a?α,b?β 解析 答案 根据两平面平行的判定定理,可知答案为 C. C

5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点的 个数( ) B.无限个 D.0 个或无限个

A.有限个 C.0 个 解析 答案 两平面可能平行也可能相交,故选 D. D

6.如图 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 为 PA 的中点,O 为 AC 与 BD 的交点, 下面说法错误的是( )

A.OQ∥面 PCD C.AQ∥面 PCD 解析 ∵O 为? ABCD 对角线的交点,

B.PC∥面 BDQ D.CD∥面 PAB

∴AO=OC,又 Q 为 PA 的中点,∴QO∥PC. 由线面平行的判定定理,可知 A、B 正确,又 ABCD 为平行四边形,∴AB∥CD,故 CD∥ 面 PAB,故 D 正确. 答案 C

二、填空题 7.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,与 AC 平行,且过正方体三个顶点的截面是________.

2

解析 面 A1C1D.

如图所示截面一定过 A1,C1 两点,又截面过三个顶点,故所求截面为 A1C1B 和平

答案

平面 A1C1B 和平面 A1C1D

8.如图所示,在三棱锥 A—BCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点,图中 满足线面平行位置关系的所有情况为________.

解析

由 EF∥AC∥HG,得

AC∥面 EFGH,EF∥面 ACD, HG∥面 ABC,
由 EH∥BD∥FG,得
3

EH∥面 BCD,FG∥面 ABD,BD∥面 EFGH.
答案

AC∥面 EFGH,EF∥面 ACD,

HG∥面 ABC,EH∥面 BCD,FG∥面 ABD, BD∥面 EFGH
9. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 是 CB 延长线上的一点, 且 BD=BC, 则直线 BC1 与面 AB1D 的关系是________. 解析 ∵DC∥B1C1,DB=BC=B1C1,∴四边形 BDB1C1 为平行四边形,∴DB1∥C1B.又 BC1?

面 AB1D,B1D?面 AB1D,∴BC1∥面 AB1D.

答案

平行

三、解答题 10.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E,F 分别为 PB,PC 上的

PE PF 2 点,且 = = , EB FC 1

求证:EF∥面 PAD. 证明 ∵在△PBC 中,

PE PF 2 = = , EB FC 1
4

∴EF∥BC. 又四边形 ABCD 为平行四边形, ∴BC∥AD. ∴EF∥AD. 又 EF? 面 PAD,AD?面 PAD, ∴EF∥面 PAD.

11.如图,已知三棱锥 P-ABC,D,E,F 分别为 PA,PB,PC 的中点, 求证:面 DEF∥面 ABC. 证明 在△PAB 中,∵D,E 分别为 PA,PB 的中点,∴DE∥AB,又 DE? 面 ABC,∴DE∥

面 ABC.同理,EF∥面 ABC.又 DE∩EF=E,∴面 DEF∥面 ABC. 12.

如图在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 BC,CC1,CD1,A1A 的中点,求证: (1)BF∥HD1; (2)EG∥面 BB1D1D; (3)面 BDF∥面 B1D1H. 证明 (1)取 BB1 的中点 M,连接 C1M,

5

∵C1F 綊 BM, ∴四边形 BMC1F 为平行四边形. ∴BF∥MC1. 又 MH 綊 A1B1 綊 D1C1, ∴四边形 MHD1C1 为平行四边形. ∴D1H∥C1M,∴BF∥D1H. (2)连接 D1B,∵G,E 分别为 D1C 与 BC 的中点, ∴GE∥BD1,又 BD1?面 BDD1B1,GE? 面 BDD1B1, ∴GE∥面 BDD1B1. (3)∵BD∥B1D1,又 BD? ∴BD∥面 B1D1H. 面 B1D1H,B1D1?B1D1H,

同理可证 BF∥面 B1D1H, 又 BD∩BF=B,BD?面 BDF,BF?面 BDF, ∴面 BDF∥面 B1D1H. 思 维 探 究 13.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E, F, G, H 分别是棱 CC1,C1D1, D1D,CD 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 的边及其内部运动,试探求点 M 在怎样的位置 时,有 MN∥面 B1BDD1?

6



点 M 在 FH 上时, 有 MN∥平面 B1BDD1.如图所示, 平面 B1BDD1 是正方体 ABCD-A1B1C1D1

的对角面,探究过点 N 且与平面 B1BDD1 平行的直线,可取 B1C1 的中点 N1,连接 N1N,则 NN1 ∥平面 B1BDD1,连接 NH,则 NH∥平面 B1BDD1. ∵NH∩NN1=N,∴平面 NN1FH∥平面 B1BDD1. ∵MN?平面 NN1FH,∴MN∥平面 B1BDD1.此时,点 M 在 FH 上.

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