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茂名市2013届高三第一次高考模拟考试理科数学及答案


绝密★启用前

试卷类型:A

茂名市 2013 届高三第一次高考模拟考试 数学试卷(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅 笔和涂改液,不按以上要求作答的答安无效。 4、考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后,将答题卷交回。

第一部分

选择题(共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? { x ? 1 ? x ? 2}, B ? { x ? 1 ? x ? 1} ,则( A. B ? A 2.计算: i (1 ? i ) ? (
2 ?

) D. A ? B ? ?

B. A? B ) B.-2i
2

?

C.A=B

A.2i

C.2
x ,则 f (?
1 2 ) =(

D.-2 ) D.-2 )

3.已知 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? log A.2 B.1

C.-1

4.已知向量 a ? ( x ? 1, 2 ), b ? ( 2 ,1) ,则 a ? b 的充要条件是(

A. x ? 0

B. x ? 5

C. x ? ? 1

D. x ? ?

1 2

5.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形,且其体积为 俯视图可以是( )

1 2

,则该几何体的

6.已知函数 y ? sin x ? cos x ,则下列结论正确的是( A.此函数的图象关于直线 x ? ? C.此函数在区间 ( ?
? ?
, 4 4

) B.此函数的最大值为 1; D.此函数的最小正周期为 ? .

?
4

对称;

) 上是增函数.

7.某程序框图如图所示,该程序运行后, 输出的 x 值为 31,则 a 等于( A.0 C.2 B.1 D.3 )

? x ? y ? 3, ? 8.已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ? 1, ? y ? 1, ?

若 0 ? ax ? by ? 2 ,则 A.[0,1]

b?2 a ?1

的取值范围为(

) C.[1,3] D.[2,3]

B.[1,10]

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) 。 (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。
2 9.已知等比数列 { a n } 的公比 q 为正数,且 a 3 ? a 9 ? 2 a 5 ,则 q=________.

e 10.计算 ? 1 ( 2 x ?

1 x
2

) dx ________.
2

11.已知双曲线 x ? ky ? 1 的一个焦点是 ( 5 , 0 ) ,则其渐近线方程为________.

12.若 ( 2 x ?

1 x

则展开式的常数项是________. ) 的展开式中所有二项式系数之和为 64,

n

13.已知 2 1 ? 1 ? 2 , 2 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 4 , 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 6 , 4 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 , … 2 2 依此类推,第 n 个等式为_________________________. (二)选做题:14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的只算前一题得分。
? x ? 2 ? cos ? 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数) , ? y ? sin ?

则曲线 C 上的点到直线 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离的最大值为_________. 15.(几何证明选讲选做题)如图,⊙O 的直径 AB ? 6 cm ,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C,连接 AC, 若 ? CPA ? 30 ? ,PC=___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 如图,角 A 为钝角,且 sin A ? 两边上不同于点 A 的动点. (1)若 AP=5, PQ ? 3 5 ,求 AQ 的长; (2)设 ? APQ ? ? , ? AQP ? ? ,且 cos ? ? 17.(本小题满分 12 分) 某连锁超市有 A、B 两家分店,对该超市某种商品一个月 30 天的销售量进行统计:A 分 店的销售量为 200 件和 300 件的天数各有 15 天;B 分店的统计结果如下表: 销售量(单位:件) 天 数 200 10 300 15 400 5
12 13 3 5

,点 P、Q 分别是在角 A 的

,求 sin( 2? ? ? ) 的值.

(1)根据上面统计结果,求出 B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率; (2)已知每件该商品的销售利润为 1 元, ? 表示超市 A、B 两分店某天销售该商品的利润

之和,若以频率作为概率,且 A、B 两分店的销售量相互独立,求 ? 的分布列和数学 期望。 18.(本小题满分 14 分) 如图,PDCE 为矩形,ABCD 为梯形,平面 PDCE ? 平面 ABCD.
? BAD ? ? ADC ? 90 ? , AB ? AD ?
1 2 CD ? a , PD ? 2a

(1)若 M 为 PA 中点,求证:AC//平面 MDE; (2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小.

