当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学数列基础知识与典型例题_图文

高中数学数列基础知识与典型例题_图文

数学基础知识例题 数列 例 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ? n ,求 数列 ?an ? 的通项公式. 1. 数列 { a n } 的前 n 项和 S n 与 通项 a n 的关系:

等差数列 定义 递推 公式 通项 公式 中项

等比数列
an?1 ? q(q ? 0, 且为常数,n ≥ 2) an

an?1 ? an ? d ( d 为常数, n ≥ 2 )
an ? an?1 ? d ( an ? am ? (n ? m)d ) an ? a1 ? (n ?1)d
an ? k ? an ? k 2 * ( n, k ? N , n ? k ? 0 ) n S n ? (a1 ? an ) 2 n(n ? 1) ? na1 ? d 2 d? ?d ? ? ? ? ? n 2 ? ? a 1? ? n 2? ?2? ? ① 等和性: am ? an ? a p ? aq A?

an ? an?1q ( an ? amqn?m )

an ? a1q n?1 ( a1 , q ? 0 )

(n ? 1) ? S1 an ? ? ? Sn ? Sn?1 (n ≥ 2)

例 2.已知 a1 ? 3且an ? S n?1 ? 2n ,求 an 及 S n .

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0)
( n, k ? N * , n ≥ k ≥ 0 )

前n 项和 例 3.已知 a1 ? 1 , S n ? n 2 an (n ≥ 1) 求 an 及 S n . 等 差 数 列 与 等 比 数 列

?na 1 (q ? 1) ? S n ? ? a ?1 ? q n ? a ?a q 1 ? 1 n (q ? 1) ? 1 ? q 1? q ?

数 列 例 4.求和 1 ? 2. 数列求和的常用方法:公 式法、裂项相消法、错位相 减法、倒序相加法等。 关键是找数列的通项结构。

1 1 1 ? ??? . 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

例 5.数列 1 ,3 ,5 ,7
1 (A)n +1- n 2 1 (C)n2+1- n?1 2
2

1 2

1 4

1 8

1 1 ,…,(2n-1)+ n 的前 n 16 2

项之和为 Sn,则 Sn 等于(
2

)

(m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q ) ② an ? am ? (n ? m)d ③从等差数列中抽取等距离的项 组成的数列是一个等差数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差 数列) 证 明 证明一个数列为等差数列的方 方法 法: 1.定义法 an?1 ? an ? d (常数) 2.中项法 an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2)
设 元 三数等差: a ? d , a, a ? d 技巧 四数等差:a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 联系 真数等比,对数等差;

重要 性质

① 等积性 : am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q ) ② an ? am ? qn?m ③从等比数列中抽取等距离的项 组成的数列是一个等比数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差 数列) 证明一个数列为等比数列的方法: an?1 1.定义法 ? q(常数) an
2 an?1 ? an?1 ? (an) (n ? 2) a 三数等比: , a, aq或a, aq, aq 2 q 四数等比: a, aq, aq2 , aq3 指数等差,幂值等比。

2.中项法

1 (B)2n -n+1- n 2 1 (D)n2-n+1- n 2

例 6.求和: S ? 1 ? 2 x ? 3x2 ? 4 x3 ? ? ? nx n?1 .

重点把握通项公式和前 n 项和公式,对于性质主要是理解 (也就是说自己能推 .. 导出来),具体运用时就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是我们研究其 他数列的一种尝试.如推导等差数列通项公式的“累差”法和推导等比数列通项 公式的“累积”法,是我们求其他数列通项公式的一种经验.又比如推导等差数 列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是 数列求和的重要技巧.

