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山东省德州市夏津第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试卷

2018 级第一次月考数学试题

一、选择题(本大题共 13 小题,共 52.0 分)

1. 直线

的倾斜角的大小为( )

A.

B.

2. 如图所示,在 中, , ,

形成的旋转体的表面积是

C.
若将

D.
绕 BC 所在的直线旋转一周,则所

A.

B.

C.

D.

3. 如果点 M 是两条异面直线外的一点,则过点 M 且与 a,b 都平行的平面( )

A. 只有一个

B. 恰有两个

C. 没有或只有一个

D. 有无数个

4. 已知 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )

A. 若 , ,则

B. 若 , ,且 ,则

C. 若 , ,且 ,则

D. 若 , ,且 ,则

5. 在直三棱柱

中,

,

,则点 A 到平面 的距离为( )

A.

B.

C.

D.

6. 过点

作直线 l,使直线 l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为 8,这样的直

线 l 一共有

A. 3 条

B. 2 条

C. 1 条

D. 0 条

7. 正四棱锥

, 为 PB 的中点, 为 PD 的中点,则两个棱锥



的体积

之比是

A.

B.

C.

D.

8. 函数

的值域是

A.

B.

C.

D.

9. 如图,动点 P 在正方体 与正方体表面相交于 M, 设

的对角线 上 过点 P 作垂直于平面

,

,则函数

的图象大致是( )

的直线,

A.

B.

C.

D.

10. 在三棱锥

中,

的表面积为

,

,

A.

B.

C.

多项选择题 11. 下面关于四棱柱的命题中,真命题的是( )

则三棱锥

的外接球

D.

A. 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱

B. 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱

C. 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱

D. 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱

12. 在下列四个命题中,错误的有( )

A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B. 直线的倾斜角的取值范围是

C. 若一条直线的斜率为 ,则此直线的倾斜角为

D. 若一条直线的倾斜角为 ,则此直线的斜率为

13. 如图,矩形 ABCD 中,

,E 边 AB 的中点,将 沿直线 DE 翻折成





,若 M 为线段 的中点,则在 翻折过程中,下列结论正确的是( )

A. 恒有 平面 B. B 与 M 两点间距离恒为定值

C. 三棱锥

的体积的最大值为

D. 存在某个位置,使得平面

平面

二、填空题(本大题共 4 小题,共 16.0 分)

14. 九章算术 中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个

面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 若三棱锥

为鳖臑, 平面

ABC,

, ,三棱锥

的四个顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积



.

15. 过点 且在坐标轴上的截距相等的直线方程是______.

16. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、

球的体积之比为______.

17. 如图,

所在的平面,AB 是 的直径,C 是 上的一点,

下列四个命题中:

面 PAC;

面 PBC;



面 PBC.

其中正确命题的是______ 请写出所有正确命题的序号

于 E,

于 F,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 82 分)

18. (12 分)如图所示,在边长为 4 的正三角形 ABC 中, 依次是 的中

点,

, 为垂足,若将 绕 AD 旋转 ,求阴影部分形成的几何

体的表面积与体积.

19. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 :

,:



求直线 经过定点的坐标;

当 且 时,求实数 a 的值.

20. (14 分)如图所示,在三棱柱

中,E,F,G,H 分别是 AB,AC, , 的中点.

求证: 平面 ABC;

求证:平面

平面 BCHG.

21. (14 分)在三棱柱
为 AB 的中点.

中,侧面

底面 ABC,

,

, ,E

求证: 平面 ;

求证: 平面 ;

求三棱锥

的体积.

22. (14 分)过点

作直线 l,与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,求:

面积的最小值及此时直线 l 的方程;

求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l 的方程.

23. (14 分)正三棱锥有一个半径为 的内切球.

(1) 当正三棱锥为正四面体时,求此正四面体的体积; (2 )求所有这样的正三棱锥中的体积最小的正三棱锥的体积.

第一次月考参考答案

24. 直线

的倾斜角的大小为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】解:设直线

的倾斜角为 ,



,



,

故选:B.

设直线

的倾斜角为 ,则

,

即可得出.

本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

25. 如图所示,在 中, , , 形成的旋转体的表面积是

若将 绕 BC 所在的直线旋转一周,则所

A. B. C. D.
【答案】A 【解析】【分析】 本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积,其中分析出几何体的形状及底面半径、母线长 等几何量是解答的关键.
绕直线 BC 旋转一周,所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,代入圆锥侧面积公 式,可得答案. 【解答】 解: 绕直线 BC 旋转一周,所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥, 是一个以 A 到 BC 的距离 AO 为半径,母线为 AC 的圆锥挖去同底的以 AB 为母线的的圆锥的 组合体,

,

,

,

所以该几何体的表面积为



故选 A.

