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(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题4.4 三角函数的图象与性质(练)

第 04 节

三角函数的图象与性质
A 基础巩固训练

1. 函数



的最小正周期为(



A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】试题分析:由周期公式知:

2. 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? 它的最 小正周期为 ? ,则( )

? ? 2? ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? 对称, 3 2 2

A. f ( x ) 的图象过点 (0, )

1 2

B. f ( x ) 在 ?

? ? 2? ? , ? 上是减函数 ?12 3 ?
?? ? ,0 ? ?6 ?

C. f ( x ) 的一个对称中心是 ? 【答案】C

? 5? ? ,0 ? ? 12 ?

D. f ( x ) 的一个对称中心是 ?

【解析】根据题意可知, ? ? 2 ,根据题中所给的 ? 角的范围,结合图像关于直线 x ? 称,可知 ? ?

?
6

,故可以得到 f ( x) ? A sin(2 x ?

?
6

2? 对 3

) ,而 A 的值不确定,所以 f (0) 的值不确

定,所以 A 项不正确,当 x ? [

? 2?
,

12 3

] 时, 2 x ?

?

? 3? ? [ , ] ,函数不是单调的,所以 B 项 6 3 2

不对,而 f ( ) ? A ? 0 ,所以 ?

?

6

5? ?? ? ,0 ? 不是函数的对称中心,故 D 不对,而又 f ( ) ? 0 , 12 ?6 ?

所以 ?

? 5? ? ,0 ? 是函数的对称中心,故选 C. ? 12 ?

3. 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? )(| ? |? 中心是 A. ( ?

?
2

) 的图象过点 (0, 3) ,则 f ( x) 的图象的一个对称

?
3

, 0)

B. ( ?

?
6

, 0)

C. (

?
6

, 0)

D. (

?
4

, 0)

【答案】B 【解析】因为函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ?)(| ? | ?

?
2

) 的图象过点 (0, 3) ,所以

f (0) ? 2 sin ? ? 3 ,且 ? ?
的一个对称中心是 ( ?

?
2

,则 ? ?

?
3

;令 2 x ?

?
3

? 0 ,即 x ? ?

?
6

,即 f ( x ) 的图象

?
6

, 0) .

4.【2017 山东,文 7】函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 最小正周期为 A.

π 2

B.

2π 3

C. π

D. 2π

【答案】C 【解析】因为 y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ?

? ?

2π π? ? ,所以其周期 T ? 2 ? π ,故选 C. 3?

5. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的偶函数,则 y ? 2cos[(a ? b) x ? ] 的 最小正周期是( A.6π 【答案】A 【解析】∵函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的偶函数,∴ b ? 0, a ? 1 ? 2a ? 0 , ∴ b ? 0, a ? ) B.5π C.4π D.2π

? 3

1 1 ? 2? ,∴ y ? 2 cos( x ? ) ,∴ T ? ? 6? . 1 3 3 3 3
B 能力提升训练

1. 函数 f ? x ? ?

sin x 的图象大致为( x2 ? 1



【答案】A 【解析】根据题意,函数为奇函数,所以图像关于原点对称,故排除 C , D 两项,在 (0, ? ) 上, 函数值是正值,所以 B 不对,故只能选 A.

2.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

? 3 ? C. y?s in (2 x? ) 6
A. y?s in (2 x? ) 【答案】B

? 对称的是 ( 3 ? B. y?s in (2 x? ) 6 x ? D. y ?sin ( ? ) 2 3



【解析】y?s 但图象不关于直线 x ? in (2 x? )最小正周期为 ? , 小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

? ? 对称; y?s in (2 x? )最小正周期为 ? ,但图象不关于 3 6 ? x ? ? 直线 x ? 对称; y ?sin ( ? )最小正周期为 4 ? ,且图象关于直线 x ? 对称;因此选 B. 3 2 3 3 ? ? 3. 若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ,且 f (?) ? ? 2 , (f )? 0 ? , ? ? ? 的最小值是 ,则 f ( x) 2 3
的单调递增区间是( A. [k? ? ) B. [ k ? ?