等 差 数 列 与 等 比 数 列

注:⑴等差、等比数列的证明须用定义证明;⑵数列计算是本章的中心内容, 利用等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式及其性质熟练地进行计算, 是高考命题重点考查的内容.⑶解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想. 善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标.①函数思想:等 差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 n 的函数,所以等差等比数列的 某些问题可以化为函数问题求解. a1 (1 ? q n ) ② 分 类 讨 论 思 想 : 用 等 比 数 列 求 和 公 式 应 分 为 Sn ? (q ? 1) 及 1? q S n ? na1 (q ? 1) ;已知 S n 求 an 时,也要进行分类;③整体思想:在解数列问题 时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整体思想求解.⑷在解答有 关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题, 再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决 不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不 要弄错. 11 1 例 7.等差数列{a n}中,已知 a1 ? , a6 ? ,a n =33,则 n 为( ) 3 3 (A)48 (B)49 (C)50 (D)51 3 例 8.在等比数列 ?an ? 中, a7 ? 12, q ? 2 ,则 a19 ? _____. 例 9. 2 ? 3 和 2 ? 3 的等比中项为( ( A)1 ( B) ? 1 ) (C ) ? 1
( D )2

例 15. 在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,求 a18 .

等 差 数 列 与 等 比 数 列

例 16.设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75, S Tn 为数列{ n }的前 n 项和,求 Tn. n

例 17.三数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若再将这等差数 列的第二个数减去 4,则又成等比数列,求原来三个数.

例 10. 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ?2 , a5 ? 54 ,求 a8 , 等 差 数 列 与 等 比 数 列 例 11.在等比数列 ?an ? 中, a1 和 a10 是方程 2 x ? 5x ? 1 ? 0 的两个根,
2

例 18. 在 5 和 81 之间插入两个正数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比 数列,求这两个数的和.
1 21 1 例 19. 设{an}是等差数列, bn ? ( ) an ,已知 b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,求等差数 8 8 2 列的通项 an.

则 a4 ? a7 ? (
( A) ? 5 2

)

( B)

2 2

(C ) ?

1 2

( D)

1 2

例 12.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a101 ? 0 ,则有(

) 例 20. 已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大值的 正整数 n 是( ) (A)4 或 5 (B)5 或 6 (C)6 或 7 (D)8 或 9 数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例 1. 当 n ? 1 时,a1 ? S1 ? 1,当 n ≥ 2 时,an ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4n ? 3 ,经检 验 n ? 1 时 a1 ? 1 也适合 an ? 4n ? 3 ,∴ an ? 4n ? 3 (n ? N? ) S n S n ?1 ? n ?1 ? 1 例 2. 解:∵ an ? S n ? S n?1 ,∴ S n ? 2S n?1 ? 2 n ,∴ n 2 2

( A)a1 ? a101 ? 0

( B)a2 ? a100 ? 0

(C)a3 ? a99 ? 0

( D)a51 ? 51

例 13. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3n 2 ? 2n , 求证:数列 ?an ? 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。

例 14. 一个等差数列的前 12 项之和为 354,前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32:27,求公差.

设 bn ? ∴

Sn 2
n

则 ?bn ? 是公差为 1 的等差数列,∴ bn ? b1 ? n ? 1 又∵ b1 ?

S1 a1 3 ? ? , 2 2 2

例 16. 解题思路分析: 法一:利用基本元素分析法
7?6 ? S7 ? 7a1 ? d ?7 ? ? a ? ?2 ? 2 设{an}首项为 a1,公差为 d,则 ? ∴ ? 1 ?d ? 1 ? S ? 15a ? 15 ?14 d ? 75 15 1 ? ? 2 S n( n ? 1) n ?1 n 5 ? ? 此式为 n 的一次函数 ∴ S n ? ?2 ? ∴ n ? ?2 ? 2 n 2 2 2 Sn 1 2 9 ∴ { }为等差数列∴ Tn ? n ? n n 4 4 ? S7 ? A ? 7 2 ? 7 B ? 7 ? 2 法二:{an}为等差数列,设 Sn=An +Bn∴ ? 2 ? ? S15 ? A ? 15 ? 15 B ? 75 1 ? A? ? 1 5 ? 2 解之得: ? ∴ Sn ? n 2 ? n ,下略 2 2 ?B ? ? 5 ? ? 2 注:法二利用了等差数列前 n 项和的性质 例 17.解:设原来三个数为 a, aq, aq2 则必有 2aq ? a ? (aq2 ? 32) ①, (aq ? 4) 2 ? a(aq2 ? 32) ② 5 4a ? 2 由①: q ? 代入②得: a ? 2 或 a ? 从而 q ? 5 或 13 9 a 2 26 338 ∴原来三个数为 2,10,50 或 , , 9 9 9 例 18.70 例 19. 解题思路分析: ∵ {an}为等差数列∴ {bn}为等比数列 17 ? 1 b1 ? b3 ? ?b1 ? 2 ? ? ? ? ?b1 ? 1 8 2 3 1 ∴ b1b3=b2 ,∴ b2 = ,∴ b2= ,∴ ? ,∴ ? 8 1或 ? 2 8 b3 ? ?b b ? 1 ? ? 8 ? ?b2 ? 2 1 2 ? ? 4 1 1 ∴ bn ? 2( ) n ?1 ? 23? 2 n 或 bn ? ? 4n ?1 ? 22 n ?5 4 8 1 ∵ bn ? ( ) an ,∴ an ? log 1 bn ,∴ an=2n-3 或 an=-2n+5 2 2
3n 2 ? 9n 例 20. 2

