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初中数学竞赛:三角函数

初中数学竞赛:三角函数 直角三角形中有两条直角边和一条斜边,从这三条边中适当取两条边可以得到不同的 比, 这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关, 这佯便定义了直角三角形中锐 角的三角函数(如图 3-14),常用的有: 利用比例的变形并且结合勾股定理, 可以从三角函数定义中推出同角三角函数间的关系 式: (1)倒数关系 tgα ·ctgα =1; (2)商的关系 (3)平方关系 sin α +cos α =1. 这些同角三角函数关系式对任意锐角都成立, 它们在求值、 化简以及三角式的变形中有 着重要的应用. 如图 3-15 所示,在直角三角形 ABC 中,∠A 与∠B 互为余角,根据三角函数定义不难得 到互为余角的三角函数之间的关系: 2 2 sinB=sin(90°-A)=cosA, cosB=cos(90°-A)=sinA, tgB=tg(90°-A)=ctgA, ctgB=ctg(90°-A)=tgA. 上述四个公式可以概括为: 一个锐角的余角的三角函数值, 等于该锐角相应的余函数的 函数值 由图 3-16 可以看到, 在直角三角形 ABC 中, 如果斜边长度不变, 当锐角 A 增大时, sinA 与 tgA 的值也随之增大, 而 cosA 与 ctgA 的值随之减小. 特别地, 当 A=0 时, sin0=0, tg0=0, cos0=1,ctg0 值不存在;当 A=90°时,sin90°=1,tg90°值不存在,cos90°=0,ctg90° =0. 由于一个角的正弦或余弦值等于直角边与斜边的比, 而直角三角形的斜边总是大于直角 边,所以,当α 为锐角时,总有 0<sinα <1,0<cosα <1. 我们利用以上锐角三角函数的定义及性质, 可以解决一些求值、 化简以及等式证明等问 题. 例 1 不查表,求 15°的四种三角函数值. 分析 30°,45°,60°这些特殊角的三角函数值,我们可以利用含有这些特殊角的直 角三角形的几何性质及勾股定理直接推出.同样,15°角的三角函数值,也可以利用直角三 角形的性质将其推出. 解 如图 3-17 所示.在△ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长 CB 到 D,使 BD=BA, 则 所以 所以 说明 将 15°角的三角函数求值问题, 通过构造适当的三角形, 将它转化为 30°角的三 角函数问题, 这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法, 是我们 研究解决新问题的重要方法.根据互余三角函数关系式,我们很容易得到 75°角的四种三 角函数值. 例 2 比较下列各组三角函数值的大小: (1)sin19°与 cos70°; (2)ctg65°与 cos40°; (3)cos1°,tg46°,sin88°和 ctg38°. 分析 (1)利用互余角的三角函数关系式,将 cos70°化为 sin20°,再与 sin19°比大 小. (2)余切函数与余弦函数无法化为同名函数,但是可以利用某些特殊 再将 ctg65°,cos40°分别与 ctg60°,cos45°比大小. (3)tg45°=1,显然 cos1°,sin88°均小于 1,而 tg46°,ctg38°均大于 1.再分别 比较 cos1°与 sin88°,以及 tg46°与 ctg38°的大小即可. 解 (1)因为 cos70°=cos(90°-20°)=sin20°,而 sin19°<sin20°, 所以 (2)因为 sin19°<cos70°. 所以 ctg60°<cos45°, 所以 ctg65°<cos40°. (3)因为 ctg38°=ctg(90°-52°)=tg52°,所以 tg52°>tg46°>tg45°=1. 因为 cos1°=cos(90°-89°)=sin89°, 所以 所以 sin88°<sin89°<1, ctg38°>tg46°>cos1°>sin88°. 说明 比较三角函数值的大小,一般分为三种类型: (1)同名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角 的大小来确定三角函数值的大小. (2)互为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函 数,比较其大小. (3)不能化为同名的两个三角函数,可通过与某些“标准量”比大小,间接判断它们的 大小关系,常选择的标准量有:0,1 以及其他一些特殊角如 30°,45°,60°的三角函数 值. 例 3 化简求值: (1)tg1°·tg2°·tg3°·?·tg89°; 分析 (1)因为 tg89°=tg(90°-1°)=ctg1°,而 tg1°·ctg1°=1,所以,可将连乘积 中的第一个因式与倒数第一个因式相乘,结果为 1.同样方法,将第二个因式与倒数第二个 因式相乘,其积也是 1.依次类推. (3)利用同角三角函数关系将正切函数化为正弦函数与余弦函数,再进一步化简求值. (4)将被开方式化为完全平方的形式,即 1-2sin11°·cos11°=sin 11°-2sin11°·cos11°+cos 11° =(sin11°-cos11°) . 因为 sin1l°<cos11°,所以根式化简后得 cos11°-sin11°. (5)根据 tgα =3, 求出 sinα 与 cosα 的值. 也可以将所求分式的分子、 分母同除以 cos2 α ,将其化为用 tgα 表示的分式. 解 (1)原式=tg1°·tg2°·tg3°·?·tg44°·tg45° ·ctg44°·ctg43°·?·ctg3°·ctg2°·ctg1° =(tg1°·ctg1°)·(tg2°·ctg2°)·?·( tg44°·ctg44°)·tg45° =1·1·?·1=1. 2 2 2 说明 同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式,在三角式变形、化简、求值 及证明中是重要的依据. 例 4 设α 是锐角,若 求以 tgα ,ctgα 为两根

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