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2012年高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题05 概率与统计(理科)(学生版)


概率与统计
一、高考预测 计数原理、 概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块, 高考对该部分的 考查分值也较多.从近几年的情况看,该部分考查的主要问题是排列组合应用问题,二项 式定理及其简单应用,随机抽样,样本估计总体,线性回归分析,独立性检验,古典概型, 几何概型,事件的独立性,随机变量的分布、期望和方差,正态分布的简单应用,在试卷中 一般是 2~3 个选择题、填空题,一个解答题,试题难度中等或者稍易.预计 2012 年该部分 的基本考查方向还是这样,虽然可能出现一些适度创新,但考查的基本点不会发生大的变 化.计数原理、概率统计部分的复习要从整体上,从知识的相互关系上进行.概率试题的核 心是概率计算,其中事件之间的互斥、对立和独立性是概率计算的核心,排列组合是进行概 率计算的工具, 在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具; 统计问题的核心是样本数 据的分布,反映样本数据的方法:样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折 线图、茎叶图,得到样本数据的方法是随机抽样,在复习统计部分时,要紧紧抓住这些图表 和方法,把图表的含义弄清楚,这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解,如样 本均值和方差的计算,用样本估计总体等. 二、知识导学

解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合” (4) 解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合” 求概率的步骤是:第一步,确定事 :

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1

件性质 ? 互 斥 事 件 ?

? 等可能事件 ? ?独 立 事 件 ?n次 独 立 重 复 试 验 ?

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事件

的运算 ? 和 事 件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,
? ?积 事 件
? m n ?互 斥 事 件 : P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) ? ?独 立 事 件 : P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B ) ? k k n?k ? n次 独 立 重 复 试 验 : Pn ( k ) = C n p (1 ? p ) ? 等 可 能 事 件 : P ( A) =

运用公式 ? ?

求解第四步,答,即给提出的问题有一个

明确的答复.

(1)二项分布

n 次独立重复试验中, A 发生的次数ξ 是一个随机变量, 事件 其所有可能的取值为 0, 2, 1, …
n,并且 Pk = P (ξ = k ) = C nk p k q n ? k ,其中 0 ≤ k ≤ n , q = 1 ? p ,随机变量ξ 的分布列如下:

ξ
P

0
0 Cn p 0 q

1
1 C n p1 q n?

… …

k
k C n p k q n?



n
n Cn p n q

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2

称这样随 机变量 ξ 服从二 项分布, 记作 ξ ~ B ( n , p ) ,其中 n 、 p 为参数, 并记:
k C n p k q n ? k = b( k ; n , p ) .

(2) 几何分布 在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数 ξ 是一个取值为正整数的离散 型随机变量, ξ = k ”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生. “ 随机变量 ξ 的概率分布为:
ξ

1 p

2 qp

3
q2 p

… …

k
q k ?1 p

… …

P

要点 3 离散型随机变量的期望与方差

要点 4 抽样方法与总体分布的估计

3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各 部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层 抽样.
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3

要点 5 正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质 1.正态分布的概念及主要性质

2.线性回归 简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法. 2.线性回归 变量和变量之间的关系大致可分为两种类型: 确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确 定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统 计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对 n 个样本数据( x1 , y1 ) ,

? ( x2 , y2 ) … , xn , yn ) 其 回 归 直 线 方 程 , 或 经 验 公 式 为 : y = bx + a . 其 中 , ( ,

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4

b=

∑ x y ? nxy ∑x
i =1 i =1 n i i 2 i

n

? n( x )

, a = y ? b ? x , ,其中 x, y分别为| xi |、| yi |的平均数.

2

三、易错点点睛

二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清,容易混淆, 【易错点 2】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清,容易混淆,导 致出错 1、在 ? x 3 +

? ?

2? 5 的展开式中, x 的系数为 2 ? x ?
r r 15 ?5 r

5

,二项式系数为



【易错点分析】在通项公式 Tr +1 = C5 ? 2 ? x 系数。

中, C5 是二项式系数, C5 ? 2 是项的
r r r

解 析 : 令 15 ? 5r = 5 , 得 r = 2 , 则 项 x 的 二 项 式 系 数 为 C5 = 10 , 项 的 系 数 为
5 2

C52 ? 2 2 = 40 。
【知识点归类点拨】 在二项展开式中, 利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一 类典型问题, 其通常做法就是确定通项公式中 r 的取值或取值范围, 须注意二项式系数与项 的系数的区别与联系

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5

1 ? 1 ? 2、如果 ? 3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是( 3 2 x x ? ?
(A)7 (B) ?7 (C)21 (D) ?21

n



解析:当 x = 1 时 (3 × 1 ? 式得

1
3

1

2

) n = 2 n = 128,∴ n = 7 即 (3 x ?

