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上海市浦东新区2013届高三上学期期末质量抽测数学理试题及答案


浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷(理科)
2013.1

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.若集合 A ? { 0 , m } , B ? { 0 , 2 } , A ? B ? { 0 ,1, 2 } ,则实数 m ?
? a 1 x ? b1 y ? c 1 ?a 2 x ? b2 y ? c2

1

.

2.已知二元一次方程组 ?
?x ? 2 . ? ?y ?1

的增广矩阵是 ? ?

?1 ?1

?1 1

1? ? ,则此方程组的解是 ? 3?

3.函数 y ?

log 2 ( x ? 2 ) 的定义域为

[ 3 , ?? )

.
1 16

4.已知 x , y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 5.函数 y ? 1 ?
x

. .

( x ? 0 )的反函数是
??

y ? (x ? 1 )( x ? 1 )
2

6.函数 f ( x ) ? 2 s in ?

? ?? ? ? x ? s in ? ? x ? 的最小正周期为 ? 4 ? ? 4 ?

?

.

7.等差数列 ? a n ? 中, a 6 ? a 7 ? a 8 ? 1 2 ,则该数列的前 1 3 项和 S 1 3 ?

52

.

8.已知数列 ? a n ? 是无穷等比数列,其前 n 项和是 S n ,若 a 2 ? a 3 ? 2 , a 3 ? a 4 ? 1 ,

则 lim

n? ?

Sn

的值为

16 3

.
8?

9. 若一个圆锥的轴截面是边长为 4 c m 的等边三角形, 则这个圆锥的侧面积为 10.二项式 ? ?
? 1 2 ? ? x ?
n

cm .

2

x ?

的展开式前三项系数成等差数列,则 n ?

8

.

11.已知甲射手射中目标的频率为 0 .9 ,乙射手射中目标的频率为 0 .8 ,如果甲乙两射手的 射击相互独立, 那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率为 . 0 .9 8 12.已知向量 a 与向量 b , a ? 2 , b ? 3 , a 、 b 的夹角为 6 0 ,当1 ? m ? 2 , 0 ? n ? 2 时,
? m a? ? n b 的最大值为
2 19

?

?

?? ?

?? ?

?

?

?

.

1

13. 动点 P 在边长为 1 的正方体 A B C D 垂直于

? A1 B 1 C 1 D 1

的对角线 B D 1 上从 B 向 D 1 移动, P 作 点

面 B B 1 D 1 D 的直线与正方体表面交于 M , N , B P

? x, M N ? y



则 函 数

y ? f (x)

的 解 析 式 为

? ? ? y ? ? ? 2 ? ?

2 3 2 ?

6

? 3? x, x ? ?0, ? 2 ? ? 6 ? 3 x, x ? ? , ? 2 ? ? 3? ?



2 3

2? |

2 ?

2 3

6

x | x ? [0,

3 ] 给分.

14. 2 , ? , n 共有 n ! 种排列 a 1 , a 2 , ? , a n( n ? 2 , n ? N ) 其中满足“对所有 k ? 1, 2 , ? , n , 1, 都有 a k ? k ? 2 ”的不同排列有
2 ?3
n?2

?

种.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 15.已知△ABC 两内角 A、B 的对边边长分别为 a、b,则“ A ? B ”是“ a co s A ? b co s B ” 的 ( A )
( A ) 充分非必要条件 ( B ) 必要非充分条件 ( C ) 充要条件 ( D ) 非充分非必要条

件 16.已知函数 f ( x ) ?
4
( A) ?