26. 如果点 M 是两条异面直线外的一点,则过点 M 且与 a,b 都平行的平面( )

A. 只有一个

B. 恰有两个

C. 没有或只有一个

D. 有无数个

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查线面平行的判断定理,考查学生分析解决问题的能力,要注意把空间情况想全面.

【解答】

解:当过点 M 与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时,此时找不到一个过 M 的

平面与两条异面直线都平行;

当过点 M 与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线不平行时,利用线面平行的判断定理,

可得 1 个平面与 a,b 都平行.

故选 C.

27. 已知 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )

A. 若 , ,则

B. 若 , ,且 ,则

C. 若 , ,且 ,则

D. 若 , ,且 ,则

【答案】B

【解析】解:对于 A,若 , ,则 m 与 可能平行;故 A 错误;

对于 B,若 , ,且 ,根据面面垂直的定义 ;故 B 正确;

对于 C,若 , ,且 ,m,n 共面,则 ;故 C 不正确;

对于 D,若 , ,且 ,则 与 可能相交;故 D 错误.

故选 B.

利用面面垂直、线面平行、线面垂直想性质定理和判定定理对选项分析即可.

本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直想性质定理和判定定理的运用判断线面关系和面

面关系;关键是熟练掌握定理的条件,注意特殊情况.

28. 在直三棱柱
A.
【答案】B

中,
B.

,

,则点 A 到平面 的距离为( )

C.

D.

【解析】【分析】 本题考查空间中点到平面的距离,考查等体积法的应用,属基础题. 解题关键在于利用等体积法求点到直线距离. 【解答】 解: 设点 A 到平面 的距离为 h,

,三角形 面积

,三角形 ABC 面积

,

,

解得 . 故答案选 B.

29. 过点

作直线 l,使直线 l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为 8,这样的直

线 l 一共有

A. 3 条

B. 2 条

C. 1 条

D. 0 条

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式,属于基础题.

设直线 l 的方程为:

,结合直线过点

且在第二象限内围成的三角形面积为 8,构造

方程组,解得直线方程,可得答案.

【解答】

解:假设存在过点

的直线 l,使它与两坐标轴在第二象限围成的三角形的面积为 8,

设直线 l 的方程为:

,



,即

,

直线 l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积

,



,

联立

解得: , .

直线 l 的方程为:

,



,

即这样的直线有且只有一条.

故选 C.

30. 正四棱锥

, 为 PB 的中点, 为 PD 的中点,则两个棱锥



的体积

之比是

A.

B.

C.

D.

答案:

31. 函数

的值域是

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查函数定义域与值域,以及两点间距离公式,属于中档题.

由题意,函数

,函数 可以表示为 x 轴上的点



的距离之和,当三点成一条直线时距离之和最小,即可求出结果.

【解答】

解:由题意,函数

,

所以函数 可以表示为 x 轴上的点 到点 和

的距离之和,

当三点成一条直线时距离之和最小,

所以

,

故选 B.

到点

32. 如图,动点 P 在正方体 与正方体表面相交于 M, 设

的对角线 上 过点 P 作垂直于平面

,

,则函数

的图象大致是( )

的直线,

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】解:设正方体的棱长为 1,显然,当 P 移动到对角线 的中点 O 时,函数 取得唯一最大值,所以排除 A、C; 当 P 在 BO 上时,分别过 M、N、P 作底面的垂线,垂足分别为 、 、 ,



是一次函数,所以排除 D.

故选 B. 只有当 P 移动到正方体中心 O 时,MN 有唯一的最大值,则淘汰选项 A、C;P 点移动时,x 与 y 的关系应该是线性的,则淘汰选项 D. 本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力,同时考查特殊点法、排除法.

33. 在三棱锥

中,

的表面积为

,

,

则三棱锥

的外接球

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】【分析】 本题考查三棱锥的外接球的表面积和正、余弦定理,属于中档题 考查空间想象能力、推理能 力和计算能力 关键是求出外接球的半径. 【解答】 解:由条件,得

,



所以



为直角三角形.

所以三棱锥

的外接球的球心在过

的外心 E 垂线上,设为点 O,

因为 所以

, ,

故 外接圆的半径

,

则外接球的半径

,

故外接球的表面积为

,

故选 B.

34. 下面关于四棱柱的命题中,真命题的是( )

A. 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱

B. 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱

C. 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱

D. 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱

【答案】BD

【解析】【分析】本题考查棱柱的结构特征 棱柱的性质:

棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;

正棱柱的各个侧面都是全等的矩形,

棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形,

过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形,

直棱柱的侧棱长与高相等;直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形 对于

AC 可举出反例加以说明;对于 BD 可结合棱柱的概念进行判断.