Sn 1 ? n ? ,∴ S n ? (2n ? 1)2n?1 ,∴当 n ≥ 2 时 an ? S n ? S n?1 ? (2n ? 3)2 n?2 n 2 2 (n ? 1) ?3 ∴ an ? ? , S n ? (2n ? 1)2n?1 n?2 ( n ≥ 2) ( 2 n ? 3 ) ? 2 ? n ?1 a n ?1 例 3 解: an ? S n ? S n?1 ? n 2 an ? (n ? 1) 2 an?1 从而有 a n ? n ?1 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 ∵ a1 ? 1 ,∴ a 2 ? , a 3 ? ? , a 4 ? ? ? , a5 ? ? ? ? , 3 4 3 5 4 3 6 5 4 3 (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 2 2n ? ∴ an ? ,∴ S n ? n 2 a n ? . n ?1 (n ? 1)n(n ? 1) ? ? ? 4 ? 3 n(n ? 1)
例 4.解: an ?
1 2 1 1 ∴ 1 1 ? 1 2n ? 1 1 1 ? ? 2( ? ) S n ? 2?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? 2(1 ? )? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1 2 2 3 n n ? 1 n ? 1 n ?1 ? ?

例 5.A 例 6. 解: S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nxn?1 ① xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ??? ?n ?1?xn?1 ? nxn ②
1? xn 1 ? x n ? nxn ? nxn?1 1 ? ?1 ? n?x n ? nxn?1 1 ? ?1 ? n ?x n ? nxn?1 ? nxn ? ? ∴ Sn ? ; 1? x 1? x 1? x ?1 ? x ?2 n?1 ? n ? 当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? n ? 2 例 7.C 例 8.192 例 9.C a 54 ? ?1458 例 10. 解: a8 ? a5 q 3 ? a5 ? 5 ? 54 ? a2 ?2

①?② ?1 ? x?S n ? 1 ? x ? x 2 ? ?? ? x n?1 ? nxn ,

当 x ? 1 时, ?1 ? x ?S n ?

另解:∵ a5 是 a2 与 a8 的等比中项,∴ 542 ? a8 ? ?2 ∴ a8 ? ?1458 例 11.D 例 12.C 例 13.解: a1 ? S1 ? 3 ? 2 ? 1 , 当 n ≥ 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 3n 2 ? 2n ? [3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5 , n ? 1 时亦满足 ∴ an ? 6n ? 5 , ∴首项 a1 ? 1 且 an ? an?1 ? 6n ? 5 ? [6(n ? 1) ? 5] ? 6(常数) ∴ ?an ? 成等差数列且公差为 6、首项 a1 ? 1 、通项公式为 an ? 6n ? 5 例 14. 解一:设首项为 a1 ,公差为 d
12?11 ? ? 12a1 ? 2 d ? 354 ? 6?5 则? ? 2d ? 6(a1 ? d ) ? 32 2 ? ? 17 ? 6a ? 6 ? 5 ? 2d 1 ? 2 ?

?d ?5

?S 奇 ? S 偶 ? 354 ?S 偶 ? 192 ? 解二: ? S 偶 32 由 S偶 ? S奇 ? 6d ? d ? 5 ?? ? S ? 162 奇 ? ?S ? 奇 27
例 15. 解:∵ a1a18 ? a9 a10 ,∴ a18 ?

a9 a10 100 ? ? 20 a1 5


更多相关文档:

高中数学数列基础知识与典型例题_图文.doc

高中数学数列基础知识与典型例题 - 数学基础知识例题 数列 例 1.已知数列 ?

