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等比数列教案(第一课时)


等比数列(第一课时)
纳雍县第四中学数学组:裴韦臣

模 块

必修 五

等比数列(第一课时)

课程类型

新授课

设计意图

教 的 用 地

材 作 和 位

等比数列是一种常见的数列,是数列的重要组成部分.通过本节的学习,借助 类比联想,对等差数列的学习起巩固作用,也能为等比数列的学习打好基础,掌 握了等比数列的概念及其通项公式,有利于后一课时进一步研究等比数列的性质 及等比数列的前 n 项和,从而极大地提高了学生利用数列知识解决实际问题的能 力,同时,这节课的内容对于进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有 重要的作用和意义. 在本节课之前,学生已经学习了数列的概念和简单表示法,等差数列的概念、 通项公式,了解了数列是一种特殊的函数,初步掌握了用函数观点和方程思想看 待数列问题的数学思想方法,但是学生在数学学习过程中,对于数学知识之间的 有机联系,感受数学的整体性方面,能力较为欠缺,需要老师在教学过程中抓住 时机,加强培养,帮助学生体会类比在数学发现中的作用。 (1)正确认识和理解等比数列的定义,明确等比数列中公比的概念,探索并掌握 等比数列的通项公式. (2)能够根据所理解的定义判断某一数列为等比数列. (3)能够解决一些简单的等比数列. (4)通过情境导入渗透法制教育 《中华人民共和国人口与计划生育法》第十八条. 类比等差数列推导过程,通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比 数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数 学建模能力;体会等比数列与指数函数的关系. 充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用 于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学生学习数学的兴趣 与法律知识. (1)等比数列定义的归纳及运用,理解公比的概念. (2)能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的未知项. (1)懂得正确地根据定义判断或证明某些数列是否为等比数列. (2)等比数列的通项公式的推导与应用. 采取“观察分析—→自主探究—→合作交流—→初步运用—→归纳小结”学习 的流程. 教师 学生 教案、导学案、多媒体. 导学案、预习等比数列一节 1. 复 习 等差数 列, 为类 比等差 数列的 推导过 程推导 等比数 列做铺 垫.

学 情 分 析 知识 与技 能 教 学 目 标

过程 与方 法 情感 态度 与价 值观

重 难 点

重 点 难 点 学 法

课前准备 教 学 过 程 新 课 引 入

1.温故: (1)等差数列的定义:如果一个数列 {an } 从第二项开始,每一项 an 与 它前一项 an ?1 的差等于同一个常数 d ( 公差 ) ,这个数列叫做等差数列 . 即: ; an ? an?1 ? d( , n ? 1, n ? N *) (2)等差数列的通项公式:an ? ?a1 ? (n ?1)d( , n ? N )第二通项公
*

式 :

an ? ?am ? (n ? m)d( , n, m ? N *) ; 第 三 通 项 公 式 :
1

an ? pn ? q, n ? N * (其中p为公差,q ? a1 ? d ) ;
(3)等差中项: 2an ? an?1 ? an?1( . , n ? N *) 2.情境:据不完全统计,截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿,如果今后将人 口平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多少? 解:1999 年:13 亿
2

2000 年 13 ? 1.01 亿
20

2. 创 设 情境, 巧 经计算,20 年后我国人口数最多约为 16 亿,人口的迅速增长给我国带来 渗 法 制 多方面的问题,为此我国制定了计划生育政策: 教育, 增 《中华人民共和国人口与计划生育法》第十八条规定:国家稳定现行生育 加 学 生 政策,鼓励公民晚婚晚育,提倡一对夫妻生育一个子女;符合法律、法规规定 的 法 律 条件的,可以要求安排生育第二个子女。具体办法由省、自治区、直辖市人名 知识. 代表大会或者其常务委员会规定。 少数名族也要实施计划生育, 具体办法由省、 自治区、直辖市人名代表大会或者其常务委员会规定。 2001 年 13 ?1.01 亿 . . . . . . 2019 年: 13 ?1.01 亿 新 知 探 究 探究一: 等比数列的定义 观察下列数列填空,并给出你的结论: (1) 1, 2, 22 , 23 ??? ; 引导学 生观察, 并总结 等比数 列的定 义

,(2) 1
2

1 1 1 , ,- ? ? ? 2 4 8
3

(3) 13,13 ?1.0113 , ?1.01 , 13 ?1.01 , ??? (4) 1 ,1 ,1 ,??? (5) 0, 0, 0 , ???

(6) 1 , 2, 4, 5, 8 , ??? 学生填空: 对于数列(1)从第二项起,每一项与前一项的比都是 对于数列(2)从第二项起,每一项与前一项的比都是 对于数列(3)从第二项起,每一项与前一项的比都是 对于数列(4)从第二项起,每一项与前一项的比都是 对于数列(5)从第二项起,每一项与前一项的比都是 对于数列(6)从第二项起,每一项与前一项的比都是 结论:从第二项起,每一项与前一项的比都是同一个常数。 据此,请同学们给出等比数列的定义: 等比数列的定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比,记为“q(q ≠0)”. 即

an a ? q,(q ? 0, n ? N * ) 或 n?1 ? q, (q ? 0, n ? N * ) an?1 an

思考 1? 1.已知等比数列 ?an ? : (1) an 能不能为零? 2

(2)公比 q 能不能为 1? (3)公比 q 能不能为 0? 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① 1,-1,1,…, ?? 1? ③a,a,a,…,a; ⑤ m, 2m2 , 4m3 ,8m4 ???
n ?1

.

; ②1,2,4,6…; ④已知 a1 ? 2,an ? 3an ? 1 ;

2 2 ?, 2 ⑥ 2 ,,,
a a a

a

3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列? (学生回答,老师指点) 探究二:等比中项 观察如下的两个数之间, 插入一个什么数后,这三个数就会成为一个等比数 列: (1)1, , 9 (2)-1, ,-4 (3)-12, ,-3 (4)1, ,1 等比中项的定义: 在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即

G b ? ? G 2 =ab ? G = ? ab a G
如何用 a 1 和 q 表示第 n 项 a n

探究三:通项公式

1.叠乘法(累乘法)
a2 ? q a1 a2 ? q a3 a3 ? q a4 ? ? ? an ? q an ?1

2.不完全归纳法

a2 ? a1q a3 ? a2 q ? a1q 2 a4 ? a3 q ? a1q 3 ? ? ? an ? an ?1q ? a1q n ?1

这 n-1 个式子左右相乘得

an ? q n ?1 a1
所以 an ? a1q ,(q ? 0,n ? N )其中, a1 与 q 均不为 0。由于当 n=1 时
* n?1

上面等式两边均为 a1 ,即等式也成立,说明上面公式当 n∈N*时都成立,因此 它就是等比数列 ?an ? 的通项公式。 等比数列的通项公式: 3

an ? a1qn?1,(q ? 0,n ? N * )
百变不离其宗: (类比等差数列第二通项公式推导等比数列的第二通项公式)

an ? amqn?m,(q ? 0,m,n ? N * )
体现类 比的思 想 例 题 讲 评 例 1.在等比数列 ?an ? 中, (1) a4 ? 27, q ? ?3 求 an ; (1) a3 ? 12, a4 ? 8 求 a1 . 解:略 变式训练 1:求下列等比数列 {an } 中的未知项: (1) 2, a ,8 (2) a5 ? 4, a7 ? 6 ,求数列 {an } 的通项公式和 a9 . 例 2 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2 项. 解:略 课 堂 小 结

作业 布置 教 学 反 思

教材:p53 练习 4, p53 习题 2.4A 组 1

4

5


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