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潮州市2011-2012学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷 数学(文科)


潮州市 2011-2012 学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷

数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的。 1.设集合 A={1,2} ,B={1,2,3} ,C={2,3,4} ,则(A∩B)∪C= A. {1,2,3} B. {1,2,4} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4} 2.设 i 是虚数单位,则 1 A.i+2 i i = 1+i 1 1 1 B.i-2 i C.2 +2 i

1 1 D.2 -2 i

3.设 x∈R,则“x(x-1)<0”是“x<1”的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 π 4.在△ABC 中,A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,且 A=3,a= 3,b=1, 则 c= A.1 B.2 C. 3-1 D. 3

5.某部门计划对某路段进行限速,为调查限速 60km/h 是否合理,对通过该路段的 300 辆汽车 的车速进行检测,将所得数据按[40,50) ,[50,60) , [60,70) ,[70,80]分组,绘制成如图所示的频率分 布直方图,则这 300 辆汽车中车速低于限速的汽 车有 A.75 辆 B.120 辆 C.180 辆 D.270 辆 ? ?x+y≥0 6.在平面直角坐标系中,不等式组?x-y≤0(a 为正整数)表示的平面区域的面 ? ?x≤a 积是 4,则 2x+y 的最大值为 A.-2 B.0 C.2 D.6 7.定义在 R 上的函数 ?(x)满足 ?(x+1)=-?(x),则 ?(x)的周期是 A.1 B.2 C.3 D.4 x2 y2 8.直线 x-2y+2=0 经过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,

则该椭圆的离心率为 2 5 A. 5 5 B. 5 2 C.3 1 D.2

9.有一个几何体的三视图如下,外轮廓是边长为 1 的正方形,则该几何体的体 积为

正视图 1 A.6 1 B.2 5 C.6 1 D.3

侧视图

俯视图

a+b 10.设 a△b= 2 ,a□b= ab,△和□分别表示一种运算,则?a,b∈R+,有 A.a□b≥a△b B.a□b>a△b C.a□b<a△b D.a□b≤a△b

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 S4 11.设等比数列{an}的公比为 q=2,前 n 项和为Sn,则 =__________ a2 → → → → → 12.已知向量 a =(1,n) , b =(-1,n) ,若 a 与 b 垂直,则 a =______ 13.若下面框图的程序运行结果为 S=20,那么判断框中应填入的关于 k 的条件 是__________

14.设?x∈(1,2) ,使 x+a =6-2x 成立,则正数 a 的取值范围是__________

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤。 15. (本小题满分 12 分)

已知函数 ?(x)= 3sinx+cosx,x∈R 1 (1)若 a 是第一象限角,且 cosa=2,求 ?(π-a)的值; π (2)若 x∈[0, ],求 ?(x)的值域。 2

16. (本小题满分 12 分) 某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历) 的调查,其结果(人数分布)如下表: 学历 35 岁以下 35-50 岁 50 岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y (1)用分层抽样的方法在 35-50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人学历为研究生的 概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分段抽样的方法抽取 N 个人, 其中 35 岁以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人 5 的年龄为 50 岁以上的概率为39,求 x、y 的值。

17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,且 PA= AD,点 F 是棱 PD 的中点,点 E 在棱 CD 上移动。 (1)当点 E 为 CD 的中点时,试判断直线 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由; (2)求证:PE⊥AF。

18. (本小题满分 14 分)

1 已知函数 ?(x)=lnx-m(x-x) (m 为实常数) 2 (1)当 m=5时,求函数 ?(x)在区间[1,e]上的最大值; (2)若函数 ?(x)无极值点,求 m 的取值范围。

19. (本小题满分 14 分) 已知圆心为 P 的动圆与直线 y=-2 相切,且与定圆x2+(y-1)2=1 内切,记点 P 的轨迹为曲线 E (1)求曲线 E 的方程; (2)设斜率为2 2的直线与曲线 E 相切,求此时直线到原点的距离。