【解答】解:A 错,必须是两个相邻的侧面;

B 正确;因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面;

C 错,反例,可以是斜四棱柱;

D 正确,对角线两两相等,则此两对角线所在的平行四边形为矩形.

故选 BD.

35. 在下列四个命题中,错误的有( )
A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为 ,则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为 ,则此直线的斜率为
【答案】ABCD 【解析】【分析】A 中,直线与 x 轴垂直时,直线的倾斜角为 ,斜率不存在;B 中,直线倾斜 角的取值范围是 ;C 中,直线的斜率为 时,它的倾斜角不一定为 ;D 中,直线的倾斜角 为 时,它的斜率为 或不存在. 【解答】对于 A,当直线与 x 轴垂直时,直线的倾斜角为 ,斜率不存在, A 错误; 对于 B,直线倾斜角的取值范围是 , B 错误;

对于 C,一条直线的斜率为 ,此直线的倾斜角不一定为 ,如 的斜率为

,它的倾斜

角为 , C 错误;
对于 D,一条直线的倾斜角为 时,它的斜率为 故选:ABCD.

或不存在,D 错误.

36. 如图,矩形 ABCD 中,

,E 边 AB 的中点,将 沿直线 DE 翻折成





,若 M 为线段 的中点,则在 翻折过程中,下列结论正确的是( )

A. 恒有 平面 B. B 与 M 两点间距离恒为定值

C. 三棱锥

的体积的最大值为

D. 存在某个位置,使得平面

平面

【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查了线面垂直、面面垂直的判断,余弦定理和三棱锥的体积,属于较难题 考查空间想象

能力、推理能力和计算能力,根据条件逐个判断即可.

【解答】

解:对于 A,取 CD 中点 F,连接 MF,BF,则



,



,由



,可得平面 平面 对于 B,由矩形 ABCD 中,

, 总有 平面 ,故 A 正确; ,E 为 AB 中点,得 取 CD 中点 F,连接 MF,BF,则

,所以

,且

,由余弦定理,



,故 B 正确;

对于 C,当平面

平面 ABCD 时,三棱锥

的体积的最大值,且最大体积为

,故 C 正确;

对于 D,因为不存在某个位置,使得平面 故选 ABC.

平面

,故错误.

37. 九章算术 中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个

面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 若三棱锥

为鳖臑, 平面

ABC,

, ,三棱锥

的四个顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为

()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查球 O 的表面积,考查学生的计算能力,求出球的半径是关键.

由题意,PC 为球 O 的直径,求出 PC,可得球 O 的半径,即可求出球 O 的表面积.

【解答】

解:由题意,如图所示:

PC 为球 O 的直径,

,

球 O 的半径为 ,

球 O 的表面积为

,

故选:C.

38. 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有阳马,广五尺,

褒七尺,高八尺,问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,

它的底面长,宽分别为 7 尺和 5 尺,高为 8 尺,问它的体积是多少?”若以上条件不变,则这

个四棱锥的外接球的表面积为( )

A. 平方尺

B. 平方尺

C. 平方尺

D.

【答案】B

【解析】解: 今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长,宽分别为 7 尺和 5

尺,高为 8 尺,

构造一个长方体,其长、宽、高分别为 7 尺、5 尺、8 尺,

则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球,

这个四棱锥的外接球的半径

尺,

这个四棱锥的外接球的表面积为

平方尺 .

故选:B. 构造一个长方体,其长、宽、高分别为 7 尺、5 尺、8 尺,则这个这个四棱锥的外接球就是这个 长方体的外接球,由此能求出这个四棱锥的外接球的表面积. 本题考查四棱锥的外接球的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识,考查运算求解能力、空间想象能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是基础题.

39. 过点 且在坐标轴上的截距相等的直线方程是______.

【答案】



【解析】【分析】

本题考查了直线的截距式方程,考查了分类讨论的数学思想方法,

是基础题,也是易错题.

分直线过原点和不过原点两种情况讨论,直线过原点时直接求出斜率得直线方程;不过

原点时设出直线方程,代入点的坐标得答案

【解答】

解:当直线过原点时,直线的斜率 , 直线方程为 ,即



当直线不过原点时,设直线方程为

,代入点 得:

,



直线方程为:

过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为





故答案为





40. 如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆

锥、球的体积之比为______.

【答案】3:1:2

【解析】解:设球的半径为 R,则圆柱和圆锥的高均为 2R,



,

,

,
故圆柱、圆锥、球的体积之比为:3:1:2 故答案为:3:1:2 由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则我们易根据 圆柱、圆锥及球的体积公式,求出圆柱、圆锥及球的体积,进而得到答案. 本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式,其中根据已知,设出球的半径,进而求出圆 柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键.

