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15讲三角函数、平面向量综合题六类型


第 15 讲三角函数与平面向量综合题
题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例 1】 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→=(2-2sinA,cosA+sinA) p 与向量→=(cosA-sinA,1+sinA)是共线向量. q C-3B (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)求函数 y=2sin2B+cos 的最大值. 2 【解】 (Ⅰ)∵→、→共线,∴(2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA), p q 3 3 ? 则 sin2A= ,又 A 为锐角,所以 sinA= ,则 A= . 4 2 3 ? (π- -B)-3B 3 C-3B (Ⅱ)y=2sin2B+cos =2sin2B+cos 2 2 1 3 ? =2sin2B+cos( -2B)=1-cos2B+ cos2B+ sin2B 3 2 2 3 1 ? = sin2B- cos2B+1=sin(2B- )+1. 2 2 6 ? ? ? 5? ? ? ? ∵B∈(0, ),∴2B- ∈(- , ),∴2B- = ,解得 B= ,ymax=2. 2 6 6 6 6 2 3 【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的 有界性.本题解答有两个关键: (1)利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问 题; (2)根据条件确定 B 角的范围.一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角 函数问题确定角的范围就显得至关重要了. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题, 解答时与题型二的解法差不多, 也是首先利用向量垂 直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型 解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 【例2】 3? 已知向量→=(3sinα,cosα),→=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈( ,2π),且→⊥→. a b a b 2

α ? (Ⅰ)求 tanα 的值; (Ⅱ)求 cos( + )的值. 2 3 【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手,建立关于 α 的三角方程,再利用同角三角 函数的基本关系可求得 tanα 的值;第(Ⅱ)小题根据所求得的 tanα 的结果,利用二倍角公式 α 求得 tan 的值,再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果. 2 【解】 (Ⅰ) →⊥→, →· =0. →= ∵a b ∴a → b 而 a (3sinα, cosα) →=(2sinα, 5sinα-4cosα), ,b 故→· =6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0. a → b 4 1 由于 cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.解之,得 tanα=- ,或 tanα= . 3 2 3? 1 4 ∵α∈( ,2π) ,tanα<0,故 tanα= (舍去) .∴tanα=- . 2 2 3 3? α 3? (Ⅱ)∵α∈( ,2π) ,∴ ∈( ,π) . 2 2 4

1

4 α 1 α α 5 α 2 5 由 tanα=- ,求得 tan =- ,tan =2(舍去) .∴sin = ,cos =- , 3 2 2 2 2 5 2 5 2 5+ 15 α ? α ? α ? 2 5 1 5 3 ∴cos( + )=cos cos -sin sin =- × - × =- 2 3 2 3 2 3 5 2 5 2 10 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例 3】 2 已知向量→=(cosα,sinα),→=(cosβ,sinβ),|→-→|= 5.(Ⅰ)求 cos(α-β)的值; a b a b 5

5 ? ? (Ⅱ)若- <β<0<α< ,且 sinβ=- ,求 sinα 的值. 2 2 13 【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题;而第(Ⅱ)小题 则可变角 α=(α-β)+β,然后就须求 sin(α-β)与 cosβ 即可. 【解】 2 4 (Ⅰ)∵|→-→|= 5,∴→2-2→· +→2= , a b a a → b b 5 5

将向量→=(cosα,sinα),→=(cosβ,sinβ)代入上式得 a b 4 3 12-2(cosαcosβ+sinαsinβ)+12= ,∴cos(α-β)=- . 5 5 ? ? (Ⅱ)∵- <β<0<α< ,∴0<α-β<π, 2 2 3 4 由 cos(α-β)=- ,得 sin(α-β)= , 5 5 5 12 又 sinβ=- ,∴cosβ= , 13 13 2 0 33 ∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ= . 65 0 9 点评:本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关 0 系.本题解答中要注意两点:(1)化|→-→|为向量运算|→-→|2=(→-→)2;(2)注意解 α-β a3 b a b a b 1 的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想. 8 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式:(1)三角函数与向量的积直接联系;(2)利用三角函 数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化,再利 用三角函数知识求解. ? 【例 4】设函数 f(x)=→· .其中向量→=(m,cosx),→=(1+sinx,1),x∈R,且 f( )=2. a → b a b 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值. 分析: 利用向量内积公式的坐标形式, 将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数 ? 中的“数量关系”,从而,建立函数 f(x)关系式,第(Ⅰ)小题直接利用条件 f( )=2 可以求 2 得,而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解. 解: (Ⅰ)f(x)=→· =m(1+sinx)+cosx, a → b ? ? ? 由 f( )=2,得 m(1+sin )+cos =2,解得 m=1. 2 2 2

2

? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=sinx+cosx+1= 2sin(x+ )+1, 4 ? 当 sin(x+ )=-1 时,f(x)的最小值为 1- 2. 4 点评:平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可 以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首 先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”, 再利用三角函数的相关知识 进行求解. 题型五:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 5】(山东卷)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 .

