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13年全国高考三角函数试题(难题)_图文

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编(三角函数)
一、选择题 1.(2013 年浙江数学(理)已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ? A.

10 ,则 tan 2? ? ( 2
D. ?

)

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

4 3

2.(2013 年陕西卷(理) )设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 )

3.(2013 年天津数学(理)试题)在△ABC 中, ?ABC ? A.
10 10

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC = (

B.

10 5

C.

3 10 10

D.

5 5

4.(2013 年山东数学(理)试题)将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 数的图象,则 ? 的一个可能取值为( )

? 个单位后,得到一个偶函 8

3? A. 4

? B. 4

?
C.0 D.

?
4

5.(2013 年辽宁数学(理)试题)在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为

1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b ,则 ?B ? ( 2 ? ? 2? 5? A. B. C. D. 3 6 6 3

)

6.(2013 年高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )已知函数 f ? x ? =cos x sin 2x , 下列结论中错误的是( ) B. y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ?

A. y ? f ? x ? 的图像关于 ?? ,0? 中心对称 C. f ? x ? 的最大值为

?
2

对称

3 2

D. f ? x ? 既奇函数,又是周期函数 )

7.(2013 年山东数学(理)试题(含答案) )函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为(

8. (2013 年四川卷(理) )函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ?
1

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的
高考复习(三角函数理科)

值分别是(

)

A. 2, ?

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

?
3
)

9. (2013 年春季高考数学试卷)既是偶函数又在区间 (0, ? ) 上单调递减的函数是( (A) y ? sin x (B) y ? cos x (C) y ? sin 2 x (D) y ? cos 2 x
0 0

10.(2013 年重庆数学(理)试题(含答案) ) 4cos50 ? tan 40 ? ( A. 2

)

B.

2? 3 2

C. 3

D. 2 2 ?1

11.(2013 年湖南卷)在锐角中 ?ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a , b . 若 2a sin B ? 3b, 则角A等于( A. )

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

12.(2013 年湖北卷(理) )将函数 y ?

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所
) C.

得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.

?
12

B.

?
6

?
3

D.

5? 6
1 , 3

二、填空题
0 13.(2013 年浙江数学(理)试题) ?ABC 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

则 sin ?BAC ? ___

_____.

14.(2013 年新课标 1(理) )设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值, 则 cos ? ? ___ __ 15. (2013 年福建数学(理)试题)如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD ? AC,

sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的长为_______________ 3

2

高考复习(三角函数理科)

16.(2013 年上海市春季高考数学)函数 y ? 2sin x 的最小正周期是_____________ 17.(2013 年高考四川卷(理) )设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 18. (2013 年上海卷(理) )若 cos x cos y ? sin x sin y ?

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是____

_____.

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ 2 3
2 2 2

19. (2013 年上海卷(理) )已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 , 则角 C 的余弦值为_______________ 20. (2013 年大纲版数学(理) )已知 ? 是第三象限角, sin a ? ? ,则 cot a ? ____________. 21. (2013 年试江苏卷(数学) )函数 y ? 3 sin( 2 x ?

) 的最小正周期为___________. 4 B、 C 所 对 边 长 分 别 为 a、、 b c ,若 22 . ( 2013 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 ) 在 ?ABC 中 , 角 A、

?

1 3

a ? 5, b ? 8, B ? 60 ,则 b= ____

___

23. (2013 年安徽数学(理)试题)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c .若 b ? c ? 2a , 则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? __ ___.

24. (2013 年新课标Ⅱ卷数学 (理) ) 设 ? 为第二象限角,若 tan(? ?

?
4

)?

1 ,则 sin ? ? cos ? ? ___ 2
___

_____.

25. (2013 年江西卷(理) )函数 y ? sin 2x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期为 T 为______

26. (2013 年上海市春季高考数学试卷)函数 y ? 4sin x ? 3cos x 的最大值是_______________ 三、解答题 27. (2013 年北京卷(理) )在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. ⑴求 cosA 的值 ⑵求 c 的值.