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 { a n }, {bn } 中,a 1 ? b1 ? 1 , 且当 n ? 2 时,a n ? na n ?1 ? 0 , n ? 2 b n ?1 ? 2 n ?1 . b 记 n 的阶乘 n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 3 ? 2 ? 1 ? n! (1)求数列 { a n } 的通项公式;
n (2)求证:数列 { n } 为等差数列; 2

b

(3)若 c n ?

an a n?2

? b n ? 2 ,求 { c n } 的前 n 项和.
n

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 1 :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 3

,连接椭圆的四个顶点得到

的四边形的面积为 2 6 . (1)求椭圆 C 1 的方程; (2)设椭圆 C 1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F 2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l 2 垂直 l1 于点 P,线段 PF 2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C 2 的方程; (3)设 O 为坐标原点,取 C2 上不同于 O 的点 S,以 OS 为直径作圆与 C2 相交另外一点 R, 求该圆面积的最小值时点 S 的坐标.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x ) ?
1 3 ax ? 2 x ? 2 x ,函数 f ( x ) 是函数 g ( x ) 的导函数.
3 2

(1)若 a ? 1 ,求 g ( x ) 的单调减区间; (2)若对任意 x1 , x 2 ? R 且 x1 ? x 2 ,都有 f (
x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

,求实数 a 的取

值范围; (3)在第(2)问求出的实数 a 的范围内,若存在一个与 a 有关的负数 M,使得对任意
x ? [ M , 0 ] 时 f ( x ) ? 4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值.

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 2 ;
n

10. e 2 ;

11. y ? ? 2 x ;

12. ? 160 ;

13. 2 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? ( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ( n ? 3 ) ? ? ? ( n ? n ) ; 14. 3; 15. 3 3. 三、解答题(共 80 分) 16. 解: (1)? ? A 是钝角, sin A ?
3 5

,? cos A ? ?

4 5

……………………1 分

在 ? APQ 中,由余弦定理得: PQ 2 ? AP 2 ? AQ 2 ? 2 AP ? AQ cos A 所以 AQ 2 ? 8 AQ ? 20 ? 0 解得 AQ ? 2 或 ? 10 (舍去负值) ,所以 AQ ? 2 (2)由 cos ? ?
12 13 , 得 sin ? ? 5 13 在三角形 APQ 中, ? ? ? ? A ? ?

……………………4 分 …………………………6 分 …………………………7 分

又 sin(? ? ? ) ? sin(? ? A ) ? sin A ?
cos(? ? ? ) ? ? cos A ? 4

3 5

,

…………………………8 分 …………………………9 分

5 ? sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ……11 分
? 5 13 ? 4 5 ? 12 13 ? 3 5 ? 56 65

……………………12 分
1 3

17. 解: (1)B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率分别为 (2)A 分店销售量为 200 件、300 件的频率均为
? 的可能值为 400,500,600,700,且
1 2



1 2



1 6

……3 分



…………4 分 …………5 分
1 2 ?
1 6

P( ? =400)= P( ? =600)=
? 的分布列为
?
1

1 2

?

1 3

?
1 2

1 6
?


1 2 ? 1 3

P( ? =500)= , P( ? =700)=
1 2

1 2

?

1 3
1

?

1 2

?

5 12



?

1 6

?

?

?

, ………9 分

2

12

400

500

600

700

P

1 6
5 12 1 3

5 12
1 12

1 3
1600 3

1 12

…………10 分
E ? =400 ?
1 6

+500 ?

+600 ?

+700 ?

=

(元) …………………12 分

18.(1)证明:连结 PC ,交 D E 与 N ,连结 M N ,
? PAC 中, M , N 分别为两腰 PA , PC 的中点

∴ MN // AC ……………2 分 ……………4 分

因为 M N ? 面 M D E ,又 AC ? 面 M D E ,所以 AC // 平面 M D E

(2)解法一:设平面 P A D 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原 点,分别以 D A , D C , D P 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系,则
??? ? ??? ? 2 a ), B ( a , a , 0), C (0, 2 a , 0) P B ? ( a , a , ? 2 a ), B C ? ( ? a , a , 0) ……6 分 ?? ?? 设平面 P A D 的单位法向量为 n1 ,则可设 n1 ? (0,1, 0) …………………………7 分 ?? ? 设面 PBC 的法向量 n 2 ? ( x , y ,1) ,应有 ?? ??? ? ? ? n 2 ? P B ? ( x , y ,1) ? ( a , a , ? 2 a ) ? 0 ? ? ? ? ?? ??? ? n 2 ? B C ? ( x , y ,1) ? ( ? a , a , 0) ? 0 ? P (0, 0,

即: ?

? ax ? ay ? ?

2a ? 0

? ? ax ? ay ? 0 ?