1
3

x

2

) 7 ,根据二项式通项公

Tr +1 = C (3 x )
r 7

7?r

( ?1) ( x ) = C 3
r r 7

?

2 3 r

7?r

( ?1) x
r

5 7? r 3

∴7 ?

5 r = ? 3, r = 6 时 对 应 3

1 1 1 21 6 7 ?6 6 1 x3 ,即 T6+1 = C7 3 (?1) x3 = 7 × 3 × x3 = x3 . 故 x3 项系数为 21 .

【 知识点归类点拨】在 ( a + b ) 的展开式中,系数最大的项是中间项,但当 a,b 的系
n

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6

数不为 1 时,最大系数值的位置不一定在中间,可通过解不等式组 ? 2.在二项式 ( x ? 1) 的展开式中,系数最小的项的系数为
11

?Tr +1 ≥ Tr 来确定之 ?Tr +1 ≥ Tr + 2
。 (结果用

数值表示) 解析: 展开式中第 r+1 项为 C11 ? x
r 11? r
r ? ( ?1) , 要使项的系数最小, r 为奇数, 则 且使 C11

r

为最大,由此得 r = 5 ,所以项的系数为 C11 ? ( ?1) = ?462 。
5 5

(1) 在问题(3)的基础上,再分配即可,共有分配方式

C62 ? C42 ? C22 3 ? A3 种。 3 A3

【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题,是一类极易出错的题型,对于此类

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7

问题的关键是搞清楚是否与顺序有关,分清先选后排,分类还是分步完成等,对于平均分组 问题更要注意顺序,避免计算重复或遗漏。 2.从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师, 派到三个班担任班主任 (每班一位班主 任) ,要求这三位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方法共有( A、 210 种 B、420 种 C、630 种 D、840 种 解析:首先选择 3 位教师的方案有:①一男两女;计 C5 ? C4 = 30 ;②两男一女:计
1 2 1 C52 ? C4 =40。 3



其 次 派 出 3 位 教 师 的 方 案 是 A3 =6 。 故 不 同 的 选 派 方 案 共 有
1 2 1 A33 × ( C5 ? C4 + C52 ? C4 ) = 6 × ( 30 + 40 ) = 420 种。

(3)甲、乙 2 人先排好,共有 A2 种排法;再从余下的 5 人中选三人排在甲、乙 2 人中 间, A5 种排法, 有 这时把已排好的 5 人看作一个整体, 与剩下的 2 人再排, 又有 A3 种排法;
3 3

2

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8

这样,总共有 A4 ? A2 ? A3 = 720 种不同的排法。
4 2 3

【 易错点 6 】 二项式展开式的通项公式为 Tr +1 = Cn a
r

n?r

b r , 事件 A 发生 k 次 的概率 : 的概率:
的 概 率 公 式 :

k Pn ( k ) = Cn P k (1 ? P )

n?k











pk = Cnk p k q n ? k , k = 0,1, 2, 3LL , n 且0 < p < 1, p + q = 1 ,三者在形式上的相似,在应用 三者在形式上的相似,
容易混淆而导致出错。 容易混淆而导致出错。 1.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分,回答不正确 得—100 分。假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确 与否相互之间没有影响。 (1)求这名同学回答这三个问题的总得分 ξ 的概率分布和数学期望。 (2)求这名同学总得分不为负分(即 ξ ≥ 0 )的概率。 解析: (1) ξ 的可能取值为—300,—100,100,300。

P (ξ = ?300 ) = 0.23 = 0.008, P (ξ = ?100 ) = 3 × 0.22 × 0.8 = 0.096 P (ξ = 100 ) = 3 × 0.2 × 0.82 = 0.384, P ( ξ = 300 ) = 0.83 = 0.512

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9

所以 ξ 的概率分布为

ξ
P

—300 0.008

—100 0.096

100 0.384

300 0.512

根据 ξ 的概率分布,可得 ξ 的期望

Eξ = ( ?300 ) × 0.008 + ( ?100 ) × 0.096 + 100 × 0.384 + 300 × 0.512 = 180
(2)这名同学总得分不为负分的概率为