? 3

? ? 对称;y?s in (2 x? )最 3 6

5? ? , k? ? ] ( k ? Z ) 12 12 2? ? , 2 k? ? ] ( k ? Z ) C. [2k? ? 3 3
【答案】D

] (k ? Z ) 3 6 5? ? , 2 k? ? ] ( k ? Z ) D. [2k? ? 6 6

?

, k? ?

?

【解析】 由 f (? ) ? ?2, f ( ? ) ? 0 ,? ? ? 的最小值是 所以 f ( x ) ? 2sin ? x ?

? T ? 可知 ? ,? T ? 2? , 所以 ? ? 1 , 2 4 2

? ?

??

? ? ? ? ,由 2k? ? 2 ? x ? 3 ? 2k? ? 2 ( k ? Z ) ,得 3?

2k? ?

5? ? ? ? x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,所以函数的单调递增区间为 6 3 6

5? ?? ? 2k? ? ,2k? ? ? (k ? Z ) ,故选 D. ? 6 6? ?
4. 函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图像与函数 y ? cos( x ?

?
3

) 的图像(



A.有相同的对称轴但无相同的对称中心 B.有相同的对称中心但无相同的对称轴 C.既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴 【答案】A 【解析】当 x ?

?

? ?? ? ? k? , k ? Z 时, cos ? x ? ? ? ?1 ,因此 y ? cos( x ? ) 的对称轴是 3 3 3? ?

x?

?
3

? k? , k ? Z .

当 2x ?

?
6

?

?
2

? k? , k ? Z 即 x ?
) 的对称轴是 x ? ) 的对称轴 .

?
3

?

k? ?? ? , k ? Z 时, sin ? 2 x ? ? ? ?1 ,因此 2 6? ?

y ? sin( 2 x ? y ? sin( 2 x ?
当x?

? ?
6 6

?
3

?

? k? , k ? Z .由此可得, y ? cos( x ? ) 的对称轴都是 3 2

? 5? ?? ? ? k? , k ? Z 时, cos ? x ? ? ? 0 ,所以 y ? cos( x ? ) 的对称中心是 3 6 3? ?

? 5? ? ? k? , 0 ? , k ? Z . ? ? 6 ?
当x?

?
12

?

? k? ?? ? 时 ,sin ? 2 x ? ? ? 0 ,所以 y ? sin( 2 x ? ) 的对称中心是 6 2 6? ?

? ? k? ? , 0 ? , k ? Z .由此可得,它们的对称中心均不相同.故选 A . ? ? ? 12 2 ?
5. 已知 ? ? 0 ,函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A. (0, 2] 【答案】D 【解析】由题意可得函数的周期 T ? B. (0, ]

? ?

??

? ? 在 ( 2 , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是( ) 4?
D. [ , ]

1 2

C. [ , ]

1 3 2 4

1 5 2 4

2?

?

? ? , ? ? 2 ,再由 2k? ?

?
2

? ?x ?

?
4

? 2k? ?

3? , 2



2 k?

?

?

? 2k? 5? ?x? ? , k ? Z , 可 得 f ? x? 的 一 个 减 区 间 为 4? ? 4?

? ? 5? ? ,所以 , ? ? 4? 4? ? ?

? ?? ? ? 1 5 ? 4? 2 ,求得 ? 的取值范围是 [ , ] . ? 2 4 ? 5? ? ? ? ? 4?
C 思维扩展训练

? ? x ? 0, ?sin( x) ? 1, 1. 已知函数 f ( x) ? ? 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对, 2 ? ?loga x(a ? 0,且a ? 1) ,x ? 0
则实数 a 的取值范围是( )

(A) (0 , 【答案】A

5 ) 5

(B) (

5 , 1) 5

(C) (

3 , 1) 3

(D) (0 ,

3 ) 3

【解析】原函数在 y 轴左侧是一段正弦型函数图象,在 y 轴右侧是一条对数函数的图象,要 使得图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对,可将左侧的图象对称到 y 轴右侧,即

y ? sin(?

