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河南省信阳市2008—2009学年高三第二次调研考试——数学(文)

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2008— 河南省信阳市 2008—2009 学年度高三第二次调研考试

数学(文科) 数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 注意事项: 注意事项 1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 2.考试结束,考生将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的。 只有一项符合题目要求的。 1.0<x<6 是不等式|x-2|<6 成立的 . A.充分不必要条件 C.充要条件 2.函数 f ( x ) = B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

|x| x a (0 < a < 1) 的图像大致是 x

3.已知集合 M = ? x |

? ?

? ? 3 2 ? x2 y 2 + = 1? , N = ? y | + = 1? ,则 M I N 等于 9 4 ? x y ? ?

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A.

?

B.

{(3, 0), (2, 0)}

C.

[ ?3, 0) U (0,3]

D.

{3, 2}

4.把函数 y = cos 2 x ? 3 sin 2 x 的图像按向量平移后得到的图象关于 y 轴对称, | m | 则 的最小值为 A.

π
12
3

B.

π
6
' '

C.

π
3

D.

5π 12

5.已知函数 f ( x ) = 4 x ? 2 x 且 f ( x ) > f (a ) 成立,则实数 a 的取值范围是 A. ( ?∞,1) C. ( ?∞, ?1)U (1, ∞ ) 6.已知向量 a = (1, 2) , b = ( x + 1, ? x ) ,且 a ⊥ b ,则 x = A.2
x

B. (1, +∞ ) D. ( ?1,1)

B.
, x<2 f ( x) = {2 x 2 x +3

2 3

C.1

D.0

7.设函数

, x≥2

若 f ( a ) > 1 ,则 a 的取值范围是 B. (3, +∞ ) D. (0, 2)

A. (0, 2)U (3, +∞ ) C. (0,1)U (2, +∞ ) 8.等差数列中有两项 am = A.

mk + 1 2

1 1 , ak = 则该数列前 mK 项之和为 k m mk + k mk + m B. C. 2 2

D.

k+m 2

x2 y 2 1 9.设椭圆 + = 1 的一个焦点与抛物线 x 2 = 8 y 的焦点相同,离心率为 ,则此椭 m n 2
圆方程为 A.

x2 y 2 + =1 16 12

B.

x2 y 2 x2 y 2 + = 1 C. + =1 64 48 48 64

D.

x2 y 2 + =1 12 16

? x ? y +1 ≥ 0 ? 10.已知 x, y 满足 ?3 x + 2 y ? 6 ≥ 0 ,则 x 2 + y 2 的最小值是 ? x≤2 ?
A.1 B.

6 13 13

C.

36 13

D.

13 4

11.某人射击 8 次,有 3 次命中目标,其中恰有 2 次连续命中目标的情形有 A.15 种 B.30 种 C.48 种 D.60 种
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12.若函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 满足 f ( x + 2) = f ( x ) ,且 x ∈ ( ?1,1] 时, f ( x) = x ,则 函数 y = f ( x ) 的图像与函数 y = log 4 x 的图像的交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 注意事项: 注意事项:
1.第Ⅱ卷共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 填空题: 小题, 把答案直接填在题中横线上。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案直接填在题中横线上。
1 n 13.设 n 是正偶数,则 7 n + Cn + … +Cn ?1 ? 7 + 2 被 4 除所得余数为

.

14.某校对全校男女生共 1600 名进行健康调查, 选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本, . 已知女生比男生少抽了 10 人,则该校男生人数应是 15. 在正项等比数列 an 中, a2 a8 =

1 , a1 + a9 的最小值是 25

.

16.从坐标原点 O 引圆 ( x ? m) 2 + ( y ? 2) 2 = m 2 + 1 的切线 y = kx , m 变化时, 当 则切点 P 的 . 轨迹方程为 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 设 ABC 的内角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c ,且 a cos B ? b cos A = 2c. (1)求证: tan A = ?3tan B (2)求 C 的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x x ? 2 (1)解不等式 f ( x ) < 3 ; (2)若 0 < a < 2 ,求 f ( x ) 在 [ 0, a ] 上的最大值.

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19.(本小题满分 12 分) 国家质检总局对 5 家奶制品企业的所有奶制品进行三聚氰胺含量检测,检测出三聚氰 胺, 则奶制品质量不合格, 若第一次检测质量是不合格的, 必须将不合格批次的奶制品招回, 第二次检测质量仍不合格的, 责令该企业停产, 设每家企业的奶制品质量是否合格是相互独 立的,且每家企业第一次检测质量合格的概率是 0.5,第二次检测质量合格的概率是 0.8,计 算: (Ⅰ)恰好有两家企业第一次检测质量不合格的概率; (Ⅱ)某企业不被停产的概率; (Ⅲ)至少有一家企业被停产的概率。

20.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) = ( x + 2) 2 ( x ≥ 0) ,又数列 {an } 中 an > 0 , a1 = 2 ,前 n 项和 S n 满足

S n = f ( S n ?1 )(n > 1) .若 bn =
(1)求 an ; (2)求 Tn .

2 2 an +1 + an 记 {bn } 的前项和为 Tn . 2an +1an

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21. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 (?2, 0) ,一条渐近线的方程是 y = (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)若斜率为 k ( k ≠ 0) 的直线与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,且线段 MN 的中点的横坐标为 1,求 k 的取值范围.

3 x. 3

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + 1 的图象上的一点 B (1, b) 的切线斜率为 ?3 . (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)求 m 的取值范围,使不等式 f ( x ) ≤ m ? 2009 对任意 x ∈ [ ?1, 4] 都成立.