1
x

? 2

,若函数 y ? f ( x ? m ) ?
(B)

1 4

为奇函数,则实数 m 为 ( C )
1 2
(D ) 1

1 2

0

(C )

17. 若 x 1 , x 2 , x 3 , ? , x 2 0 1 3 的方差为 3 ,则 3 ( x 1 ? 2 ) , 3 ( x 2 ? 2 ) , 3 ( x 3 ? 2 ) , ? ,
3 ( x 2013 ? 2 ) 的

方差为 ( D )
( A) 3 (B) 9 ( C ) 18 ( D ) 27

18 . 定 义 域 为 ? a , b ? 的 函 数 y ? f ( x ) 图 象 的 两 个 端 点 为 A , B , 向 量
???? ??? ? O N? ? O ?A 1 ? ( ? ??? ? ) ,B O

2

M ( x , y )是 f ( x ) 图 象 上 任 意 一 点 , 其 中 x ? ? a ? (1 ? ? ) b , ? ? ? 0 ,1 ? . 若 不 等 式

M N ? k 恒成立,

则称函数 f ( x ) 在 ? a , b ? 上满足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的线 性近似阀值. 下列定义在 ?1, 2 ? 上函数中,线性近似阀值最小的是
( A) y ? x
2

( D )
?
3 x
(D ) y ? x ?

(B) y ?

2 x

( C ) y ? s in

1 x

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中, A B ? A C ? A A1 ? 2 , ? A B C ? 4 5 ? .
A1

c1

(1)求点 A 到平面 A1 B C 的距离; (2)求二面角 A ? A1 C ? B 的大小. 解: (1)? A B ? A C ? 2 , ? A B C ? 4 5 , ? ? B A C ? 9 0 ,
? VA ? 4 3
A
? ?

B1

1 ? ABC

.
2 ,? S ? A B C ? 2 3 . …3 分
1

C

? A1 B ? B C ? A1 C ? 2

B

设点 A 到平面距离为 h ,由

1 3

h ? S ?A BC ? V A
1

1 ? ABC

,

? h ?

2 3

3

.? 点 A 到平面距离为

2 3

3

.

……6 分

(2)设 A1 C 的中点为 M ,连结 B M , A M .
? B A1 ? B C , A A 1 ? A C , ? B M ? A1 C , A M ? A1 C .

? ? A M B 是二面角 A ? A1 C ? B 的平面角.………………………8 分

3

ta n ? A M B ?
?

2 , ? ? A M B ? a r c ta n

2

二面角 A ? A1 C ? B 的大小为 a rc ta n

2 .………………………………12 分

20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 A B C 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 A M P N 健身场地, 如图点 M 在 A C 上, N 在 A B 点 上,且 P 点在斜边 B C 上,已知 ? ACB ? 60 ? 且 | AC | ? 30 米, A M = x , x ? [10 , 20 ] . (1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)设矩形 A M P N 健身场地每平方米的造价为 铺上草坪, 每平方米的造价为
12 k S 37 k S

,再把矩形 A M P N 以外(阴影部分)

( k 为正常数) ,求总造价 T 关于 S 的函数 T ? f ( S ) ;

试问如何选取 | AM | 的长使总造价 T 最低(不要求求出最低造价). 解: (1)在 Rt ? PMC 中,显然 | MC | ? 30 ? x , ? PCM ? 60 ,
? | PM | ? | MC | ? tan ? PCM
?

B

?

3 ( 30 ? x )

,………………2 分 , x ? [1 0 , 2 0 ] …4 分

N

P

矩形 A M P N 的面积 S ? | PM | ? | MC | ? 于是 200
3 ? S ? 225

3 x ( 30 ? x )

3 为所求.……………………………6 分
A M

C

4

(2) 矩形 A M P N 健身场地造价 T1 ? 37 k 又 ? ABC 的面积为 450

S

……………………7 分
12 k S 3 ? S ) ,……………8 分

3 ,即草坪造价 T 2 ?

( 450

由总造价 T ? T1 ? T 2 ,? T ? 25 k ( S ?

216 S

3

) , 200

3 ? S ? 225

3 .…10 分

?

S ?

216 S

3

? 12

6

3 ,……………………………………………………11 分

当且仅当 S ?