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C 【解答】(1)? tan C ? 3 7 ,? ?3 7 , cos C 1 2 2 又? sin C ? cos C ? 1 ,解得: cos C ? ? , 8 1 ? tan C ? 0 ,? C 是锐角,? cos C ? . 8 ??? ??? 5 ? ? 5 (2)? CB ? CA ? ,? ab cos C ? ,? ab ? 20 , 2 2
(1)求 cos C ;(2)若 CB ? CA ? 又? a ? b ? 9 ,? a ? 2ab ? b ? 81 ,? a ? b ? 41,
2 2 2 2

??? ??? ? ?

? c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 ,?c ? 6 .
【评析】 根据题中所给条件,初步判断三角形的形状,再结合向量以及正弦定理、余 弦定理实现边角转化,列出等式求解。? 题型六:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例 6】 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m,cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x,1) , x ? R ,且函数

? ?

?

?

y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 2) . 4
(Ⅰ)求实数 m 的值;? (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。 【解答】(Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x 由已知 f ( ) ? m(1 ? sin

?

? ?

?

?
2

4

) ? cos

?
2

? 2 ,得 m ? 1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ∴当 sin(2 x ?

?
4

)

?
4

) ? ?1 时, y ? f ( x) 的最小值为 1 ? 2 ,

3

由 sin(2 x ?

?

3? ? ? ,k ?Z?. ) ? ?1 ,得 x 值的集合为 ? x | x ? k? ? 8 4 ? ?

【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时,可先根据向量的数量积的运算法则 求出相应的函数基本关系式,然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如

y ? A sin(? x ? ? ) ? k ,再借助三角函数的有界性使问题得以解决。?
题型七:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 【例 7】设向量 a ? (sin x, cos x), b ? (cos x, cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ( x) ?

?

?

? ?

?

3 成立的 x 的取值集. 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 【解答】 (Ⅰ) f ( x) ? a ? (a ? b ) ? a ? a ? a ? b ? sin x ? cos x ? sin x cos x ? cos x ∵

1 1 3 2 ? ? 1 ? sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4 2? 3 2 ∴ f ( x) 的最大值为 ? ,最小正周期是 ?? 2 2 2 3 3 2 ? 3 (Ⅱ)要使 f ( x) ? 成立,当且仅当 ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 4 2 2
即 sin(2 x ?

?

4 8 ? 3? 3 ? ? 即 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合是 ? x | k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z?. 8 8 2 ? ?
4

) ? 0 ? 2k? ? 2 x ?

?

? 2k? ? ? ? k? ?

?

? x ? k? ?

3? ,k ?Z , 8

【评析】 结合向量的坐标运算法则,求出函数 f ( x) 的三角函数关系式,再根据三角公式 对函数 f ( x) 的三角恒等关系, 然后借助基本三角函数的单调性, 求简单三角不等式的解集。 【跟踪训练】

三角函数与平面向量训练反馈
cos B b . ?? cos C 2a ? c

4、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13 ,a+c=4,求 a 的值.

解:本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的三角函数等基础知识和利用三角公式 进行恒等变形的技能,考查运算能力和逻辑思维能力 (1)解法一:由正弦定理

a b c = = =2R, sin A sin B sin C cos B sin B , ?? cos C 2sin A ? sin C

得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入

cos B b 中, ?? cos C 2a ? c



即 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 ,
4

2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ,
∵ A+B+C= ? , ∴ sin(B+C)=A

∴ 2sin A cos B ? sin A ? 0 ∵ sinA≠0, ∴ cosB=-

1 , 2

又角 B 为三角形的内角,故 B=

2? . 3

a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 解法二:由余弦定理 cosB= ,cosC= , 2ac 2ab
代入

cos B b 中, 得 ?? cos C 2a ? c
a 2 ? c 2 ? b 2 ? a c? , 0

a 2 ? c2 ? b2 2ab b ·2 =? , 2 2 2ac a ?b ?c 2a ? c

整理,得

∴ cosB=

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 = =- , 2ac 2 2 ac
2? . 3
代入余弦定理 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac ? cos B ,

又角 B 为三角形的内角,故 B= (2)将 b= 13 ,a+c=4,B= 得 整理得 5、已知向量

2? , 3

13 ? a 2 ? (4 ? a)2 ? 2a(4 ? a) ? cos
, a 2 ? 4a ? 3? 0

2? , 3
a=1 或 a=3.