1 b. 28. (2013 年陕西卷(理) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· 2

⑴ 求 f (x)的最小正周期. ? ?? ⑵ 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

3

高考复习(三角函数理科)

2 2 2 29.(2013 年重庆数学(理) )在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c .

⑴求 C ⑵设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5

?? ? 30. (2013 年天津数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? ⑴ 求 f(x)的最小正周期 ? ?? ⑵求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

31. (2013 年辽宁数学(理) )设向量 a ? ⑴若 a ? b .求x的值;

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

⑵设函数 f ? x ? ? a b, 求f ? x ?的最大值.

32. (上海卷(理) )已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; ⑴若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

⑵令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图 6

像,区间 [ a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的

[a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

4

高考复习(三角函数理科)

33. (2013 年大纲版数学(理) )设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . ⑴求 B ⑵若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

34. (2013 年四川卷(理) )在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 2 cos
2

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5

⑴求 cos A 的值; ⑵若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

35. (2013 年山东数学(理)试题)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? ⑴求 a , c 的值 ⑵求 sin( A ? B) 的值.

7 . 9

36. (2013 年安徽数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ⑴求? 的值 ⑵讨论 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性.

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 4?

37.(2013 年江苏卷(数学)已知 a =(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . ⑴若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ⑵设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

5

高考复习(三角函数理科)

38. (2013 年广东省数学(理)卷)已知函数 f ( x) ? ⑴求 f ? ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

? ?? ? 的值 ? 6?
3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

⑵ 若 cos ? ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

39. (2013 年湖南卷(理) )已知函数 f ( x) ? sin( x ? ⑴若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

3 3 .求 g (? ) 的值 5

⑵求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

40. (2013 年湖北卷(理) )在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c . 已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 . ⑴求角 A 的大小 ⑵若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

41. (2013 年新课标Ⅱ卷数学(理) )△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . ⑴求 B ; ⑵若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

6

高考复习(三角函数理科)

42.【2012 高考真题重庆理 5】设 tan ? ,tan (A)-3 (B)-1

? 是方程 x2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的值为(
(D)3

)

(C)1

43.【2012 高考真题重庆理 13】设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

3 , 5

cos B ?

5 ,b ? 3则c ? 13

44.【2012 高考真题重庆理 18】设 f ( x) ? 4 cos( ?x ? ⑴求函数 y ? f ( x) 的值域 ⑵若 y ? f ( x) 在区间 ??

?
6

) sin ?x ? cos( 2?x ? x) ,其中 ? ? 0.

? 3x ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

2 (a ? b) ? c2 ? 4 且 C=60°, 45.【2012 高考真题重庆理 6】若 ABC 的内角 A、B、C 所对的变 a、b、c 满足

则 ab 的值为( (A)

) (B) 8 ? 4 3 (C) 1 (D)

4 3

2 3

46.【2011 高考真题重庆理 16】 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?
3

?? ? ? x? ?2 ?

满足 f ?

? 11? ?? ? ] 上的最大值和最小值. ? x ? ? f ? 0 ? ,求函数 f ( x) 在 [ , 4 24 ?2 ?

47.【2010 高考真题重庆理】设函数 f ( x) ? cos( x ? ⑴求 f ( x) 的值域;

2 x ? ) ? 2 cos 2 , x ? R . 3 2

⑵记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,若 f ( B) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的值.

7

高考复习(三角函数理科)

48. 【2010 高考真题重庆理】 已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? A、 ? ? 1, ? ? C、 ? ? 2, ? ?

?
2

) 的部分图象如题 (6) 图所示, 则 (



?
6

B、 ? ? 1, ? ? ? D、 ? ? 2, ? ? ?

?

?
6

?
6

6

y
1

O

?
3

7? 12

x

题(6)图

49.【2009 高考真题重庆理】设 ?ABC 的三个内角 A, B, C , 向量 m ? ( 3sin A,sin B) , n ? (cos B, 3 cos A) ,若 m n ? 1 ? cos( A ? B) ,则 C =( A. )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

50. 【2009 高考真题重庆理】设函数 f ( x) ? sin( ⑴求 f ( x ) 的最小正周期.

