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人教A版高中数学必修二课件4.2.1直线与圆的位置关系(共33张PPT)_图文

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

第四章 圆与方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系

学习目标

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重点难点 重点:直线与圆的位置关系的判定及根据直线与圆的位 置关系求圆的方程. 难点:解决直线与圆位置关系的综合问题.

新知初探思维启动

1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离

公共点个数 ___两__个___ __一__个____ ___无_____

2.直线与圆位置关系的判断
(1)几何法 已知直线 Ax+By+C=0 和圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 圆心到直线的距离 d=|Aa+Bb+C|.
A2 + B2

d与r的关系 d<r d=r d>r

直线与圆的关系 __相__交____ 相切 __相__离____

(2)代数法 将直线 Ax+By+C=0 和圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 联立得方程组???Ax+ By+ C= 0,
??x2+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0,
消去y(或x)得mx2+nx+p=0(或ay2+by+q=0). 利用判别式Δ:当Δ=0时,直线与圆__相__切___; 当Δ>0时,直线与圆__相__交____; 当Δ<0时,直线与圆__相__离____.

想一想1.用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系时, 二者在侧重点上有什么不同? 提示:代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系,只 是角度不同,代数法侧重于“数”的计算,几何法侧重于 “形”的直观. 2.过圆内一点(非圆心)作圆的弦,何时最长?何时最短? 提示:弦过圆心时成为直径是最长的弦,垂直于该点与圆 心连线的弦是最短的弦.

做一做 1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( ) A.相交B.相切 C.相离D.相切或相交 解析:选 A.圆心到直线的距离为 d= 5 =1<4,所以直
32+42 线与圆相交.
2.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,方程为 ________. 解析:∵圆为(x-1)2+(y-1)2=1, ∴圆与x轴、y轴都相切. 答案:x=0或y=0

典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 直线与圆的位置关系的判断
若例直1线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下关系:① 相交;②相切;③相离,试分别求实数a的取值范围.

【解】 法一:(代数法)由方程组?????4xx2+-y32y=+1a0=0,0, 消去 y,

得 25x2+8ax+a2-900=0.

Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.

①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,-

50<a<50;②当直线和圆相切时,Δ=0,即 a=50 或 a=-

50;③当直线和圆相离时,Δ<0,即 a<-50 或 a>50. 法二:

(几何法 )

圆 x2+y2=100 的圆心为(0,0),半径 r=10,

则圆心到直线的距离 d=

|a| =|a|, 32+42 5

①当直线和圆相交时,d<r,即|a5|<10,-50<a<50; ②当直线和圆相切时,d=r,即|a5|=10,a=50 或 a=-50; ③当直线和圆相离时,d>r,即|a|>10,a<-50 或 a>50.
5 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系,一般常用几
何法,因为代数法计算繁琐,书写量大,易出错,几何
法则较简洁,但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时,常用代数法.

跟踪训练

1.若直线xa+yb=1 与圆 x2+y2=1 有公共点,则(

)

A. a2+ b2≤ 1

B. a2+ b2≥ 1

C. a12 +b12 ≤ 1

D.a12+b12≥ 1

解析:选 D.直线xa+yb=1 与圆 x2+y2=1 有公共点,因此

圆心(0,0)到直线 bx+ay-ab=0 的距离应小于等于 1.



|-ab| ≤ a2+ b2

1,∴a12+b12



1.

题型二 切线问题
例2 若直线l过点P(2,3),且与圆(x-1)2+(y+2)2=1 相切,求直线l的方程.

【解】 法一:(1)若直线 l 的斜率存在,

设 l:y-3=k(x-2),即 kx-y+3-2k=0,

因为直线 l 与圆(x-1)2+(y+2)2=1 相切,

所以 |5-k| =1,所以 k=12.所以直线 l 的方程为

k2 + 1

5

y-3=152(x-2),即 12x-5y-9=0.

(2)若直线 l 的斜率不存在,则直线 l:x=2 也符合要求. 所以直线 l 的方程为 12x-5y-9=0 或 x=2. 法二:(1)若直线 l 的斜率存在, 设 l:y-3=k(x-2),即 y=k(x-2)+3, 与圆的方程联立消去 y 得: (x- 1)2+ [k(x- 2)+ 3+ 2]2= 1, 整理得 (k2+ 1)x2- (4k2- 10k+ 2)x+ 4k2- 20k+ 25= 0, ∵ Δ= (4k2- 10k+ 2)2- 4(k2+ 1)(4k2- 20k+ 25)= 0, ∴ k=152.

此时直线 l 的方程为 y-3=152(x-2),即 12x-5y-9=0. (2)若直线 l 的斜率不存在,即 x=2 也符合要求. 所以直线 l 的方程为 12x-5y-9=0 或 x=2.
【名师点评】 如果所求切线过某已知点,务必弄清该点与 圆的位置关系.另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点 直线的验证.

跟踪训练

2.求圆x2+y2=4的切线方程,使得它经过点Q(3,0).

解:容易判断点 Q(3,0)在圆外.

设切线的方程为 y=k(x-3),即:kx-y-3k=0, 又圆的圆心为(0,0),半径为 2,所以 |-3k| =2,
1+ k2

解得:k=±2

5

5 .

所以所求切线方程

为:y=

2 ±5

5(x-

3).

题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2 -6x+12y+20=0. (1)m∈R时,证明l与C总相交; (2)m取何值时,l被C截得的弦长最短,求此弦长.
【解】 (1)证明:直线的方程可化为 y+3=2m(x-4),由 点斜式可知,直线过点 P(4,-3). 由于 42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0, 所以点 P 在圆内,故直线 l 与圆 C 总相交.