216 S

3

即 S ? 216

3 时等号成立,……………………………12 分

此时 3 x ( 30 ? x ) ? 216

3

,解得 x ? 12 或 x ? 18 ,

所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低.………………………14 分

21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知复数 z 1 ? 2 sin ? ?
3 i , z 2 ? 1 ? ( 2 co s ? ) i , ? ? [

?
3

,

?
2

].

(1)若 z 1 ? z 2 为实数,求角 ? 的值; (2)若复数 z 1 , z 2 对应的向量分别是 a , b ,存在 ? 使等式 ( ? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? 0 成立, 解 求实数 ? 的取值范围. : ( 1
3 c o s ? ) ? ( 2 s in 2 ? ? 3 )i ? R

?

?

?

?

?

?

) , ……2

z 1 ? z 2 ? ( 2 sin ? ?

3 i ) ?1 ? ( 2 cos ? ) i ? ? ( 2 s in ? ? 2


? sin 2 ? ? 3 2

,……………………………………………………………………4 分
2 3


?2

2? 3

? 2 ? ? ? ,? 2 ? ?

? ,即 ? ?

?
3

.……………………………………6 分

(2) a ? b ? 8 ,………………………………………………………………………8 分
? ? a ? b ? 2 s in ? ? 2 3 c o s ? ,………………………………………………………10 分

?2

5

?

?

?

?

? 2

? 2 2

?

?

( ? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? ? ( a ? b ) ? (1 ? ? ) a ? b ? 0 .

得 8 ? ? (1 ? ? 2 )( 2 sin ? ? 2 3 cos ? ) ? 0 ,整理得 因为 ? ? 13 分 解得 ? ? ? 2 ?
3 或? 2 ?

2? 1? ?
2

? ? sin( ? ? 1 2 ? 2? 1? ?
2

?
3

) .……12 分

?
3

? [0,

?
6

] ,所以 sin( ? ?

?
3

) ? [0,

1 2

] . 只要 ?

? 0 即可,………………

3 ? ? ? 0 .……………………………………………14 分

22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 { x n } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( x n ? 1 ? p ) ( x n ? p ) ? 0 成立, 那么我们称数列 { x n } 为“ p ? 摆动数列”.
n (1)设 a n ? 2 n ? 1 , b n ? q ( ? 1 ? q ? 0 ) n ? N ? ,判断数列 { a n } 、{ b n } 是否为“ p ? ,

摆动数列”, 并说明理由; (2)已知“ p ? 摆动数列” { c n } 满足 c n ? 1 ?
1 cn ? 1

, c 1 ? 1 ,求常数 p 的值;

n 1) (3)设 d n ? ( ? 1) ?( 2 n ? ,且数列 { d n } 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 { S n } 是“ p ? 摆动

数列”, 并求出常数 p 的取值范围. 解: (1)假设数列 { a n } 是“ p ? 摆动数列”,
6

即存在常数 p ,总有 2 n ? 1 ? p ? 2 n ? 1 对任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 { a n } 不是“ p ? 摆动数列”; ……………………………………………2 分 由 b n ? q n ,于是 b n b n ? 1 ? q 2 n ? 1 ? 0 对任意 n 成立,其中 p ? 0 . 所以数列 { b n } 是“ p ? 摆动数列”. ………………………………………………4 分 (2)由数列 { c n } 为“ p ? 摆动数列”, c 1 ? 1 ? c 2 ? 即存在常数
1 2 1 2



? p ? 1 ,使对任意正整数 n ,总有 ( c n ? 1 ? p )( c n ? p ) ? 0 成立;

即有 ( c n ? 2 ? p )( c n ? 1 ? p ) ? 0 成立.则 ( c n ? 2 ? p )( c n ? p ) ? 0 ,………………6 分 所以 c 1 ? p ?? c 3 ? p ? ? ? c 2 n ? 1 ? p .……………………………………7 分 同理 c 2 ? p ? c 4 ? p ? ? ? c 2 n ? p .…………………………………………8 分 所以 c 2 n ? p ? c 2 n ? 1 ?
1 c 2 n ?1 ? 1 ? c 2 n ? 1 ,解得 c 2 n ? 1 ? 5 ?1 2

即p ?