?

x ? ) ? 2 cos 2 x ? 1 . 4 6 8

?

?

⑵若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值.

4 3

8

高考复习(三角函数理科)

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 3:三角函数 一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) 试题 (纯 WORD 版) ) 已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ? 则 tan 2? ? A.

10 , 2

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

【答案】C 2 . (2013 年高考陕西卷 (理) ) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B 3 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) ) 在 △ABC 中 ,
?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =

10 10 【答案】C

(A)

(B)

10 5

(C)

3 10 10

(D)

5 5

4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) )将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为 8 ? (B) 4
?
(C)0 (D)

(A)

3? 4

?
4

【答案】B 5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边 长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

1 b, 且 a ? b ,则 ?B ? 2 5? D. 6

【答案】A 6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) )已知函数

f ? x ? =cos x sin 2x ,下列结论中错误的是
(A) y ? f ? x ? 的图像关于 ?? ,0? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? (C) f ? x ? 的最大值为 【答案】C 7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) )函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大
9 高考复习(三角函数理科)

?
2

对称

3 2

(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

致为

【答案】D 8 . (2013 年高考四川卷 (理) ) 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? 的值分别是( )

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ?

(A) 2, ?

?
3

(B) 2, ?

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

?
3

【答案】A

? ) 上单调递减的函数是( ) 9 . (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))既是偶函数又在区间 (0,
(A) y ? sin x 【答案】B 10. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 (理) 试题 (含答案) )4cos50 ? tan 40 ?
0 0

(B) y ? cos x (C) y ? sin 2 x

(D) y ? cos 2 x

(

)

A. 2 【答案】C

B.

2? 3 2

C. 3

D. 2 2 ?1

11 .( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 )) 在 锐 角 中 ?ABC , 角 A, B 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b . 若

2a sin B ? 3b, 则角A等于
A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

【答案】D 12. (2013 年高考湖北卷(理) )将函数 y ?

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位
)

后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是(

10

高考复习(三角函数理科)

A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6

【答案】B 二、填空题 13. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) 试题 (纯 WORD 版) )?ABC 中, ?C ? 900 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

1 ,则 sin ?BAC ? ________. 3

【答案】

6 3

14. (2013 年高考新课标 1(理) )设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______

【答案】 ?

2 5 . 5

15. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD ? AC, sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的长为_______________ 3

【答案】 3 16. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))函数 y ? 2sin x 的最小正周期是_____________ 【答案】 2? 17. (2013 年高考四川卷(理) )设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 【答案】 3 18. (2013 年高考上海卷 (理) ) 若 cos x cos y ? sin x sin y ? 【答案】 sin( x ? y ) ?

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是_________.

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ 2 3

2 . 3
2 2 2

19. (2013 年高考上海卷 (理) ) 已知△ABC 的内角 A、 B、 C 所对应边分别为 a、 b、 c,若 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 , 则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示) 【答案】 C ? ? ? arccos

20. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) WORD 版含答案(已校对) )已知 ? 是第三象限 角, sin a ? ? ,则 cot a ? ____________.

1 3

1 3

11

高考复习(三角函数理科)

【答案】 2 2 21 . ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )函数

y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为___________.

【答案】 ? B、 C 所对边长分别为 a、、 b c ,若 22 . ( 2013 年上海市春季高考数学试卷 ( 含答案 ) )在 ?ABC 中 , 角 A、

a ? 5, b ? 8, B ? 60 ,则 b= _______
【答案】7 23. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) )设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对 边的长分别为 a, b, c .若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____. 【答案】

24. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) )设 ? 为第二象限角,若

2 ? 3

? 1 tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? ________. 4 2
10 5

【答案】 ?