解得

a ? (cos(x ?

?
3

),1) , b ? (cos(x ?

?

1 ? ),? ) , c ? (sin(x ? ),0) 3 2 3

函数 f ( x) ? a ? b , g ( x) ? a ? c , h( x) ? a ? b ? b ? c (1)要得到 y ? f (x) 的图象,只需把 y ? g (x) 的图象经过怎样的平移或伸缩变换? (2)求 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值及相应的 x. 解: (1) f ( x) ? a ? b = cos2 ( x ?

?
3

)?

2? 1 1? ? = ?1 ? cos? 2 x ? 3 2 2? ?

?? 1 ?? ? ?? 2

=

1 2? ? cos? 2 x ? 2 3 ?

7? ? ? 1 ? ? = sin? 2 x ? ? 6 ? ? 2 ?

g ( x) ? a ? c = cos(x ?

?
3

) sin(x ?

?

1 2? ) = sin(2 x ? ) 3 2 3

5

所以要得到 f (x) 的图象只需把 g (x) 的图象向左平移 (2) h( x) ? a ? b ? b ? c =

? 即可. 4

1 2? ? ? ? ? cos? 2 x ? ? - cos(x ? ) sin(x ? ) 2 3 ? 3 3 ?

=

2 11? ? 1 2? ? 1 2? ? ? cos? 2 x ? cos? 2 x ? )= ? ? - sin(2 x ? 2 12 ? 2 3 ? 2 3 ? ?
2 11? 11? ? 2k? ,即 x ? ? ? k? ?k ? Z ? 时, h(x) 取得最大值 2 12 24

当 2x ? .

6.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ?

?

?

?
2

?? ?

?
2



(Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值. 解:(Ⅰ)若 a ? b ,则 sin ? ? cos? ? 0 ,由此得: tan ? ? ?1, (? 所以, ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?
2

?? ?

?
2

),

?
4


?

(Ⅱ)由 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), 得:

?

? ? a ? b ? (sin ? ? 1)2 ? (1 ? cos? )2 ? 3 ? 2(sin ? ? cos? )
? 3 ? 2 2 sin(? ? ) 4
? ? ? ? ? ) ? 1 时, a ? b 取得最大值,即当 ? ? 时, a ? b 的最大值为 2 ? 1 . 4 4 ? ? 1 1 7、已知向量 m ? (a ? sin? ,? ) , n ? ( , cos? ) . 2 2
当 sin(? ? (1)当 a ? (1)当 a ?
? ? ? ? 2 ,且 m ? n 时,求 sin 2? 的值; (2)当 a ? 0 ,且 m ∥ n 时,求 tan? 的值. 2

?

?

? 2 2 1 时, m ? ( ? sin? ,? ) , 2 2 2
? ? ?

? m ? n , ?由 m? n ? 0 ,
上式两边平方得 1 ? sin 2? ?
?

?

得 sin ? ? cos? ?

2 , 2

1 1 ,因此, sin 2? ? ? . 2 2
? ?

(2)当 a ? 0 时, m ? ( ? sin ? ,?1) ,由 m ∥ n 得 sin? cos? ?

1 1 .即 sin 2? ? . 4 2

6

? sin 2? ?

2 sin ? cos? 2 tan? , ? 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan 2 ?

? ?t a n ? 2? 3或 2? 3.

命题意图与思路点拨: 本题考查三角函数与平面向量的综合运用, 理解平面向量的平行 和垂直关系,并合理转化为三角函数变形求值问题。

→ → → OB=- → 8.已知在△OAB(O 为原点)中,OA=(2cos?,2sin?),OB=(5cos?,5sin?),若OA·
5,则 S△AOB 的值为_____________. 9.已知向量→=(sinA,cosA),→=( 3,-1),→· =1,且 A 为锐角. m n m→ n (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域. → 10. 在△ABC 中, B、 所对边的长分别为 a、 c, A、 C b、 已知向量→=(1, m 2sinA),n =(sinA, ? 1+cosA),满足→∥→,b+c= 3a.(Ⅰ)求 A 的大小;(Ⅱ)求 sin(B+ )的值. m n 6 11.△ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,→=(2b-c,a),→=(cosA,-cosC), m n 且→⊥→. m n (Ⅰ)求角 A 的大小; ? (Ⅱ)当 y=2sin2B+sin(2B+ )取最大值时,求角 B 的大小. 6 12.已知→=(cosx+sinx,sinx),→=(cosx-sinx,2cosx), a b ?? (Ⅰ)求证:向量→与向量→不可能平行(Ⅱ)若 f(x)=→· ,且 x∈[- , ]时,求函 a b a → b 44 数 f(x)的最大值及最小值.

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