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《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第8章 解析几何-5


第八章
解析几何

第五节





课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

考 纲

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性 质.

导 2.了解圆锥曲线的简单应用. 学 3.理解数形结合的思想.

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.椭圆的概念 1 _____|F1F2|) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数( □ 2 ____,两焦点间的 的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做椭圆的 □ 3 ______. 距离叫做□ 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a>0,c> 0,且a,c为常数}.

4 ____________,则集合P为椭圆; (1)若□ 5 ____________,则集合P为线段; (2)若□ 6 ____________,则集合P为空集. (3)若□

标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

图形

1 大于 答案: □

2 焦点 □ 3 焦距 □ 4 a>c □ 5 a=c □

6 a<c □ 7 坐标轴 □ 8 原点 □ 9 (-a,0) □ 10 (a,0) □ 11 (0, □ -b) (b,0) 12 (0,b) □ 13 (0,-a) □ 14 (0,a) □ 15 (-b,0) □ 16 □ 17 2a □ 18 2b □ 19 2c □ 20 (0,1) □ 21 a2-b2 □

1个规律——椭圆焦点位置与x2,y2系数之间的关系 x2 y2 给出椭圆方程 2 + 2 =1时,椭圆的焦点在x轴上?a>b> a b 0;椭圆的焦点在y轴上?0<a<b.

1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使 不画出图形,思考时也要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、长 轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们 之间的内在联系.

2种方法——求椭圆标准方程的方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位 置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上,设出相应形 式的标准方程,然后根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出 a2,b2,从而写出椭圆的标准方程.

3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点 的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最小距离 为a-c. (2)求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程,再结 合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1). (3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准 方程,判断的依据是:①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标 轴.

x2 y2 1.设P是椭圆 4 + 9 =1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦 点,则|PF1|+|PF2|等于( A.4 C.6 B.8 D.18 )

解析:依定义知|PF1|+|PF2|=2a=6. 答案:C

x2 y2 2.方程 + =1表示椭圆,则m的范围是( 5-m m+3 A.(-3,5) C.(-3,1)∪(1,5) B.(-5,3) D.(-5,1)∪(1,3)

)

?5-m>0, ? 解析:由方程表示椭圆知?m+3>0, ?5-m≠m+3, ? 解得-3<m<5且m≠1.
答案:C

x2 y2 4 3.椭圆 + =1的离心率为 ,则k的值为( 9 4+k 5 A.-21 19 C.-25或21 B.21 19 D.25或21

)

解析:若a2=9,b2=4+k,则c= 5-k, 5-k 4 c 4 19 由 = ,即 = ,得k=- ; a 5 3 5 25 若a2=4+k,b2=9,则c= k-5, k-5 4 c 4 由a=5,即 =5,解得k=21. 4+k
答案:C

4.已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为 焦距为8.则该椭圆的方程是__________.

1 , 2

c 4 1 解析:∵2c=8,∴c=4,∴e=a=a=2,故a=8.
2 2 y x 又∵b2=a2-c2=48,∴椭圆的方程为64+48=1.

y2 x2 答案:64+48=1

5.已知F1,F2是椭圆C的左,右焦点,点P在椭圆上,且满足 |PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为__________.
解析:在三角形PF1F2中,由正弦定理得 π sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1=2, 设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|= 3, 2c 3 所以离心率e=2a= 3 .

3 答案: 3

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一

椭圆的定义及标准方程

x2 y2 【例1】 (1)设F1,F2是椭圆 49 + 24 =1的两个焦点,P是椭圆 上的点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△PF1F2的面积为( A.30 B.25 C.24 D.40 )

(2)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2, 3 )是椭 圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( x2 y2 x2 y2 A. 8 + 6 =1 B.16+ 6 =1 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 8 4 16 4 )

(3)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆 在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹 方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. + =1 64 48 48 64 x2 y2 x2 y2 C.48-64=1 D.64+48=1

解析:(1)∵|PF1|+|PF2|=14, 又|PF1|∶|PF2|=4∶3, ∴|PF1|=8,|PF2|=6. ∵|F1F2|=10,∴PF1⊥PF2. 1 1 ∴S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|=2×8×6=24.