25. (2013 年高考江西卷(理) )函数 y ? sin 2x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期为 T 为_________. 【答案】 ? 26. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))函数 y ? 4sin x ? 3cos x 的最大值是_______________ 【答案】5 三、解答题 27. (2013 年高考北京卷(理) )在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值; (II)求 c 的值.

【 答 案 】 解 :(I) 因 为 a=3,b=2

6 ,∠B=2∠A.

所 以 在 △ABC 中 , 由 正 弦 定 理 得

3 2 6 .所以 ? sin A sin 2 A

2 sinA cos A 2 6 6 ? .故 cos A ? . sin A 3 3
(II)由 (I)知 cos A ?

1 6 3 2 2 , 所以 sin A ? 1? cos A ? . 又因为∠B=2∠A,所以 cos B ? 2 cos A ? 1? . 3 3 3
2

所以 sin B ? 1 ? cos B ?

2 2 . 3

12

高考复习(三角函数理科)

在△ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 c ?

5 3 . 9

a sin C ?5. sin A

1 b. 28. (2013 年高考陕西卷(理) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· 2 (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
b = cos x ? 3 sin x ? 【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? a·

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? . 2

所以 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

(Ⅱ) 当x ? [0,

?
2

]时, (2 x ?

?
6

) ? [-

? 5?
6 , 6

],由标准函数 y ? sin x在[-

? 5?
6 , 6

]上的图像知, .

f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . 2 ? 2?
29. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) )在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边 分别是 a, b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(1)求 C ; 【答案】

(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5

由题意得

13

高考复习(三角函数理科)

30 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) )已知函数 ?? ? f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2? 【答案】

31 .( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 )) 设 向 量
14 高考复习(三角函数理科)

a?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值;

(II)设函数 f ? x ? ? a b, 求f ? x ?的最大值.

【答案】

32. (2013 年高考上海卷(理) )(6 分+8 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像, 6

区间 [ a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [ a, b] 中, 求 b ? a 的最小值. 【答案】(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

? ? ? ? ??? ? 3 ? 4 2 ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ?

)) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 ? 1 ? 7 g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 3 2 3 12 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3 2? ? 43? ? 15 ? ? 故若 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,则 b ? a 的最小值为 14 ? . 3 3 3
15 高考复习(三角函数理科)

?

?

33. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 (理) WORD 版含答案 (已校对) ) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (I)求 B (II)若 sin A sin C ? 【答案】

3 ?1 ,求 C . 4

34 .( 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 )) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 cos 2
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

A? B 3 cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos ? A ? C ? ? ? ,得 2 5 3 ? ?cos ? A ? B ? ? 1? ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos B ? ? 5 , 3 即 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? , 5 3 3 则 cos ? A ? B ? B ? ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 3 4 ? ?? ? 由 cos A ? ? 5 ,0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 ,
【答案】解: ? ? ? 由 2cos
2

由正弦定理,有

a b b sin A 2 ? ? ,所以, sin B ? . sin A sin B a 2

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

?
4

.

16

高考复习(三角函数理科)

根据余弦定理,有 4 2

?

?

2

? 3? ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? 5?

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ?

2 2

35. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) )设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边 分别为 a, b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a , c 的值;

7 . 9

(Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.
2

2 2 2 b 2 ? ? a ? c ? ? 2ac(1 ? cos B) 【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 ,

又 a ? c ? 6,b ? 2 ,

cos B ?

7 9 ,所以 ac ? 9 ,解得 a ? 3 , c ? 3 .

(Ⅱ)在△ ABC 中,

sin B ? 1 ? cos 2 B ? a sin B 2 2 ? b 3 ,

4 2 9 ,

sin A ?
由正弦定理得

因为 a ? c ,所以 A 为锐角,所以

cos A ? 1 ? sin 2 A ?

1 3

sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
因此

10 2 27 .

36 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 安 徽 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 纯 WORD 版 ) )已知函数

?? ? f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 4? ?
(Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性.

【答案】解: (Ⅰ) ? 2 2 cos ?x(sin ?x ? cos ?x) ?