? 2 ?x ? ?? ? 2 2 ? 2 , ,1) ………………………………………12 分 解得: ? ,所以 n 2 ? ( 2 2 2 ? y ? ? ? 2
2 ?? ?? ? n1 ? n 2 1 2 ∴ cos ? ? ?? ?? ? …………………………………………………13 分 ? ? 2 1? 2 n1 ? n 2

所以平面 P A D 与 PBC 所成锐二面角为 60°………………………………………14 分 解法二:延长 CB、DA 相交于 G,连接 PG,过点 D 作 DH⊥PG ,垂足为 H,连结 HC ……………………6 分 ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D ∴PG⊥平面 CDH,从而 PG⊥HC ………………8 分 ∴∠DHC 为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的平

面角 ………………………………………………10 分 在 Rt ? △ PDG 中, DG ? 2 AD ? 2 a , P D =
2 a 可以计算 D H ?
2 3 3a

……………………12 分 在 R t △ CDH 中, tan ? D H C ?
CD DH ? 2a 2 3 3a ? 3 ………………………13 分

所以平面 P A D 与 PBC 所成锐二面角为 60°……………………………………14 分 19. 解: (1)? a n ? na n ?1 ? 0 , n ? 2 , a 1 ? 1
? a n ? na n ?1 ? n ( n ? 1) a n ? 2 ? n ( n ? 1)( n ? 2) a n ? 3 ? ? ? ?

? n ( n ? 1)( n ? 2) ? 3 ? 2 ? a1 ? n ! ……………………………………2 分

又 a 1 ? 1 ? 1! ,? a n ? n ! ………………………………………………………3 分 (2)由 b n ? 2 b n ?1 ? 2
n ?1

两边同时除以 2 得

n

bn 2
n

?

bn ?1 2
n ?1

?

1 2



bn 2
n

?

b n ?1 2
n ?1

??

1 2

………………4 分 ∴数列 {
bn 2
n

bn 2
n

} 是以

1 2

为首项,公差为 ?
1 2 ) ? 1? n 2
?

1 2

的等差数列 ……………………5 分
n 2
n n ?1

?

1 2

? ( n ? 1)( ?
an ?

,故 b n ? 2 n (1 ?
1 n ?1 an ? 1 n?2

) ………………………6 分

(3)因为

1 ( n ? 1)( n ? 2 ) a2 a4 ? a3 a5 ? ??? ?

an?2

, bn ? 2 ? ? n ? 2

…………8 分

记 An =
An ? ( 1 2

a1 a3

?

an?2

?

1
n

1 1 1 1 1 1 1 1 ……10 分 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 2 n?2

记 {b n ? 2 } 的前 n 项和为 B n
0 1 2 n ?1 则 Bn ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2


n

∴ 2 B n ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? 2
1 2

n ?1

? n?2
n



由②-①得:
Bn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2
0 1 2 n ?1

? n?2 ?
n

1? 2

1? 2

? n ? 2 ? (1 ? n ) ? 2 ? 1 …13 分
n n

∴ S n ? c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? ? ? c n = An ? B n ? (1 ? n ) ? 2 n ?

1 2

?

1 n?2

………14 分

20. 解: (1)解:由 e ? 由题意可知

3 3

,得 a 2 ? 3 c 2 ,再由 c 2 ? a 2 ? b 2 ,解得 a ?

6 2

b ……1 分

1 2

? 2 a ? 2 b ? 2 6 ,即 a ? b ?

6 ………………………………2 分

? 6 b ?a ? 解方程组 ? 得a ? 2 ? ?ab ? 6

3,b ?

2 ……………………………………3 分

所以椭圆 C1 的方程是

x

2

?

y

2

3

2

? 1 ……………………………………………3 分

(2) 因为 M P ? M F2 , 所以动点 M 到定直线 l1 : x ? ? 1 的距离等于它到定点 F2(1, 0)的距离,所以动点 M 的轨迹 C 2 是以 l1 为准线, F2 为焦点的抛物线,…6 分 所以点 M 的轨迹 C 2 的方程为 y 2 ? 4 x ………………………………………7 分
??? ??? ? (3)因为以 OS 为直径的圆与 C 2 相交于点 R ,所以∠ORS = 90° ,即 OR ? SR ? 0

………………………8 分 ??? ??? ? 设 S ( x1 , y1 ) ,R( x 2 , y 2 ) SR =( x 2 - x1 , y 2 - y1 ) O R =( x 2 , y 2 ) , , 所以 O R ? SR ? x 2 ( x 2 ? x1 ) ? y 2 ( y 2 ? y1 ) ?
??? ??? ? y 2 ( y 2 ? y1 )
2 2 2

16

? y 2 ( y 2 ? y1 ) ? 0

? 16 ? 因为 y1 ? y 2 , y 2 ? 0 ,化简得 y1 ? ? ? y 2 ? ? …………………………10 y2 ? ?

分 所以 y1 ? y 2 ?
2 2
2 当且仅当 y 2 ?

256 y
2 2

? 32 ? 2
2

y2 ?
2

256 y2
2

? 32 ? 64 ,

256 y2
2

即 y 2 =16,y2=± 时等号成立. ………………………12 4

分 圆 |OS|= x1 ? y1 ?
2 2
2


y1
4


2



16

? y1 ?
2

1 4

y1 ? 16 y1 ?
4
2

1 4

( y1 ? 8) ? 64
2 2
m in

因为 y1 ≥64,所以当 y1 =64 即 y1 =± 时, O S 8 分

? 8 5 , ……………13

所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,± 8)……………………14 分

21. 解: (1)当 a ? 1 时, g ( x ) ? 由 g '( x ) ? 0 解得 ? 2 ?