x2 y2 (2)设椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0).由点P(2, 3 )在 a b 4 3 椭圆上知 2 + 2 =1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+ a b c 1 |PF2|=2|F1F2|,即2a=2· 2c, a = 2 ,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2 =6. (3)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, ∴M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所 x2 y2 求的轨迹方程为 + =1. 64 48 答案:(1)C (2)A (3)D

?名师点拨 椭圆定义及标准方程的应用 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的 标准方程;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值 和离心率等. (2)利用定义和余弦定理可求得|PF1|· |PF2|,再结合|PF1|2+|PF2|2 =(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|· |PF2|进行转化,可求焦点三角形的周长和 面积.

x2 y2 (3)当椭圆焦点位置不明确时,可设为 + =1(m>0,n>0, m n m≠n),也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).

通关特训1

x2 y2 (1)设F1,F2分别是椭圆 25 + 16 =1的左、右焦点,

P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的 距离为( A.4 C.2 ) B.3 D.5

(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1, 2 F2在x轴上,离心率为 2 .过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的 周长为16,那么C的方程为__________.

1 解析:(1)由题意知,在△PF1F2中,|OM|= |PF2|=3, 2 ∴|PF2|=6,∴|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.

x2 y2 (2)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),因为AB过F1且A、B在椭圆 a b 上,如图,则△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+ |BF1|+|BF2|=4a=16,∴a=4. c 2 又离心率e= = ,∴c=2 2,∴b2=a2-c2=8. a 2 x2 y2 ∴椭圆C的方程为16+ 8 =1.
x2 y2 答案:(1)A (2) + =1 16 8

考点二 【例2】

椭圆的几何性质及应用 (1)已知点F1,F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦 )

→ → 点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|PF1+PF2|的最小值是( A.0 C.2 B.1 D.2 2

x2 y2 (2)已知椭圆C: a2 + b2 =1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点 的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos 4 ∠ABF=5,则C的离心率e=__________.

解析:(1)设P(x0,y0),F1(-1,0),F2(1,0). → → 则PF1=(-1-x0,-y0),PF2=(1-x0,-y0), → → ∴PF1+PF2=(-2x0,-2y0) → → 2 2 2 2 ∴|PF1+PF2|= 4x0 +4y2 = 2 2 - 2 y + y = 2 - y 0 0 0 0+2.
2 ∵点P在椭圆上,∴0≤y0 ≤1,

→ → 2 ∴当y0=1时,|PF1+PF2|取最小值为2.

(2)如图,设右焦点为F1,|BF|=x,

x2+102-62 4 则cos∠ABF= =5. 20x 解得x=8,故∠AFB=90° .

由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且∠FAF1=90° ,△ c FAF1是直角三角形,|F1F2|=10,故2a=8+6=14,2c=10,e= a = 5 . 7

答案:(1)C

5 (2)7

?名师点拨

椭圆几何性质的解题策略

(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时, 经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧,求解与椭圆几何性质有关的问题 时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭 圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.

(2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于 a,b,c的等式或不等式,利用a2=b2+c2消去b,即可求得离心率 或离心率的范围.

x2 y2 通关特训2 (1)设F1,F2是椭圆E: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、 a b 3a 右焦点,P为直线x= 2 上一点,△F2PF1是底角为30° 的等腰三角 形,则E的离心率为( 1 A.2 3 C. 4 ) 2 B.3 4 D. 5

(2)若椭圆上存在点 P, 使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2∶1, 则此椭圆离心率的取值范围是(
? 1 1? A.?4,3? ? ? ?1 ? C.?3,1? ? ? ?1 1? B.?3,2? ? ? ?1 ? D.?3,1? ? ?

)

解析:(1)根据题意知|PF2|=|F1F2|=2c,直线PF2的倾斜角是 3 3 60° ,所以2a-c=c?e=4. (2)设P到两个焦点的距离分别为2k,k,根据椭圆定义可知3k =2a,又椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c,即 k≤2c, 1 1 ∴2a≤6c,即e≥ .又∵0<e<1,∴ ≤e<1. 3 3
答案:(1)C (2)D

考点三 【例3】

直线与椭圆的位置关系 x2 [2014· 课标全国Ⅰ]已知点A(0,-2),椭圆E: a2 +

y2 3 b2 =1(a>b>0)的离心率为 2 ,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜 2 3 率为 3 ,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积 最大时,求l的方程.