2 (sin 2?x ? cos 2?x ? 1) ? 2 sin( 2?x ?

?
4

)? 2

?

2? ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 2? 4

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

2

]时, (2 x ?
?
8

?

所以 y ? f ( x)在[0,

]上单调递增;在 [ , ]上单调递减 . 8 2

) ? [ , ? ? ],令 2 x ? ? 解得 x ? ; 4 4 4 4 2 8 ? ?

?

?

?

?

?

37 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 纯 WORD 版 ) )已知函数
17 高考复习(三角函数理科)

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图像的一个对称中心为 ( , 0) ,将函数 f ( x) 图像上的所 4
有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移 像. (1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2)是否存在 x0 ? (

?

?

2

个单位长度后得到函数 g ( x) 的图

? ?

, ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x0 的个 6 4

数;若不存在,说明理由. (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点. 【答案】解:(Ⅰ)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( 故 f ( ) ? sin(2 ?

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )
,所以 f ( x) ? cos 2 x

?

?
4

4

? ? ) ? 0 ,得 ? ?

?
2

将 函 数 f ( x) 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) 后 可 得 y ? cos x 的 图 象 , 再 将

y ? cos x 的图象向右平移
(Ⅱ)当 x ? (

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x

? ?

1 2 1 , 0 ? cos 2 x ? , ) 时, ? sin x ? 2 2 6 4 2

所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x 问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 在 ( 设 G ( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2 cos 2 x , x ? (

? ?

? ?

, ) 内是否有解 6 4

, ) 6 4

则 G ?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x) 因为 x ? (

? ?

, ) ,所以 G?( x) ? 0 , G ( x) 在 ( , ) 内单调递增 6 4 6 4

? ?

又 G( ) ? ?

?

6

? 2 1 ?0 ? 0 , G( ) ? 4 2 4
? ?
, ) 内存在唯一零点 x0 , 6 4

且函数 G ( x) 的图象连续不断,故可知函数 G ( x) 在 ( 即存在唯一的 x0 ? (

? ?

, ) 满足题意 6 4

(Ⅲ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0 当 sin x ? 0 , 即 x ? k? (k ? Z ) 时 , cos 2 x ? 1 , 从 而 x ? k? (k ? Z ) 不 是 方 程 F ( x) ? 0 的 解 , 所 以 方 程

18

高考复习(三角函数理科)

F ( x) ? 0 等价于关于 x 的方程 a ? ?

cos 2 x , x ? k? ( k ? Z ) sin x

现研究 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程解的情况 令 h( x ) ? ?

cos 2 x , x ? (0, ? ) U (? , 2? ) sin x

则问题转化为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况

h?( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 sin x 2 2

当 x 变化时, h( x) 和 h?( x) 变化情况如下表

x
h?( x) h( x )

(0, ) 2 ?
Z

?

?
2 0

( ,? ) 2

?

(? ,

?

?
]

3? ) 2

3? 2 0
?1

(

3? , 2? ) 2 ?

]

Z

当 x ? 0 且 x 趋近于 0 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? 2? 且 x 趋近于 2? 时, h( x) 趋向于 ?? 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数个交点,从而不存 在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交点;当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线

y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内有 3 个交点,由周期性, 2013 ? 3 ? 671 ,所以 n ? 671? 2 ? 1342
综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点 38. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )本小题满分 14 分.已知 a =(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.
19 高考复习(三角函数理科)

【答案】解:(1)∵ | a ? b |?
2

2

∴ | a ? b |2 ? 2
2

即 a?b

? ?
∴?

2

? a ? 2ab ? b ? 2 ,

2

2

2 2 2 2 2 2 又∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1, b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴ a ? b

(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) 两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴? ?

?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?
1 2
∴ sin ? ?

∴ sin ? ?

1 2

∵ 0 ? ? ?? ??

5 1 ?,? ? ? 6 6

39 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 ( 理 ) 卷 ( 纯 WORD 版 ) )已知函数

? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?
(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

【答案】(Ⅰ) f ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?