5 ?1 2 5 ?1 2

.…9 分

同理

1 c2n ? 1

? c 2 n ,解得 c 2 n ?

5 ?1 2

;即 p ?

5 ?1 2

. 综上 p ?

.……………11 分

n n (3)证明:由 d n ? ( ? 1 ) ? ( 2 n ? 1 ) ? S n ? ( ? 1 ) ? n ,…………………………………13 分

2 n ?1 ? n ( n ? 1 ) ? 0 成立, 显然存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 S n S n ? 1 ? ( ? 1 )

所以数列 { S n } 是“ p ? 摆动数列”; …………………………………………………14 分 当 n 为奇数时 S n ? ? n 递减,所以 S n ? S 1 ? ? 1 ,只要 p ? ? 1 即可 当 n 为偶数时 S n ? n 递增, S n ? S 2 ? 2 ,只要 p ? 2 即可 综上 ? 1 ? p ? 2 , p 的取值范围是 ( ? 1, 2 ) .………………………………………16 分 (取 ( ? 1, 2 ) 中的任意一个值,并给予证明均给分) 如取 p ?
? ( ? 1) 1 2
2 n ?1

时, ( S n ?
? n ( n ? 1) ?

1 2 1 2

)( S n ? 1 ? ( ? 1) ?
n

1 2 1 4

) ? [( ? 1 ) n ?
n

1 2

][( ? 1 )
n

n ?1

( n ? 1) ? 1 4

1 2

]

? ? n ( n ? 1) ?

1 2

( ? 1) ?

.

7

因为 ? 立.

1 4

?

1 2

( ? 1) ?
n

1 4

?

3 4

, ? n ( n ? 1 ) ? ? 2 ,存在 p ?

1 2

,使 ( S n ?

1 2

)( S n ? 1 ?

1 2

) ? 0 成

所以数列 { S n } 是“ p ? 摆动数列”.

23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)
1 ? 2x, 0 ? x ? ? ? 2 设函数 T ( x ) ? ? ? 2 (1 ? x ) , 1 ? x ? 1 ? ? 2
? ?

(1)求函数 y ? T ? sin(

?

? ?? ? x ) ? 和 y ? sin ? T ( x ) ? 的解析式; 2 ? 2 ? ?

(2)是否存在非负实数 a ,使得 a T ( x ) ? T ( a x ) 恒成立,若存在,求出 a 的值;若不存在, 请说明理由; (3)定义 T n ? 1 ( x ) ? T n ( T ( x )) ,且 T1 ( x ) ? T ( x )

?n ? N ?
?

8

① 当 x ? ? 0 , n ? 时,求 y ? T n ( x ) 的解析式; 2 ? ? 已 知 下 面 正 确 的 命 题 : 当 x? ? n , n ? 2 ? 2 ?
Tn ( x ) ? Tn ( i 2
n -1

?

1 ?

? i ?1 i ?1 ?

( i ? N , ? i ? 2 ? 1) 时 , 都 有 1
n

?

? x ) 恒成立.

② 对于给定的正整数 m ,若方程 T m ( x ) ? k x 恰有 2 m 个不同的实数根,确定 k 的取值范围; 若将这些根从小到大排列组成数列 ? x n ? ? 1 ? n ? 2 m ? ,求数列 ? x n ? 所有 2 m 项的和.
? ?? ? 2 s in ? ? ? 2 ? ? ? 解: 函数 y ? T ? s in ( x ) ? ? ? (1) 2 ? ? ? 2 ? 2 s in ? ?
? ? s in ?? ? ? 函数 y ? s in ? T ( x ) ? ? ? ? 2 ? ? s in ? ?

? x? ?

1? ? 5 ? ? x ? 4k , k + ? ? ? 4k + , k +2 k ? Z 4 4 ? ? 3? ? 3 ? ? 1 5 ? ? x ? 4k + , k + 4 k ? Z ? ? 3 3 ? ?