?x
2

) ? 1( x ? 0) ,应该与原来 y 轴右侧的图象至少有 3 个公共点

如图, a ? 1 不能满足条件,只有 0 ? a ? 1

此时,只需在 x ? 5 时, y ? log a x 的纵坐标大于 ?2 ,即 loga 5 ? ?2 ,得 0 ? a ? 2.已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为( A. ? x | k? ? C. {x | k? ? 【答案】B 【解析】 f ?x ? ? 2 sin? x ?

5 . 5


? ?

?
?
6

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
? x ? k? ? 5? , k ? Z} 6

B. ? x | 2k? ? D. {x | 2k? ?

? ?

?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
? x ? 2 k? ? 5? , k ? Z} 6

?
6

? ?

??

?? 1 ? ? ,若 f ?x ? ? 1 ,等价于 sin ? x ? ? ? ,所以 6? 6? 2 ?

5 ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,解得 ? 2k? ? x ? ? ? 2k? , k ? Z . 6 6 6 3 1 3. 若 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ) ,定义一种运算: a ? b ? (a1b1, a2b2 ) ,已知 m ? (2, ) , 2

?

? 2k? ? x ?

?

n ? ( , 0) ,且点 P( x, y) ,在函数 y ? sin x 的图象上运动,点 Q 在函数 y ? f ( x) 的图象上 3
运动,且 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) ,则函数 y ? f ( x) 的最大值 A 和最小正周 期 T 分别为( A. A ? 2, T ? ? ) B. A ? 2, T ? 4?

?

C. A ?

1 ,T ? ? 2

D. A ?

1 , T ? 4? 2

【答案】D 【解析】由条件 OQ ? (2 x ?

? 1

1 x ? f ( x) ? sin( ? ) , 2 2 6 1 ? A ? , T ? 4? . . 2

? 1 , sin x) ,所以 f (2 x ? ) ? sin x ,从而求得 3 2 3 2

4. 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 1 , 将 f ( x ) 的图像向左平移 则函数 g ( x) 的单调减区间为( ) A. [

? 个单位得到函数 g ( x) 的图像, 6

?

12

? 2k ? , ? k? ,

C. [

?

6

2? ? k? ], k ? Z 3

7? ? 2k? ], k ? Z 12

B. [

7? ? k? ], k ? Z 12 12 ? 2? ? 2k? ], k ? Z D. [ ? 2k? , 6 3 ? k? ,

?

【答案】B 【解析】 f ( x) ? sin x cos x ? 1 ?

1 1 ? ?? sin 2 x ? 1? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ,求单调减区间时 2 2 ? 3?

令 2x ?

?

3? 7 ?? ? ?? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? x ? ? ? k? , ? ? k? ? 3 ?2 2 12 ? ?12 ?

5. 给出下列结论: ①若扇形的中心角为 2,半径为 1,则该扇形的面积为 1;②函数 y ? cos x ? sin x ? x ? R ? 是
2 2

偶函数; ③点 ?

5? ?? ? ? , 0 ? 是函数 y ? sin ? 2 x ? 4 ?8 ? ?

? ④函数 y ? cosx ? sinx ? 图象的一个对称中心; ?


在 ? 0, A. 1

? ?? ? 上是减函数.其中正确结论的个数为( ? 2?
B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C 【解析】解答: 对于①,扇形的中心角为 2,半径为 1, 则该扇形的面积为 S=
2

1 1 2 α R2= ×2×1 =1,①正确; 2 2
2

对于②,函数 y ? cos x ? sin x =cos2x(x∈R),它是偶函数,②正确;

? ? 5? 时,y=sin(2× + )=? 1, 8 8 4 ? 5? 点( ,0)不是函数 y=sin(2x+ )图象的一个对称中心,③错误; 4 8 π 对于④,函数 y=cosx? sinx= 2 cos(x+ ), 4
对于③,当 x= 当 x∈ ? 0,

π π 3π ? ?? 时,x+ ∈[ , ],∴y 是减函数,④正确, ? 4 4 4 ? 2?

综上,正确的命题序号是①②④,共 3 个。 故选:C.


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