(Ⅱ) f ? 2? ?

? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

因为 cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

7 ? 24 ? 17 ?? ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? . 3? 25 ? 25 ? 25

40. (2013 年高考湖南卷(理) )已知函数 f ( x) ? sin( x ? (I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

【答案】解: (I) f ( x) ?

3 1 1 3 3 3 . sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin x ? f (? ) ? 3 sin ? ? 2 2 2 2 5

3 ? 4 ? 1 ? sin ? ? , ? ? (0, ) ? cos ? ? , 且g (? ) ? 2 sin 2 ? 1 ? cos ? ? 5 2 5 2 5
高考复习(三角函数理科)

20

(II) f ( x) ? g ( x) ? 3 sin x ? 1 ? cos x ?

3 1 ? 1 sin x ? cos x ? sin(x ? ) ? 2 2 6 2

? x?

?
6

? [2k? ?

?
6

,2k? ?

5? 2? ] ? x ? [2k? ,2k? ? ], k ? Z 6 3

41 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) ) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c . 已 知

cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1.
(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 【答案】解:(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

1 a2 2 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? ? 28 2 sin 2 A
bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?

42. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) )△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

【答案】

21

高考复习(三角函数理科)

43. (2013 年高考江西卷 (理) ) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(conA(1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围 【答案】解:(1)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3sin A cos B ? 0 即有 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 , 又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2

sinA)cosB=0.

?
3

.
2 2

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B .

1 1 2 1 2 ,有 b ? 3(a ? ) ? . 2 2 4 1 1 2 又 0 ? a ? 1 ,于是有 ? b ? 1 ,即有 ? b ? 1 . 4 2
因为 a ? c ? 1, cos B ?
2 1.【2012 高考真题重庆理 5】设 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的值为

(A)-3 【答案】A

(B)-1

(C)1

(D)3

2 【解析】因为 tan? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,所以 tan? ? tan ? ? 3 , tan? tan ? ? 2 ,所以

22

高考复习(三角函数理科)

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 3 ? ? ?3 ,选 A. 1 ? tan? tan ? 1 ? 2

19. 【 2012 高 考 真 题 重 庆 理 13 】 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 co sA ?

3 , 5

cos B ?

5 ,b ? 3则c ? 13

【答案】 【 解

14 5
析 】 因 为

cos A ?

3 5

,

cos B ?

5 13

,





s iA ? n

4 5



sin B ?

12 13



sin C ? sin( A ? B) ?

3 c b c 14 4 5 12 3 56 ? ? ? ? ? ? ,根据正弦定理 得 ,解得 c ? . sin B sin C 12 56 5 5 13 13 5 65 13 65

31.【2012 高考真题重庆理 18】 (本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 f ( x) ? 4 cos( ?x ?

?
6

) sin ?x ? cos( 2?x ? x) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的值域 (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在区间 ?? 【答案】

? 3x ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

2 (a ? b) ? c2 ? 4 且 C=60°,则 ab 的值为 4.(11 重庆 6)若 ABC 的内角 A、B、C 所对的变 a、b、c 满足

( A)

4 3

(B) 8 ? 4 3

(C) 1

(D)

2 3
高考复习(三角函数理科)

23

5.(11 重庆 16) 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos3 ?

?? ? ? x ? 满足 ?2 ?

?? ? f ? ? x ? ? f ? 0 ? ,求函数在 ?2 ?

? 11? { , } 上的最大值和最小值 4 24
2013 年 9) 4cos500 ? tan 400 ? (C) (A) 2

(B)

2? 3 2

(C) 3

(D) 2 2 ?1

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)设 cos A cos B ?

3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5

24

高考复习(三角函数理科)

2012 5、设 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的值为 (A)-3 【答案】 A (B)-1 (C)1 (D)3

【解析】 tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2, tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?
3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13

13、设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? 【答案】

14 5

3 5 56 cos A ? , cos B ? , b ? 3 ? sin C ? sin( A ? B) ? 5 13 65 【解析】 b c b sin C 14 ? ?c? ? sin B sin C sin B 5
18、 (本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 f ? x ? ? 4 cos(? x ?