高中数学数列基础知识与典型例题,成才系列_图文.pdf

高中数学数列基础知识与典型例题,成才系列 - 数学基础知识例题 数列 例 1.已

3高中数学基础知识与典型例题复习--数列_图文.doc

3高中数学基础知识与典型例题复习--数列高中数学基础知识与典型例题复习 数学基础知识与典型例题 第三章数列 例 1.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n = ...

2016年高考高中数学《数列》基础知识清单与典型例题.doc

2016年高考高中数学《数列》基础知识清单与典型例题_数学_高中教育_教育专区。高考数列基础知识清单与典型例题一、基础知识清单 1、观察数列写出 an 2、一般数列 an...

数列基础知识&例题讲解_图文.ppt

数列基础知识&例题讲解_数学_高中教育_教育专区。第六章 数列第一节 数

3数学基础知识与典型例题复习--数列_图文.doc

3数学基础知识与典型例题复习--数列 - 数学基础知识与典型例题 第三章数列 例 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ? n ,求 数列 ?an ? ...

等比数列知识点总结与典型例题(精华版)_图文.pdf

等比数列| 精华版| 例题|等比数列知识点总结与典型例题(精华版)_数学_高中教育_教育专区。 您的评论 发布评论 用户评价 关于等比数列的内容,还不错 2018-06-...

函数极限和导数高中数学基础知识和典型例题_图文.doc

函数极限和导数高中数学基础知识和典型例题 - 数学基础知识与典型例题(函数极

函数极限和导数高中数学基础知识和典型例题_图文.doc

函数极限和导数高中数学基础知识和典型例题 - 数学基础知识与典型例题(函数极限与

高中数学数列基础知识与典型例题_图文.doc

高中数学数列基础知识与典型例题 - 数学基础知识例题 例 1.已知数列 ?an

高中数列知识总结与典型分类例题.doc

高中数列知识总结与典型分类例题 - 用心辅导中心 高中数学 数列知识点及经典习题 数列知识点及经典习题 二、重难点击 一、本章重点:数列的概念,等差数列,等比数列...

[推荐学习]高中数学 第三章数列的总结题型试题 新人教A....doc

[推荐学习]高中数学 第三章数列的总结题型试题 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。生活的色彩就是学习 数学基础知识与典型例题第三章数列 例 1.已知数列 ...

人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结_图文.doc

人教版高中数学必修五《数列基础知识要点总结 - 第二章 《数列基础知识小结 一、数列的概念与表示方法 1、 数列的概念 2、 数列的通项 公式 3、 通项...

高中数学 第三章数列的总结题型试题 新人教A版必修5_图文.doc

高中数学 第三章数列的总结题型试题 新人教A版必修5 - 数学基础知识与典型例题第三章数列 例 1.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ? 2 n 2 ? n...

数学基础知识与典型例题复习-函数极限与导数_图文.doc

数学基础知识与典型例题复习-函数极限与导数 - 例 1. 某个命题与正整数有关,

数学基础知识与典型例题复习--数列.doc

数学基础知识与典型例题复习-数列数学基础知识与典型例题复习-数列隐藏>> 数学基础知识与典型例题 第三章数列 例 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? ...

数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学.doc

数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列专题复习一、等差数列的有关概念: 1、等差数列的判断方法:定义法 an?1 ...

人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结_图文.doc

人教版高中数学必修五《数列基础知识要点总结 - 第二章 《数列基础知识小结 一、数列的概念与表示方法 1、 数列的概念 2、 数列的通项 公式 3、 通项...

3数学基础知识与典型例题复习--数列_图文.doc

3数学基础知识与典型例题复习--数列 - 数学基础知识与典型例题 第三章数列 例 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ? n ,求 数列 ?an ? ...

3数学基础知识与典型例题复习--数列_图文.doc

3数学基础知识与典型例题复习--数列 - 数学基础知识与典型例题 第三章数列 例 1.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n = 2n 2 n ,求 数列 {an } 的...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com