?? ? x? ? ? 2 ?

?
2

?2x ? ? 2 -2 x ?

? 1 ? x ? 0, ? ? 2 ? ? ?1 ? x? ,1 ?2 ? ? ?

?
2

= s in ? ? x ?

x ? ? 0 ,1 ? ……4 分

1 ? 1 ? 2ax, 0 ? x ? 2ax, 0 ? ax ? ? ? ? 2 ? 2 (2) y ? a T ( x ) ? ? , y ? T (ax) ? ? ……6 分 ? 2 a (1 ? x ) , 1 ? x ? 1 ? 2 (1 ? a x ) , 1 ? a x ? 1 ? ? ? 2 ? 2

当 a ? 0 时,则有 a ( T ( x )) ? T ( a x ) ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时,当且仅当 a ? 1 时有 a ( T ( x )) ? T ( a x ) ? T ( x ) 恒成立. 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时, a ( T ( x )) ? T ( a x ) 恒成立;………………………8 分
? 1 ?
?

1 (3)① 当 x ? ? 0 , n ? 时,对于任意的正整数 j ? N , ? i ? n ? 1 ,都有 0 ? 2 j x ? 2 ? 2 ?

1

故有 y ? T n ( x ) ? T n ? 1 ( 2 x ) ? T n ? 2 ( 2 x ) ? ? ? T n ? j ( 2 x ) ? ? ? T ( 2
2 j

n ?1

x ) ? 2 x …13 分
n

n ② 由①可知当 x ? ? 0 , n ? 时,有 T n ( x ) ? 2 x ,根据命题的结论可得, 2 ? ?

?

1 ?

当 x ? ? n , n ? ? ? n , n ? 时,有 n ? 1 ? x ? ? n , n ? ? ? n , n ? , 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2

? 1

2 ?

? 0

2 ?

1

? 0

1 ?

? 0

2 ?

9

故有 T n ( x ) ? T n (

1 2
n ?1

? x)=2 (
n

1 2
n ?1

? x) ? ?2 x ? 2 .
n

0 因此同理归纳得到,当 x ? ? n , n ? ( i ? N , ? i ? 2 ? 1) 时, 2 ? 2 ?
n

? i

i?1 ?

? 2 x ? i, i是偶数 ? ……………………15 分 T n ( x ) ? ( ? 1) ( 2 x ? i ? ) ? = ? 2 2 ? ? 2 n x ? i ? 1, i 是 奇 数 ?
i n

1

1

n

0 对于给定的正整数 m , x ? ? m , m ? ( i ? N , ? i ? 2 ? 1) 时, 2 ? 2 ?
m

?

i

i?1 ?

解方程 T m ( x ) ? k x 得, x ?

? 2 i ? 1 ? ? ( ? 1)
2
m ?1 i

i

? ( ? 1) 2 k



要使方程 T m ( x ) ? k x 在 x ? ? 0 ,1 ? 上恰有 2 m 个不同的实数根,
i 2
2 2
m m

0 对于任意 i ? N , ? i ? 2 ? 1 ,必须
m

m

?

? 2 i ? 1 ? ? ( ? 1)
2
m ?1 i

i

? ( ? 1) 2 k

?

i?1 2
m

恒成立,

解得 k ? ( 0 ,

?1

) , 若将这些根从小到大排列组成数列 ? x n ? ,

由此可得 x n ?

? 2 n ? 1 ? ? ( ? 1)
2
m ?1 n

n

? ( ? 1) 2 k

?n ? N

?

,? i ? 2 1

m

? .……………………17 分

故数列 ? x n ? 所有 2 项的和为:
m

S ? x1 ? x 2 ? ? x

2

m

?1

? x

2

m

?

0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2 2
m

m

? 2)

? k

?

2? 4? 6?? ? 2 2
m

m

? k

?

2

m ?1

(4
m

m

? 2k )
2

4

? k

.……18 分

10

11


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