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2017-2018学年高中数学(苏教版 选修1-1)课件:第3章 导数及其应用 3 4_图文

阶 段 一 阶 段 三 3.4 导数在实际生活中的应用 学 业 分 层 测 评 阶 段 二 1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.(重点) 2.提高学生综合运用导数知识解题的能力,培养化归转化的思想意识.(难点) [基础· 初探] 教材整理 导数的实际应用 阅读教材 P93~P96 练习以上部分,完成下列问题. 1.导数的实际应用 导数在实际生活中有着广泛的应用, 如 用料最省 、 利润最大、 效率最高 等 问题一般可以归结为函数的 最值 问题,从而可用导数来解决. 2.用导数解决实际生活问题的基本思路 1.判断正误: (1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题.( ) ) (2)应用导数解决实际应用问题, 首先应建立函数模型, 写出函数关系式.( (3)应用导数解决实际问题需明确实际背景.( ) 【解析】 (1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解. (2)√.求解实际问题一般要建立函数模型, 然后利用函数的性质解决实际问题. (3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 2.生产某种商品 x 单位的利润 L(x)=500+x-0.001x2,生产________单位这种 商品时利润最大,最大利润是________. 【解析】 L′(x)=1-0.002x,令 L′(x)=0,得 x=500, ∴当 x=500 时,最大利润为 750. 【答案】 500 750 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ [小组合作型] 面积容积的最值问题 有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r,计划将此钢 板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上. 设 CD=2x,梯形的面积为 S. (1)求面积 S 关于 x 的函数,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值. 【精彩点拨】 (1)建立适当的坐标系, 按照椭圆方程和对称性求面积 S 关于 x 的函数式;(2)根据 S 的函数的等价函数求最大值. 【自主解答】 (1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系如图所示, x2 y2 则点 C 的坐标为(x,y).∵点 C 在椭圆上,∴点 C 满足方程r2+4r2=1(y≥0), 1 则 y=2 r -x (0< x <r),∴S=2(2x+2r)· 2 r2-x2=2(x+r) r2-x2(0< x <r). 2 2 (2)记 S=4(x+r)2(r2-x2)(0<x<r) 则 S′=8(x+r)2(r-2x) 1 令 S′=0,解得 x=2r 或 x=-r(舍去). 当 x 变化时, S′,S 的变化情况如下表: x S′ S ? r? ?0, ? 2? ? + r 2 0 3 3r2 2 ?r ? ? ,r ? ?2 ? - 1 3 3r2 3 3r2 ∴x=2r 时,S 取得最大值 2 ,即梯形面积 S 的最大值为 2 . 1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关 键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自 变量的函数,利用导数的方法来求解. 2.选择建立适当的坐标系,利用点的坐标建立函数关系或曲线方程,以利于解 决问题. [再练一题] 1.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器的底面 的一边长比另一边长长 0.5 m,那么高为多少时,容器的容积最大?并求它的最大 容积. 【解】 设容器底面一边长为 x m,则另一边长为(x+0.5)m, ? 14.8-4x-4?x+0.5? ?3.2-2x>0, ? 高为 = (3.2 - 2 x )m 由 解得 0<x<1.6. 4 ? ?x>0, 设容器的容积为 y m3,则 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, 所以 y′=-6x2+4.4x+1.6.令 y′=0,则 15x2-11x-4=0,解得 x1=1,x2 4 =-15(舍去). 在定义域(0,1.6)内只有 x=1 处使 y′=0,x=1 是函数 y=-2x3+2.2x2+1.6x 在(0,1.6)内的唯一的极大值点,也就是最大值点. 因此,当 x=1 时,y 取得最大值,ymax=-2+2.2+1.6=1.8,这时高为 3.2- 2×1=1.2(m). 故高为 1.2 m 时,容器的容积最大,最大容积为 1.8 m3. 用料最省、节能减耗问题 如图 341 所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在海岸的同侧,乙厂位于离海岸 40 km 的 B 处,乙厂到海岸的垂足 D 与 A 相距 50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站 C, 从供水站到甲厂和乙厂铺设 的水管费用分别为每千米 3

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