20. (本小题满分 14 分) 设各项均不为 0 的数列{a n }的前 n 项之乘积是b n ,且 λa n +b n =1(λ∈R,λ>0) (1)探求a n 、b n 、bn-1之间的关系式; 1 (2)设 λ=1,求证{ }是等差数列; bn (3)设 λ=2,求证:b 1 +b 2 +?+b n < 2 3

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数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 1.D A∩B={1,2}, (A∩B)∪C={1,2,3,4} 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D i(1-i) i-i2 i+1 i = = = 2 1+i (1+i) (1-i) 1-i2 由 x(x-1)<0,得 0<x<1,则 x(x-1)<0?x<1 2 π 1+c -3 cosA=cos = ,则c2-c-2=0,得 c=2 或 c=-1 3 2c 数组在[40,50) ,[50,60)的频率分别为 0.25、0.35,则 0.6×300=180 作出可行域,由面积得 a=2,2x+y 在点(2,2)处取得最大值 6 ?(x+2)=-?(x+1) =?(x),则 T=2 直线与坐标轴交点为(-2,0) 、 (0,1) ,c=2,b=1,则 a= 5 1 5 该几何体是正方体削去一个角,体积为 1-6=6 a+b 本题实质为 ab≤ 2 对 a,b 成立

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 15 11. 2 S4=15a1,a2=2a1 12. 2 → → → a · b =0,-1+n2=0,n2=1, a = 1+n2= 2

13.k>8(或 k≥9) 循环体被执行 2 次后,变量 S 的值恰为 20,k=8,此时应 退出循环 14.0<a<3 作出函数 y= x+a (a>0)的图像与直线 y=6-2x,交点的横坐

标在(1,2)内,可求得 0<a<3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分 15. (本小题满分 12 分) 1 3 (1)由 a 是第一象限角,且 cosa=2,得 sina= 1-cos2a= 2 (2 分) ∴?(π-a) = 3sin(π-a)+cos(π-a) = 3sina-cosa (4 分) 3 1 = 3× 2 -2=1 (6 分)

3 1 π (2)?(x)= 3sinx+cosx=2( 2 sinx+2cosx)=2sin(x+ ) (9 分) 6 π π π 2π 由 0≤x≤ ,得 ≤x+ ≤ (10 分) 2 6 6 3 π ∴1≤2sin(x+ )≤2 即 ?(x)的值域为[1,2] (12 分) 6 16. (本小题满分 12 分) (1)用分层抽样的方法在 30-35 岁中抽取一个容量为 5 的样本,设抽取学历为 30 m 本科的人数为 m,∴50= 5 ,解得 m=3 (2 分) ∴抽取学历为研究生 2 人,学历为本科 3 人,分别记作S1、S2;B1、B2、B3 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个: (S1,B1), (S1,B2), (S1,B3), (S2,B1), (S2,B2), (S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3) 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3), (S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2) (4 分) 7 ∴从中任取 2 人,至少有 1 人学历为研究生的概率为10 (6 分) 10 5 (2)由题意,得 N =39,解得 N=78 (8 分) ∴35-50 岁中被抽取的人数为 78-48-10=20 (9 分) 48 20 10 ∴ =50= (11 分)解得 x=40,y=5 80+x 20+y 即 x、y 的值分别为 40、5 (12 分) 17. (本小题满分 14 分) (1)当点 E 为 CD 的中点时,EF∥平面 PAC (2 分) ∵点 E、F 分别是 CD、PD 的中点 ∴EF∥PC (4 分) ∵PC?平面 PAC,EF? / 平面 PAC ∴EF∥平面 PAC (6 分) ∴CD⊥PA

(2)∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD 又∵ABCD 是矩形 ∴CD⊥AD ∵PA∩AD=A ∴CD⊥平面 PAD ∵AF?平面 PAD ∴CD⊥AF (9 分)

∵PA=AD,点 F 是棱 PD 的中点 ∴PD⊥AF (12 分) 又∵CD∩PD=D ∴AF⊥平面 PDC (13 分) ∵PE?平面 PDC ∴PE⊥AF (14 分)