41.

如图,

所在的平面,AB 是 的直径,C 是 上的一点,

于 E,

于 F,

下列四个命题中:

面 PAC;

面 PBC;



面 PBC.

其中正确命题的是______ 请写出所有正确命题的序号

【答案】

【解析】解:

所在的平面,

, 又 是 的直径

,由线面垂直的判定定理,可得 面 PAC,故 正确;

又由 平面 PAC

,结合

于 F,

由线面垂直的判定定理,可得 面 PBC,故 正确;



于 E,结合 的结论

我们易得 平面 PAB

由 平面 PAB,可得

,故 正确;

由 的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直,故 错误;

故答案为:

根据已知中,

所在的平面,AB 是 的直径,C 是 上的一点,

于 E,

于 F,

结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判定,即可得到答案.

本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,其中熟练掌握线面垂直的判定定理,是解答本题

的关键.

三、解答题

42. 如图所示,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,

点,

, 为垂足,若将

体的表面积与体积.

依次是 的中 绕 AD 旋转 ,求阴影部分形成的几何

【答案】解:所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的, ,
,

所求几何体的表面积

,



,

, 所求几何体的体积为



【解析】本题主要考查旋转体的表面积,属于中档题. 先分析出这个旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的,然后利用公式求出即可.

43. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 :

,:

求直线 经过定点的坐标;

当 且 时,求实数 a 的值.

【答案】解: 直线 :



,解得 ,

对任意 ,直线 经过定点 当 时,直线 为





又直线 :

,即

可化为
; ,


. ,

当 时,有

,

解得 .

【解析】 把直线 的方程化为

,令

求得直线 经过的定点坐标;

利用两直线的斜率相等且在 y 轴上的截距不等,求得实数 a 的值. 本题考查了直线方程的应用问题,是基础题.

44. 如图所示,在三棱柱

中,E,F,G,H 分别是 AB,AC, , 的中点.

求证: 平面 ABC;

求证:平面

平面 BCHG.

【答案】证明: 在三棱柱

中,

E,F,G,H 分别是 AB,AC, , 的中点,

,

平面 ABC, 平面 ABC,

面 ABC;

在三棱柱

中,

E,F,G,H 分别是 AB,AC, , 的中点,

, 四边形

, 是平行四边形,

, 平面

,

,

,

平面 ,BG, 平面 BCHG,

平面 BCHG.

【解析】本题考查线面平行的证明,考查面面平行的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空

间思维能力的培养.

推导出

,由此能证明 面 ABC;

推导出

,

,由此能证明平面 平面 BCHG.

45. 在三棱柱
中点.

中,侧面

底面 ABC,

,

, ,E 为 AB 的

求证: 平面 ;

求证: 平面 ;

求三棱锥

的体积.

【答案】证明: 连接 ,设

因为 E 为 AB 的中点,

所以



又 平面 ,

,

所以 平面 .

在 中,由 , , ,得



中,同理可得

B.

因为侧面

底面 ABC,侧面

所以 平面



又 平面

,

所以

,



,

所以 平面 .

解: 因为 平面 , 平面

所以

C.

在直角

中,由

及,





,则 F 为 的中点,

,即



底面

,

,

所以



【解析】 连接 ,设

推导出

,

,

,则 F 为 的中点,从而

由此能证明 平面 .

,由此能证明 平面 .

推导出

C.再由

,能求出三棱锥

的体积.

本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识,是中档题.

46. 过点

作直线 l,与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,求:

面积的最小值及此时直线 l 的方程;

求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l 的方程;

【答案】解: 设直线 l 的方程为

,

则可得

,

,

直线 l 与 x 轴,y 轴正半轴分别交于 A,B 两点,

,得 ,



,

,当且仅

即 时, 的面积有最小值 4,

此时直线 l 的方程为

,





,

,

截距之和为

,

当且仅当

,即

时等号成立,

故截距之和的最小值为

,

此时直线 l 的方程为

,





【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值,直线的点斜式方程,属于偏难题目.

设 AB 的方程为

,可得 A,B 点坐标,得出三角形面积,利用基本不等式算出 的

面积 S 有最小值为 4,求出 k 的值,进而算出此时的直线 l 方程;

由 ,B 点坐标得出截距之和利用基本不等式求出最小值得出 k 的值,得到直线方程;

, ,利用基本不等式算出

,由正弦函数的值域可得直线斜率为 ,利用点斜式

方程列式,化简可得直线 l 的方程

47. V= . 48.


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