(2)如图,当圆心 C(3,-6)到直线 l 的距离最大时,线段 AB 的长度最短.此时 PC⊥l,直线 l 的斜率为-1,所以
3 m=-16,在△APC 中,|PC|= 10,|AC|=r=5,
所以|AP|= 52-? 10?2= 15,所以|AB|=2 15. 所以当 m=-16时,l 被 C 截得的弦长最短,最短弦长为
2 15.

【名师点评】 (1)若直线过圆内一点,则直线与圆必相 交;(2)利用几何图形的特征及性质分析出何时弦长最短 是解题的关键.

跟踪训练
3.已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2), AB为过点P且倾斜角为α的弦. (1)当α=135°时,求AB的长; (2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程.

解:(1)法一:(几何法)如图所示,过点 O 作 OC⊥AB.

由已知条件得直线的斜率为 k=tan 135°=-1,

∴直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1),即 x+y-1=0.

∵圆心为 (0, 0),∴ |OC|=|- 1|= 2

2, 2

∵r=2 2,∴|BC|=

8-??

2 2

?2 ?



30 2.

∴|AB|=2|BC|= 30.

法二:(代数法)当 α=135°时,直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1),即 y=-x+1,代入 x2+y2=8, 得 2x2-2x-7=0. ∴ x1+ x2 = 1, x1x2=-72,
∴|AB|= 1+k2|x1-x2|
= ? 1+1?[? x1+x2?2-4x1x2]= 30. (2)如图,当弦 AB 被点 P 平分时,OP⊥AB, ∵ kOP= - 2,∴ kAB=12, ∴直线 AB 的方程为 y-2=12(x+1),即 x-2y+5=0.

【方法感悟】

1.圆的切线方程的 求法

(1)求过 圆上一点(x0, y0)的圆的切线方程: 先求切点与圆心连线的斜率 k(k≠0),则由垂直关系,得切

线斜率为-1,由点 斜式方程可求得切线方程.如果 k

k=0

或 k 不存在,则由图形可直接得切线方程.

(2)求过 圆外一点(x0, y0)的圆的切线方程: 首先讨论斜率不存 在时是否适合题意.然后,讨论斜率存

在时,可由以下两 种方法解出.

①几何方法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0. 由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即 可求出. ②代数方法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代 入圆方程,得一个关于x的一元二次方程.由Δ=0,求 得k,切线方程即可求出.

2.直线与圆相交时,弦长的求法

(1)几何法,如图,直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,设弦

心距为 d,圆的半径为 r,弦长为|AB|,则有

?|AB| ?2

??2+

d2=

r2.即

|AB|=

2

r2- d2.

(2)若用 代数法,则联立直线方程和圆的方程 .

①解方程组得 A、B 点的坐标,再由两点间的距离公式求

弦长 |AB|.

②消去一个未知数 得到一个一元二次方程,利用根与系 数

的关系可得弦长|AB|= 1+k2|x1-x2|=

1+k12 |y1 - y2 |,

其中 k 为直线的斜率且 k≠0,特别地,当 k=0 时,可直

接利用 |AB|= |x1- x2 |计算,当斜率不存在时,可直 接利用 |AB|= |y1- y2|计算.

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名师解题

与圆有关的参数问题

例4 已知直线 l:y=- 3x+m 与圆 x2+y2=1 在第 3
一象限内有两个不同的交点,求 m 的取值范围.

【解】 ∵l:y=- 33x+m,圆 x2+y2=1, ∴l 可变形为: 3x+3y-3m=0, 圆的圆心为(0,0),半径长 r=1.

当直线和该圆相切时,应满足 d=|-3m|=1,解得 3+9

m=

2 ±3

3,

在平面直角坐标系中作出图象,如图所示,

其中 l2:y=- 33x+23 3,

l3: y=-

33x-2 3

3 .

过原点作直线 l0:y=- 33x,m0:y=-x.

∵直线

l

的斜率

k=-

3,直线 3

AB 的斜率

k=-1,

∴只有当直线 l 在移动到过 A(0,1)后才开始与圆在第一象

限内有两个交点,此时对应的直线

l1: y=-

3x+1,要 3

使直线与圆在第一象限内有两个不同交点,直线 l 只有在

直线 l1 和直线 l2 之间运动才可以,此时相应的

m∈??1,23

3

? ?

∴m 的取值范围是??1,23 3??.

信息提炼 层层剖析 首先求出直线与圆相切时,截距(即m)的值. 比较直线l0与m0的倾斜程度,确定l1的方程. 数形结合,利用平移的方法求m的取值范围.

跟踪训练
4.已知直线 l:y=- 3x+m 与圆 x2+y2=1 在第一象限 3
内有交点,求 m 的取值范围.
解:∵l:y=- 33x+m,圆 x2+y2=1, ∴l 可变形为: 3x+3y-3m=0,圆的圆心为(0,0), 半径长 r=1. 当直线和该圆相切时,应满足 d=|-3m|=1,
3+9 解得 m=±23 3,在平面直角坐标系中作出图象,

如下图所示,其中 l2:y=- 33x+23 3,

l3 : y=-

33x-2 3

3 .

∵直线 l 与圆在第一象限内有交点,

∴直线 l 应该在过点 B(1,0)的直线与切线 l2 之间才可以,

而当 B(1,0)在直线 l 上时,m= 3, 3

∴m

的取值范围是??

3,2 3

3

3??.

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