18. (本小题满分 14 分) 2 2 1 (1)当 m=5时,?(x)=lnx-5(x-x)

-(2x-1)(x-2) 1 2 1 1 令?'(x)=x-5(1+x2)= =0,得 x=2 或 x=2(舍去) (3 分) 5x2 当 x∈(1,2)时,?'(x)>0;当 x∈(2,e)时,?'(x)<0 ∴?(x)在(1,2)上递增,在(2,e)上递减 (5 分) 3 ∴当 x=2 时,?(x)max=?(2) =ln2-5 (6 分) (2)?(x)定义域(0,+∞) (7 分) -mx +x-m 1 1 ?'(x) =x-m (1+x2)= (8 分) x2 由题意,?(x)无极值点,分如下情况讨论: ①若?'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,则-mx2+x-m≥0, x 即 m≤ 在(0,+∞)上恒成立 1+x2 x 1 1 当 x>0 时, ∈ (0 , 2= 2] ∴m≤0 (11 分) 1+x 1 x+x ②若?'(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,则-mx2+x-m≤0, x 即 m≥ 在(0,+∞)上恒成立 1+x2 x 1 1 1 当 x>0 时, = ∈(0,2] ∴m≥2 (13 分) 1+x2 1 x+x 1 综①②,函数 ?(x)无极值点时,m 的取值范围是(-∞,0]∪[2,+∞) (14 分) 19. (本小题满分 14 分) (1)由题意,得点 P 到直线 y=-1 和点(0,1)距离相等 (2 分) ∴点 P 的轨迹是以点(0,1)为焦点,以直线 y=-1 为准线的抛物线 (4 分) ∴曲线 E 的方程是x2=4y(6 分) (2)设斜率为2 2的直线方程为 y=2 2x+m (7 分) ?y=2 2x+m 由? 2 消去 y,得x2-8 2x-4m=0 x = 4y ? 由直线与曲线 E 相切,得△=(-8 2x)2+16m=0 (9 分) 得 m=-8 (10 分) ∴直线方程为 y=2 2x-8 ∴原点到直线的距离为 d= 即2 2x-y-8=0 8 =3 (2 2) +1
2
2

-8

(14 分)

20. (本小题满分 14 分)

bn (1)由数列{a n }的前 n 项之乘积是b n ,得a 1 =b 1 ,a n = (2 分) bn-1 (2)令 n=1,得 λa 1 +b 1 =1,又a 1 =b 1 ,∴b 1 = ∵λ=1 1 ∴b 1 =2 (3 分) 1 λ+1

bn bn 当 n≥2 时,将a n = 代入a n +b n =1 中,得 +b n =1 bn-1 bn-1 1 1 则 = +1 bn bn-1 (4 分)

1 1 数列{ }是以 =2 为首项,以 1 为公差的等差数列 bn b1 (3)∵2a 1 +b 1 =1,a 1 =b 1 当 λ=2 时,将a n = 1 1 则 =2 +1 bn bn-1 1 ∴3b 1 =1,b 1 =3 (5 分)

bn bn 代入 2a n +b n =1 中,得 2 +b n =1 bn-1 bn-1

(6 分)

1 1 ∴ +1=2( +1) (7 分) bn bn-1 1 1 ∴{ +1}是以 +1=4 为首项,以 2 为公比的等比数列 (8 分) bn b1 1 1 ∴ = n+1 bn 2 -1 (9 分)

1 1 1 1 ∵ n+1 < n+1 =2· n 2 -1 2 -2 2 -1 1 ∴b n <2bn-1(n∈N*,n≥2) (10 分)

1 1 1 ∴b 1 +b 2 +?+b n ≤b 1 +2b 1 +22b 1 +?+ n-1b 1 2 1 1-2n b1 2 2 =b 1 · < = ( 12 分)即 λ = 2 时, b + b +?+ b < 1 2 n 1 1 3 3 1―2 1―2

(14 分)


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