P (ξ ≥ 0 ) = 0.384 + 0.512 = 0.896 。

从而 ξ 的分布列为

ξ

0

1

2

3

4

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10

P

1 4

3 16

9 64

27 256

81 256

1 3 9 27 81 525 Eξ = 0 × + 1× + 2 × + 3 × + 4× = 4 16 64 256 256 256 81 175 = 。 (2) P (ξ ≤ 3) = 1 ? P (ξ = 4 ) = 1 ? 256 256

【知识点归类点拨】 在正态分布 N ? , σ 2 中,? 为总体的平均数, 为总体的标准差, σ 另外,正态分布 N ? , σ 2 在 ( ? ? σ , ? + σ ) 的概率为 68.3 0 0 ,在 ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) 内取值 的概率为 99.7 0 0 。解题时,应当注意正态分布 N ? , σ 2 在各个区间的取值概率,不可混 淆,否则,将出现计算失误。 四、典型习题导练 1、一笼子中装有 2 只白猫,3 只黑猫,笼门打开每次出来一只猫,每次每只猫都有可 一 能出来。 (Ⅰ)第三次出来的是只白猫的概率; (Ⅱ)记白猫出来完时笼中所剩黑猫数为 ξ , 试求 ξ 的概率分布列及期望。 2、深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没

(

)

(

)

(

)

用心 爱心 专心

11

有用过的球) 3 个是旧球(即至少用过一次的球) , .每次训练,都从中任意取出 2 个球, 用完后放回. (Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为 求第二次训练时恰好取到一个新球的概率. ,求 的分布列和数学期望; (Ⅱ)

5、某学生参加跳高和跳远两项体育测试,测试评价设 A, B , C 三个等级,如果他这两项 测试得到 A, B , C 的概率分别依次为 ,

1 1 1 1 1 1 (Ⅰ)求该学生恰好得到一个 A 和一 , 和 , , 。 3 2 6 4 2 4

个 B 的概率; (Ⅱ)如果得到一个 A 记 15 分,一个 B 记 10 分,一个 C 记 5 分,设该学生 这两项测试得分之和为 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期望。 6、某电视台有 A、B 两种智力闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各 自独立进行游戏 A,丙丁两人各自独立进行游戏 B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均 为 ,丙、丁两人各自闯关成功的概率均为 .(Ⅰ)求游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B

被闯关成功的人数的概率; (Ⅱ) 记游戏 A、B 被闯关成功的总人数为 ,求 的分布列和 期望. 7、盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球. 规定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分 . 现从盒内任取 3 个球
用心 爱心 专心 12

(Ⅰ)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分 的概率; (Ⅲ)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的分布列和数学期望. 8 、 如 图 3 , A, B 两 点 之 间 有 6 条 网 线 连 接 , 它 们 能 通 过 的 最 大 信 息 量 分 别 为
1

1,1, 2, 2, 3, 4 .
从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量, 设这三条网线通过的最大信息量之和为 ξ (Ⅰ)当 ξ ≥ 6 时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率; (Ⅱ)求 ξ 的分布列和数学期望.
A

1 2 2 3 4 图3 B

11、2012 年 2 月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房贷款利率将回归基准利率. 某 大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示: ⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷 款年限(取过剩近似整数 值) ;⑵从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位,求他们贷款年限相同的概 率; ⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续 10 个星期不变, 在这段时间
用心 爱心 专心 13

里, 每星期都从借贷客户中选出一人, ξ 表示其中贷款年限不超过 20 年得人数, E (ξ ) . 记 求 12、为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,他们的年龄情况如下表所示. (Ⅰ)频率分布表中 的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图) ,再根据频率分布 直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按 年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动, 从这 20 人中选取 2 名志愿者担 任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期 望. 分组(单位: 岁) [20,25) 数 5 频 率 0.0 5 0.2 0 ② 0.3 0 0.1 0 1.0 0 频

[25,30) [30,35) [35,40)

① 35 30

[40,45]

10

合计

100

用心 爱心 专心

14

13、某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩 共分五组,得到频率分布表如下表所示。

14、空气质量指数 PM2.5 (单位: ? g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值 越高,就代表空气污染越严重:

PM2.5
日均浓度 空气质 量级别 空气质 量类别 级

0 35
一 级 优

35 75


75 115

115 150

150

250

> 250


三级 轻度 污染

四级 中 度 污染

五级 重 度 污染

级 严 重污染



某市 2012 年 3 月 8 日— 4 月 7 日( 30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行监测,获得数据 后得到如下条形图:(Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (Ⅱ)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气 质量类别为优的天数,求 X 的分布列. 15 10 5 O
用心 爱心 专心 15

天数 16

8 4 2 级别

15、户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关, 对本单位的 50 名员工进行了问卷调查,得到了如下列联表: 合 喜欢户外运动 男性 女性 合计 0 已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 10 5 不喜欢户外运动 计 5

3 . (Ⅰ) 请将上面的 5

列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理 由; (Ⅲ)经进一步调查发现,在喜欢户外运动的 10 名女性员工中,有 4 人还喜欢瑜伽.若 从喜欢户外运动的 10 位女性员工中任选 3 人,记 ξ 表示抽到喜欢瑜伽的人数,求 ξ 的分布 列和数学期望.下面的临界值表仅供参考:

P( K 2 ≥ k )
5

0.1 0 2.0

0.1 5 2.7 06
2

0.0 25 3.8 41 24

0.0 10 5.0 35

0.0 05 6.6 79

0.0 1 7.8 28

0.00

10.8

k

72

n(ad ? bc)2 ( 参考公式:K = , 其中n = a + b + c + d ) (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

喜欢户外运 动 男性 女性 20 10

不喜欢 户外 合计 运动 5 15 25 25

16、 在某医学实验中, 某实验小组为了分析某种药物用药量与血液中某种抗体水平的关 系,选取六只实验动物进行血检,得到如下资料:

动物编

1

2

3
用心 爱心 专心

4

5

6
16

号 用药量 x (单位) 抗体指 标y (单位) 记 s 为抗体指标标准差,若抗体指标落在 ( y ? s, y + s ) 内则称该动物为有效动物,否则 称为无效动物.研究方案规定先从六只动物中选取两只,用剩下的四只动物的数据求线性回 归方程,再对被选取的两只动物数据进行检验. 3.4 3.7 3.8 4.0 4.2 4.3 1 3 4 5 6 8

17、一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数: f1 ( x) = x ,

f 2 ( x) = x 2 , f 3 ( x) = x 3 , f 4 ( x) = sin x , f 5 ( x) = cos x , f 6 ( x) = 2 . (1)现从盒子中
(2)现 任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是 奇函数的概率; 从盒子中进行逐一抽 取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停 止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ξ 的分布列和数学期望. 18、 “肇实,正名芡实,因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强,故名。 ”某科研所为进一步 改良肇实,为此对肇实的两个品种(分别称为品种 A 和品种 B)进行试验.选取两大片水塘, 每大片水塘分成 n 小片水塘,在总共 2n 小片水塘中,随机选 n 小片水塘种植品种 A,另外 n 小片水塘种植品种 B. (1)假设 n=4,在第一大片水塘中,种植品种 A 的小片水塘的数目记为 ξ ,求 ξ 的分布 列和数学期望; (2)试验时每大片水塘分成 8 小片,即 n=8,试验结束后得到品种 A 和品种 B 在每个 小片水塘上的每亩产量(单位:kg/亩)如下表:
用心 爱心 专心 17

1 号码 品 种A 品 种B 5 1 11 7 10

2

3

4 10

5

6 10

7 11 0 6 11 0 3

8 10

97 10 2

92 3 11 8 10 1

91 0 11 0 12 11

分别求品种 A 和品种 B 的每亩产量的样本平均数和样本方差; 根据试验结果, 你认为应 该种植哪一品种?(12 分)

20、甲、乙两同学进行下棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分(无平局) ,比赛 进行到有一个人比对方多 2 分或比满 8 局时停止,设甲在每局中获胜的概率为 p ( p > 且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停 止的概率为

1 ), 2

5 . 8

(I)如右图 为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总得分 S,T 的程序框图. 其中如果甲获胜,输人 a=l.b=0;如果乙获胜,则输人 a=0,b=1. 请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件?(Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设 ξ 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ξ 的分布列和 Eξ . 【解析】 (Ⅰ)程序框图中的①应填 M = 2 , ②应填 n = 8 .

用心 爱心 专心

18


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