?
6

) sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域 (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?

? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值。 , ? 2 2? ?
? 3 ? 1 cos ? x ? sin ? x ? ? 2 ? sin ? x ? cos 2? x 2 ? ?

【解析】 (Ⅰ) f ? x ? ? 4 ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ?

?

?

( Ⅱ ) 因 y ? s i xn 在 每 个 闭 区 间 ? 2k? ? , k? 2 ? ? ?k ? Z ? 上 为 增 函 数 , 故 2 2? ?

?

?

??

f

? ?x?

k? ? k? ? ? ? , ? 3 s i?n ?2 x ?? ? 0 1 ? k ? Z ? 上为增函数。 ? 在每个闭区间 ? ? ? ? 4? ? 4? ? ? ? 3? ? ? , ? ? 2 2? ? ? k ? ? k? ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ,于是 ? , ? ? ? ? 4? ? 4? ? ?

依题意知 ? ?

25

高考复习(三角函数理科)

? ? 3? ? ?? ? 1 1 ? 2 4? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 。 ? 6 6 ?? ? ? ? ? 2 4?

2011

(a ? b) ? c ? 4 ,且 C=60°,则 ab 的值为(A) 6.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足
2 2

A.

4 3

B. 8 ? 4 3

C. 1

D.

2 3

14.已知 sin ? ?

1 ? ?? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2?

cos 2? 14 的值为____ ? ______ ?? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?

16. (本小题满分 13 分) 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?
2

? ?? ?? ? ? x ? 满足 f ? ? ? ? f ? 0 ? ,求函数 f ( x) 在 ? 3? ?2 ?

? 11? [ , ] 上的最大值和最小值. 4 24
16. (本题 13 分) 解: f ( x) ? a sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x

?
由 f (?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2

?
3

) ? f (0)得 ?

3 a 1 ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 2 2 2

因此 f ( x) ? 当 x ?[

, ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 为增函数, 4 3 6 3 2 ? 11? ? ? 3? ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 为减函数, 当 x ?[ , 3 24 6 2 4 ? 11? ? ]上的最大值为f ( ) ? 2. 所以 f ( x)在[ , 4 4 3 ? 11? ) ? 2, 又因为 f ( ) ? 3, f ( 4 24 ? 11? 11? ] 上的最小值为 f ( ) ? 2. 故 f ( x )在[ , 4 24 24
2010

? ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). 6

?

?

? ?

26

高考复习(三角函数理科)

(6)已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? A、 ? ? 1, ? ? C、 ? ? 2, ? ?

?
2

) 的部分图象如题(6)图所示,则( D )

?
6

B、 ? ? 1, ? ? ? D、 ? ? 2, ? ? ?

?

?
6

?
6

6

y
1

O

?
3

7? 12

x

题(6)图

(16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分.) 设函数 f ( x) ? cos( x ?

2 x ? ) ? 2 cos 2 , x ? R . 3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的值域; (Ⅱ)记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,若 f ( B) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的值. (16) (本题 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos x cos

2 2 ? ? sin x sin ? ? cos x ? 1 3 3

1 3 ? ? cos x ? sin x ? cos x ? 1 2 2 ? 1 3 cos x ? sin x ? 1 2 2

5 ? sin( x ? ? ) ? 1 , 6
因此 f ( x) 的值域为 [0,2] . (Ⅱ)由 f ( B) ? 1 得 sin( B ? 故B ?

?
6

5 5 ? ) ? 1 ? 1 ,即 sin( B ? ? ) ? 0 ,又因 0 ? B ? ? , 6 6

.

2 2 2 2 解法一:由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 a ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 2 .