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参考答案 一.选择题 选择题 1―5 二.填空题 13.1
ADCBD

6―10

CAADC 15.-1

11―12

BC

14.840

16. x 2 + y 2 = 3

三.解答题 解答题 17.(1)在 ABC 中由正弦定理得

sin A cos B ? sin B cos A = 2 sin C = 2 sin( A + B ) ……………………………………2 分
展开得 sin A cos B = ?3cos A sin B ∴ tan A = ?3tan B ………………………………………………………………..…….4 分 (2)由 tan A = ?3tan B 得 A、B 中有一个钝角 π 若 B > ,则 a cos B ? b cos A < 0 ,矛盾 ∴ B 为锐角, A 为钝角……….6 分 2

∴ tan C = ? tan( A + B ) = ∴C ≤

tan A + tan B 2 3 ……………..8 分 = ≤ tan A tan B ? 1 cot B + 3 tan B 3

π
6 3 3

当C =

π
6

时 3tan B = cot B

得 tan B =

∴ C 的最大值为
18

π
6

………………………………………………….10 分

(1) f ( x) = x x ? 2 = {? x 2 +2 x=? ( x?1)2 +1, x<2 ……………………………………………..2 分
2 2 ∴ f ( x) < 3 ? {x≥?2 x?3<0 或 {x<?2 x +3>0 x x
2 2

x 2 ? 2 x =( x ?1)2 ?1, x≥ 2

∴2 ≤ x < 3 或 x < 2 即 x < 3 …………………………………………………………………6 分
(2)①当 0 < a < 1 时, f ( x ) 在 [ 0, a ] 为增函数,最大值为 f ( a ) = a (2 ? a ) ……9 分 ②当 1 ≤ a < 2 时, f ( x ) 在 [ 0,1] 为增函数,在 [1, a ] 上为减函数,此时 f ( x ) 的最大值 为 f (1) = 1 ……………………………………………………………………………………12 分 19.(Ⅰ)每家企业第一次检测质量不合格的概率是 1—0.5,且每家企业的奶制品质量 是否合格是相互独立的,所以恰好有两家企业第一次检测质量不合格的概率是
5 P = C2 × 0.53 = 1

5 ≈ 0.31 …………………………………………………………..4 分 16

(Ⅱ)某企业停产,即该企业第一次检测质量不合格,第二次检测,质量仍不合格,所
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以该企业被停产的概率是 P2 = (1 ? 0.5)(1 ? 0.8) = 0.1 , 从而企业不被停产的概率是 0.9…………………………………………………………8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知企业不被停产的概率是 0.9,

∴ 至少有一家企业被停产的概率是 P3 = 1 ? 0.95 ≈ 0.41 ………………………………….12 分
20.(1) S n = f ( S n ?1 ) = ( S n ?1 + 2) 即 Sn =
2

S n ?1 + 2 …………………………….…………………………………………..2 分



{ S } 是以
n

2 为首项, 2 为公差的等差数列………………………………………..3 分

∴ S n = 2 + (n ? 1) 2 = n 2 ∴ S n = 2n 2 …………………………………………………4 分

∴ n ≥ 2 时, an = Sn ? Sn ?1 = 4n ? 2 n = 1 时 an = 2 满足上式
∴ an = 4n ? 2 ………………………………………………………………………………6 分
(2)由∴ bn =
2 2 an +1 + an 4n 2 + 1 2 1 1 = 2 = 1+ 2 = 1+ ? ………….……….9 分 2an +1an 4n ? 1 4n ? 1 2n ? 1 2n + 1

∴ Tn = n + 1 ?

1 ………………………………………………………………………12 分 2n + 1 x2 y 2 ? = 1( a > 0, b > 0) , a 2 b2

21.(Ⅰ)设双曲线 C 的方程为

a 2 + b2 = 4 由题设得 { b 3 ……………………………………………………………………….…3 分 = a 3

a2 = 3 解得 { 2 b =1
所以双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 = 1 …………….…………………………………….…4 分 3

(Ⅱ)设 l 直线的方程为 y = kx + m ( k ≠ 0) ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,

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y = kx + m
其坐标满足方程组 { x 2

3

? y2 = 1

……………………………………………………………5 分

消去 y 整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 3 = 0 , 此方程有两个不等实根,于是 1 ? 3k ≠ 0 ,且 ? > 0 .
2

得 m 2 ? 3k 2 + 1 > 0(?). ………………………………………………………………….……7 分 设线段 MN 的中点坐标为 ( x0 , y0 ) , 则 x0 =

1 ? 3k 2 x1 + x2 3km .…………………………………………..9 分 = = 1 ,得 m = 2 1 ? 3k 2 3k
2 2

代入 (?) 整理得 (1 ? 3k )(1 + 6k ) > 0, 得 k < 因为 k ≠ 0 所以 k 的取值范围是 (?
' 2

3 ,……………………………………11 分 3

3 3 , 0) U (0, ). ……………………………………………….12 分 3 3
由题意得 f ' (1) = 3 + 2a = ?3 ∴ a = ?3 …………….3 分

22.(1) f ( x ) = 3 x + 2ax

∴ f ( x) = x 3 ? 3 x 2 + 1, 把 B (1, b) 代入得 b = ?1∴ a = ?3, b = ?1 …………………..….6 分
(2)令 f ' ( x ) = 0 得 x = 0 或 x = 2 ………………………………………………………8 分

Q f (0) = 1, f (2) = ?3, f (?1) = ?3, f (4) = 17 ………………………………………….10 分
∴ 当 x ∈ [ ?1, 4] 时, ?3 ≤ f ( x ) ≤ 17
要使 f ( x ) ≤ m = 2009, 只须 17 ≤ m ? 2009

∴ m ≥ 2026 ………………………………………………………………………………….12 分
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