2 2 3 解析:(1)设F(c,0),由条件知, = ,得c= 3. c 3 c 3 又 = ,所以a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 2 故E的方程为 4 +y =1.

(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2, y2). x2 2 将y=kx-2代入 4 +y =1 得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
2 8 k ± 2 4 k -3 3 2 2 当Δ=16(4k -3)>0,即k >4时,x1,2= . 4k2+1 2 2 4 k + 1· 4 k -3 2 从而|PQ|= k +1|x1-x2|= . 2 4k +1

又点O到直线PQ的距离d=

2 . 2 k +1

4 4k2-3 1 所以△OPQ的面积S△OPQ=2d· |PQ|= . 4k2+1 4t 4 设 4k -3=t,则t>0,S△OPQ= 2 = 4. t +4 t+ t
2

4 因为t+ ≥4,当且仅当t=2, t 7 即k=± 2 时等号成立,且满足Δ>0. 7 7 所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y= 2 x-2或y=- 2 x-2.

?名师点拨 直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求直线方程.可依题条件,寻找确定该直线的两个条件, 进而得到直线方程. (2)求面积.先确定图形的形状,再利用条件寻找确定面积的 条件,进而得出面积的值. (3)判断图形的形状.可依据平行、垂直的条件判断边角关 系,再依据距离公式得出边之间的关系.

(4)弦长问题.利用根与系数的关系、弦长公式求解. (5)中点弦或弦的中点.一般利用点差法求解,注意判断直线 与椭圆是否相交.

通关特训3 [2014· 辽宁]圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴 正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如 x2 y2 图).双曲线C1:a2-b2=1过点P且离心率为 3.

(1)求C1的方程; (2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与 C2交于A,B两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.

解析:(1)设切点坐标为P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率 x0 x0 为- y ,切线方程为y-y0=- y (x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两
0 0

1 4 4 8 2 个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S= 2· · = . 由 x 0 x0 y0 x0y0
2 +y 0 =4≥2x0y0,当且仅当x0=y0= 2 时,x0y0有最大值,即S有最

小值,因此点P的坐标为( 2, 2).

2 2 ? ? 2- 2=1 由题意知?a b , 2 2 2 ? ?a +b =3a
2 y 解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2- 2 =1.

(2)由(1)知C2的焦点坐标为(- 3 ,0),( 3 ,0),设C2的方程 x2 y2 为 +b2=1,其中b1>0. 3+b2 1 1 2 2 由P( 2, 2)在C2上,得 +b2=1, 3+b2 1 1
2 2 x y 解得b2 1=3,因此C2的方程为 + =1. 6 3

显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+ 3, 设点A(x1,y1),B(x2,y2),

my+ 3 ? ?x= 由?x2 y2 + =1 ? ?6 3

得(m2+2)y2+2 3my-3=0.

? ?y1+y2=- 2 2 3m m +2 ? 又y1,y2是方程的根,则? -3 ? y1y2= 2 ② ? m + 2 ? 由x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得 ? 3 ?x1+x2=m?y1+y2?+2 3= 4 ③ 2 m + 2 ? ? 2 6 - 6 m ? 2 x x = m y1y2+ 3m?y1+y2?+3= 2 1 2 ? m +2 ?

① ,

. ④

→ → 又AP=( 2-x1, 2-y1),BP=( 2-x2, 2-y2), → → 由题意知AP· BP=0, 所以x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0, 将①,②,③,④代入⑤式整理得 2m2-2 6m+4 6-11=0, 3 6 6 解得m= 2 -1或m=- 2 +1.
?3 6 ? ? ? 因此直线l的方程为x-? - 1 ?y- 2 ? ? ? 3=0或x+? ? ? ? 6 ? - 1 ?y- 3= 2 ?



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