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2018-2019学年高中数学必修二(人教A版)课件:1-3-2球的体积和表面积_图文

第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积 要点整合夯基础 典例讲练破题型 课堂达标练经典 课时作业 [目标] 1.了解球的体积和表面积公式; 积和表面积公式解决实际问题. 2.会用球的体 [重点] 球的体积公式和表面积公式及应用. [难点] 球的切、接问题. 球的体积和表面积 [填一填] 1.球的体积 球的半径为R,那么它的体积V= 2.球的表面积 2 球的半径为R,那么它的表面积S= 4πR . 4 3 3πR . [答一答] 1.观察球的体积与表面积公式,思考下面的问题. (1)计算球的表面积与体积,关键需要确定哪个量? (2)若两球的半径之比为R1 R2,那么两球的表面积之比 及体积之比分别是多少? 提示:(1)要计算球的表面积和体积,关键是要确定球 的半径R. 4 3 πR1 2 3 3 S1 4πR2 R R V R R1 3 1 1 1 2 1 1 (2)S =4πR2=R2=(R ) ,V =4 =R3=(R ) . 2 2 2 2 2 2 2 πR3 3 2 2.用一个平面去截球体,截面是什么平面图形?试在 球的轴截面图形中,展示截面图与球体之间的内在联系. 提示:可以想象,用一个平面去截球体,截面是圆 面,在球的轴截面图中,截面圆与球的轴截面的关系如下 图所示.若球的半径为R,截面圆的半径为r,OO′=d.在 Rt△OO′C中,OC2=OO′2+O′C2,即R2=r2+d2. 球的体积与表面积的计算 [例1] 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆 柱、圆锥的高都是2r. (1)求圆柱、圆锥、球的体积之比; (2)求圆柱、圆锥、球的表面积之 [解] (1)V圆柱=πr2· 2r=2πr3, 1 2 2 3 4 3 V圆锥=3·πr · 2r=3πr ,V球=3πr , 所以V圆柱 V圆锥 V球=3 12. (2)S圆柱=2πr·2r+2πr2=6πr2, S圆锥=πr· 4r2+r2+πr2=( 5+1)πr2, S球=4πr2, 所以S圆柱 S圆锥 S球=6( 5+1)4. 球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和 体积的问题可转化为求球半径的问题解决. [变式训练1] ( ) A.12π 16 C. 3 π (1)球的体积是 32 3 π,则此球的表面积是 B.16π 64 D. 3 π (2)两个球的体积之比是8:27,那么这两个球的表面积之 比是( ) B.4:9 D. 8 : 27 A.2:3 C. 2 : 3 4 3 32 解析:(1) 3 πR = 3 π,故R=2,球的表面积为4πR2= 16π. (2)体积之比是8:27,则半径之比是2:3,表面积之比是 4:9. 答案:(1)B (2)B 与球有关的组合体问题 [例2] 某个几何体的三视图如下图所示(单位:cm). (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积. [分析] 先根据三视图确定该几何体的结构,再根据图中 给出的数据求出表面积与体积. [解] 该几何体是一个组合体,其下方是一个棱长为2的正 方体,上面是一个半径为1的半球. (1)该几何体的表面积为 S=5×22+(22-π)+2π=(24+π)(cm2). 2π ? 2π? (2)该几何体的体积为V=2 + 3 =?8+ 3 ?(cm3). ? ? 3 解决与球有关的组合体问题的解题技巧 ?1?与球有关的组合体问题:解题时要认真分析图形,明确 切点位置,明确有关元素间的数量关系,并且作出合适的截面 图. ?2?球与旋转体的组合,通过作它们的轴截面解题. ?3?球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心、切 点或接点作出截面图. [变式训练2] 某几何体的三视图如下图所示,它的体积为 ( ) A.72π B.48π C.30π D.24π 解析:该几何体是圆锥和半球体的组合体,则它的体 1 1 4 2 积V=V圆锥+V半球体=3π×3 ×4+2×3π×33=30π. 答案:C 球的“切”与“接”问题 命题视角1:球的外切问题 [例3] 若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r, ) R,则球的表面积为( A.4π(r+R)2 C.4πrR [分析] B.4πr2R2 D.π(R+r)2 作出球与圆台相切的轴截面. [解析] 如图为球与圆台的轴截面,过D作DE⊥BC, 设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r, 2 DC=R+r,由勾股定理得4r 1 =(R+r)2-(R-r)2,解得r1= Rr(舍负).故球的表面积为S球=4πr2 1=4πRr. [答案] C 解题时要认真分析图形,明确切点的位置,确定有关元素 间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点 为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.球与旋转 体的组合,通常作它们的轴截面解题;球与多面体的组合,通 过多面体的一条侧棱和球心作出截面图. [变式训练 3] 一块石材表示的几何体的三视图如图所示, 将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等 于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,底面为 直角三角形, 高为 12, 如图所示, 其中 AC=6, BC=8, ∠ACB =90° ,则 AB=10.要使该石材加工成的球的半径最大,只 需球与直三棱柱的三个侧面都相切,则半径 r 等于直角三角形 ABC 的内切圆半径,即 r= 6+8-10 =2,故能得到的最大球的半径为 2, 2 故选 B. 答案:B 命题视角 2:球的内接问题 [例 4] 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为( 3

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