27

高考复习(三角函数理科)

解法二:由正弦定理 当C ?

b c 3 ? 2? ? ,得 sin C ? . ,C ? 或 sin B sin C 3 2 3

,从而 a ? b 2 ? c 2 ? 2 ; 3 2 2? ? ? 当C ? 时, A ? ,又 B ? ,从而 a ? b ? 1 . 3 6 6 故 a 的值为 1 或 2. 2009 7 . 设 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C , 向 量 m ? (

?

时, A ?

?

3 sA in

B , s, i nn? ) (cos B, 3 cos A) , 若

m n ? 1? c o A s? ( B ,则 ) C =( C
A.



? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? sin(

?

x ? ) ? 2 cos 2 x ? 1 . 4 6 8

?

?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值.

4 3

(16)(本小题 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

?

?

?

2

?

?

x? ] 4 3
28 高考复习(三角函数理科)

?

x? ) 4 3 4 3 ? ? ? 2? 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 4 3 3
= 3 cos(

?

?

? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2
解法二: 因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] , 且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称, 故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( 当

4 3

2 3

4 3

?

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6 4 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 3

x? ) 4 3

?

2 3

gmax ? 3 sin

?
6

?

3 2

2008 (10)函数 f(x)=

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是(B) 3 ? 2 cos x ? 2sin x
(B)[-1,0]

(A)[-

2 ,0 ] 2

(C)[- 2,0 ]

(D)[- 3,0 ]

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求: (Ⅰ)

a 的值; c

(Ⅱ)cotB+cot C 的值. (17) (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2b cos A
= ( c) ?c ? 2
2 2

1 3

1 1 7 c c ? c2 , 3 2 9
29 高考复习(三角函数理科)



a 7 ? . c 3
cos B sin C ? cos C sin B sin B sin C sin( B ? C ) sin A ? , = sin B sin C sin B sin C
= 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得

(Ⅱ)解法一: cot B ? cot C

7 2 c sin A 1 a2 2 9 14 14 3 ? · ? · ? ? . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· 3 3 c 3
故 cot B ? cot C ?

14 3 . 9

解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有

7 2 2 1 2 c ? c ? ( c) a 2 ? c 2 ? b2 9 3 cos B ? ? 2ac 7 2 cc 3


5 2 7

.

故 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? 同理可得

25 3 ? . 28 2 7

7 2 1 2 2 c ? c ?c a 2 ? b2 ? c 2 9 1 9 cos C ? ? ?? , 2ab 7 1 2 7 2 c c 3 3
sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? 1 3 3 ? . 28 2 7

从而 cot B ? cot C ?

cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . sin B sin C 3 9 9

2007 5、在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 45? , C ? 75? ,则 BC 等于( A ) A、 3 ? 3 B、 2
30

C、2

D、 3 ? 3
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17(本小题满分 13 分,其中(Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)小问 4 分) 设 f ( x) ? 6 cos2 x ? 3 sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ? 3 ? 2 3 ,求 tan 17、解: (Ⅰ) f ( x) ? 6 ?

4 ? 的值. 5

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

? 2 3(

? 3 1 cos 2 x ? sin 2 x) ? 3 ? 2 3 cos( 2 x ? ) ? 3 6 2 2
最小正周期 T ?

故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ;

(Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos( 2? ? 又由 0 ? ? ? 从而 tan

?
6

2? ?? . 2

) ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos( 2? ?

?
6

) ? ?1 .

?
2



?
6

? 2? ?

?
6

?? ?

?

4 ? ? ? tan ? 3 . 5 3

6

,故 2? ?

?
6

? ? ,解得 ? ?

5? . 12

2006 (13)已知 ? , ? ? ?

3 ? ? 12 ?? ? 3? ? ? ? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? , 则 os ?? ? ? =________. 5 4 ? 13 4? ? 4 ? ? ?

(17) (本小题满分 13 分) 设函数 f(x)= 3 cos cos+sin ? rcos ? x+a(其中 ? >0,a ? R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个高点的横坐
2

标为

x . 6

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)如果 f(x)在区间 ??

? ? 5? ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. , ? 3 6 ? ?

31

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