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2016版高考数学(新课标全国卷Ⅰ·理科)二轮复习课件第一部分专题二 三角函数与平面向量第2讲_图文

专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形 专题二 三角函数与平面向量 2016考向导航——适用于全国卷Ⅰ 三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函 数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重 点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.正弦定理、 余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查: (1)边和角的计算; (2)三角形形状的判断; (3)面积的计算; (4)有关的范围等问题.由于此内容应用性较强,与实际问题 结合起来命题将是今后高考的一个关注点. 1.活用公式与定理 两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ① sin(α± β)= sin α cos β ± cos α sin β; ② cos(α± β)= cos α cos β ? sin α sin β ; tan α ± tan β ③ tan(α± β) = . 1? tan α tan β (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ① sin 2α = 2sin α cos α; ② cos 2α = cos2α - sin2α =2cos2α - 1= 1- 2sin2α ; 2tan α ③ tan 2α = 2 . 1- tan α 两个定理与推论 (1)正弦定理 ① a= 2Rsin A, b=2Rsin B, c= 2Rsin C; a b c ② sin A= , sin B= , sin C= ; 2R 2R 2R ③ a∶ b∶ c= sin A∶ sin B∶ sin C. 注: R 是三角形的外接圆半径. (2)余弦定理 b2+ c2-a2 a2+ c2-b2 ① cos A= , cos B= , 2bc 2ac a2+b2- c2 cos C= ; 2ab ② b2+ c2-a2= 2bccos A, a2+ c2-b2= 2accos B, a2+b2- c2= 2abcos C. 2.辨明易错易混点 (1)已知三角函数值求角时,要注意角的范围的挖掘. (2)利用正弦定理解三角形时,注意解的个数的讨论,可能有 一解、两解或无解.在△ ABC 中, A>B? sin A>sin B. 考点一 利用三角恒等变换化简、求值 [命题角度] 1.利用三角恒等变换求值(求角). 2.利用三角恒等变换化简. 1 1 (1)若 tan α = , tan(α+ β)= ,则 tan β =( A ) 3 2 1 1 A. B. 7 6 5 5 C. D. 7 6 π π 1 ? ? ? ? (2)(2015· 武汉一模 )已知 sin - α = ,则 cos 2 + α ? ?的 ? ?3 ?? ?6 ? 3 值是( D ) A. 7 9 1 B. 3 7 D.- 9 1 C.- 3 [审题路线图 ] 审结论 (1) β β =(α+ β)-α tan α , tan(α+ β) ― ― → tan β 的值 π ? ? cos π - - 2α ?? ? ?3 ?? π ? ? (2) cos 2 + α ? ? ? ?3 ?? π ? cos - 2α ? ?3 ? 二倍角 公式 π ? sin - α ? ?6 ? (1)tan β = tan[(α+ β)- α] 1 1 - tan( α+ β)-tan α 2 3 1 = = = . 1 1 7 1+ tan( α+ β) · tan α 1+ × 2 3 [解析 ] π π π 1 ? ? ? ? ? ? (2)因为 sin - α = , 所以 cos - 2α = cos 2 - α ? ?= 1 ? ?6 ?? ?6 ? 3 ?3 ? 7 2?π ? - 2sin - α = 9, 6 ? ? π 2π ? ? ? ? ? ? 所以 cos 2 + α = cos + 2 α ? ?3 ?? ?3 ? π π 7 ? ? ? ? ? = cos π - - 2α =- cos - 2α?=- . 9 ? ?3 ?? ?3 ? 方法归纳 化简常用技巧 (1)常值代换: 特别是“1”的代换, 1= sin2θ +cos2θ =tan 45° 等. (2)项的分拆与角的配凑:如 sin2α + 2cos2α = (sin2α + cos2 α )+ cos2α , α = (α- β)+ β 等. (3)降幂与升幂:通过二倍角公式得到. (4)弦、切互化:一般是切化弦. 3 1 1. - =( D ) cos 10° sin 170° A.4 C.-2 B.2 D.-4 3 1 3 1 解析: - = - = cos 10° sin 170° cos 10° sin 10° 3sin 10°- cos 10° 2sin( 10°- 30°) - 2sin 20° = = = 1 1 sin 10° cos 10° sin 20° sin 20° 2 2 - 4,故选 D. 5 3 10 2.已知锐角 α,β 满足 sin α = , cos β = ,则 α+ 5 10 π 4 β=________ . 5 3 10 解析:由锐角 α, β 满足 sin α = , cos β = ,得 5 10 2 5 10 2 cos α = 1- sin α = , sin β = 1- cos β = . 5 10 2 2 所以 cos(α+ β)= cos α cos β - sin α sin β = . 2 π 又因为 0< α+ β<π ,所以 α+ β= . 4 3. (2015· 高考广东卷)已知 tan α =2. π? ? (1)求 tan α + 的值; 4? ? sin 2α (2)求 2 的值. sin α + sin α cos α - cos 2α - 1 π tan α +tan 4 2+1 π? ? 解:(1

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