1 3

x ? 2 x ? 2 x , g '( x ) ? x ? 4 x ? 2 ………………1 分
3 2

2

6 ? x ? ?2 ?

6
6 , ?2 ?

…………………2 分
6 ) ;……………3 分

? 当 a ? 1 时函数 g ( x ) 的单调减区间为 ( ? 2 ?

(2)易知 f ( x ) ? g '( x ) ? ax 2 ? 4 x ? 2 依题意知
? a(
?? f(
2

x1 ? x 2

2

)?

f ( x 1)? f x ( 2
2

2

)
2

x1 ? x 2 2

) ? 4(
2

x1 ? x 2 2

)?2?

ax1 ? 4 x1 ? 2 ? ax 2 ? 4 x 2 ? 2 2

a 4

( x1 ? x 2 ) ? 0

………………………………………………………5 分

因为 x1 ? x 2 ,所以 a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (0, ?? ) ;……………6 分 (3)解法一:易知 f ( x ) ? ax 2 ? 4 x ? 2 ? a ( x ?
2 a ) ?2?
2

4 a

,a ? 0 . ……………7 分

显然 f (0) ? ? 2 ,由(2)知抛物线的对称轴 x ? ? ①当 ? 2 ?
4 a ? ? 4 即 0 ? a ? 2 时, M ? ( ?
?2 ? 4 ? 2a a

2 a

?0

2 a

, 0) 且 f ( M ) ? ? 4

令 ax 2 ? 4 x ? 2 ? ? 4 解得 x ? 此时 M 取较大的根,即 M ?
? 0?a?2, ? M ?

……………………8 分
? ?2 4 ? 2a ? 2

?2 ?

4 ? 2a a

………………9 分

?2 4 ? 2a ? 2

? ?1
2 a

……………………10 分

②当 ? 2 ?

4 a

? ? 4 即 a ? 2 时, M ? ?
?2 ?

且 f ?M

??4
…………………11 分

令 ax 2 ? 4 x ? 2 ? 4 解得 x ?

4 ? 6a a

此时 M 取较小的根,即 M ?
? a ? 2, ? M ?

?2 ?

4 ? 6a a

?

?6 4 ? 6a ? 2

……………12 分 ………13 分

?6 4 ? 6a ? 2

? ? 3 当且仅当 a ? 2 时取等号

由于 ? 3 ? ? 1 ,所以当 a ? 2 时, M 取得最小值 ? 3

……………………14 分

解法二:对任意 x ? [ M , 0] 时,“ | f ( x ) |? 4 恒成立”等价于“ f ( x ) m ax ? 4 且

f ( x ) m in ? ? 4 ”

由(2)可知实数 a 的取值范围是 (0, ?? ) 故 f ( x ) ? ax 2 ? 4 x ? 2 的图象是开口向上,对称轴 x ? ? 分 ①当 ?
2 a ? M ? 0 时, f ( x ) 在区间 [ M , 0] 上单调递增,

2 a

? 0 的抛物线…7

∴ f ( x ) m ax ? f (0) ? ? 2 ? 4 , 要使 M 最小,只需要
f ( x ) m in ? f ( M ) ? aM
2

? 4 M ? 2 ? ? 4 ………8 分

若 ? ? 16 ? 8 a ? 0 即 a ? 2 时,无解 若 ? ? 16 ? 8 a ? 0 即 0 ? a ? 2 时,………………9 分 解得 M ?
?2 ? 4 ? 2a a ?? 2 a

(舍去) 或 M ?

?2 ?

4 ? 2a a

? ?1

故 M ? ? 1 (当且仅当 a ? 2 时取等号)…………10 分 ②当 M ? ? 在 (?
f (? 2 a 2 a ) ? ?2 ? 4 a ? ? 4 则 a ? 2 ,…………………11 分
2 a

时, f ( x ) 在区间 [ M , ?

2 a

] 上单调递减,

, 0] 递增, f (0) ? ? 2 ? 4,

要使 M 最小,则 f ( M ) ? aM 2 ? 4 M ? 2 ? 4 即
aM
2

? 4 M ? 6 ? 0 …………………………………………………………12 分
?2 ? 4 ? 6a a ?? 2 a

解得 M ? 或M ? 分

(舍去)
? ? 3 (当且仅当 a ? 2 时取等号)…13

?2 ?

4 ? 6a a

?

?6 4 ? 6a ? 2

综上所述,当 a ? 2 时, M 的最小值为 ? 3 . ………………………………14 分


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