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2014年江苏高考数学学科基地命题模拟试卷(1)


2014 年江苏高考数学学科基地命题模拟试卷(1)
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 2 1. 设 a , b 是实数,若 ,则 a ? b 的值是 . ? a ? bi ( i 是虚数单位) 1? i 2. 若全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?3 ? x ? 1} , A B ? {x | ?3 ? x ? 2} ,则 B ? U A ? . 3. 平行四边形 ABCD 中, E 为 CD 的中点.若在平行四边形 ABCD 内部随机取一点 M ,则 点M 取自 ?ABE 内部的概率为 . 4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名高三男生的体重. 根据抽样 测量后的男生体重(单位: kg )数据绘制的频率分布直方图如图所示,则这 100 名学生 中体重值在区间[56.5,64.5)的人数是 .
T←1 I←3 While I<50 T←T +I I←I +2 End While Print T

(第 4 题图)
(第 5 题图) 5. 运行如图语句,则输出的结果 T ? . . .

S 6. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 4 ? 4 ,则 S8 ? S2 S4

7. 若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 3x ? a ? 0 的解集为 ? m,1? ,则实数 m ?

8. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6,BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为 . 9. 已知锐角 A , B 满足 2 tan A ? tan(A ? B) ,则 tan B 的最大值为 . 10. 已知双曲线 C :
C离

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的渐近线与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 相交,则双曲线 a 2 b2

心率的取值范围是 11. 设函数 f ( x) ? 2 sin(

x ? )( ?2 ? x ? 10) 的图像与 x 轴交于点 A ,过点 A 的直线 l 与函数 6 3 f (x) 的图像交于另外两点 B 、 C . O 是坐标原点,则 (OB ? OC) ? OA ? .

?

. ?

? ? x? y?0 ? ? ? ? 12. 当对数函数 y = log a x(a >0 且 a ? 1) 的图像至少经过区域 M = ?(x,y ) ? x+y ? 8 ? 0? 内的一个 ? ? ? ? y ?3? 0 ? ?

点 时,实数 a 的取值范围为 .
sin 2 a3 ? cos 2 a3 ? cos 2 a 3 cos 2 a 6 ? sin 2a 3sin 2a 6 13. 设等差数列 {an } 满足 ? 1 ,公差 d ? (?1, 0) . sin(a4 ? a5 )

若 当且仅当 n ? 9 时,数列 {an } 的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是 .

1

南京清江花苑严老师

14. 从 x 轴上一点 A 分别向函数 f ( x) ? ? x3 与函数 g ( x ) ?

2 引不是水平方向的切线 l1 | x | ? x3
3

和 l2 ,两切线 l1 、l2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C ,O 为坐标原点,记 ?OAB 的面积为 S1 , ?OAC 的面积为 S2 ,则 S1 ? S2 的最小值为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分14分)已知 ? , ? ? (0, ?) ,且 sin(? ? 2? ) ? 7 sin ? . 2 5 (1)求证: tan(? ? ? ) ? 6 tan ? ; (2)若 tan ? ? 3tan ? ,求 ? 的值.

16.(本小题满分 14 分)如图,在四面体 ABCD 中, AB ? AC ? DB ? DC ,点 E 是 BC 的中 点,点 F 在线段 AC 上, 且 AF ? ? . AC (1)若 EF ∥平面 ABD ,求实数 ? 的值; (2)求证:平面 BCD ? 平面 AED .

A

F B E C (第 16 题图) D

17.(本小题满分 14 分)某地发生某种自然灾害,使当地的自来水受到了污染.某部门对水 质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 m 个单位的药剂后,
2 南京清江花苑严老师

经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y (毫克/升)满足 y ? m f ? x ? ,其中

?log 2 ( x ? 4),0 ? x ? 4 ? ,当药剂在水中释放的浓度不低于 6 (毫克/升)时称为有效 净 f ? x? ? ? 6 .. . ,x ? 4 ? ?x ? 2
化 ;当药剂在水中释放的浓度不低于 6 (毫克/升)且不高于 18 (毫克/升)时称为最佳 净化 . . .. .. (1)如果投放的药剂质量为 m ? 4 ,试问自来水达到有效 净化 一共可持续几天? .. .. (2)如果投放的药剂质量为 m ,为了使在 7 天(从投放药剂算起包括第 7 天)之内的自 来水达到最佳 净化 ,试确定应该投放的药剂质量 m 的取值范围. .. ..

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E : 为

x2 y 2 + ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 a2 b2

1 ,右焦点为 F ,且椭圆 E 上的点到点 F 距离的最小值为 2 . 2

(1)求 a , b 的值; (2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A, B ,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别相 交于点 M ,N . ①当过 A, F , N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; ②若 cos ?AMB ? ?

65 ,求 △ ABM 的面积. 65

3

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19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)若 x ? [?2, a], ?2 ? a ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; 13 (2)设 a ? ?2 ,求证: f (a) ? 2 ; e (3)对于定义域为 D 的函数 y ? g ( x) ,如果存在区间 [ m, n] ? D ,使得 x ? [m, n] 时, y ? g ( x) 的值域是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数 y ? g ( x) 的“保值区间”. 设 h( x) ? f ( x) ? ( x ? 2)e x , x ? (1, ??) ,问函数 y ? h( x ) 是否存在“保值区间”?若存在, 请求出一个“保值区间”; 若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 16 分)已知数列 {an } 的各项均为正数,数列 {bn } , {cn } 满足 bn ?
2 cn ? an an ?1 .

an ? 2 , an

(1)若数列 {an } 为等比数列,求证:数列 {cn } 为等比数列; (2)若数列 {cn } 为等比数列,且 bn ?1 ? bn ,求证:数列 {an } 为等比数列.

4 南京清江花苑严老师

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作答 . ..... A.(选修4-1:几何证明选讲)在 ?ABC 中,已知 AC ?

1 AB , CM 是 ?ACB 的平分线, 2

?AMC 的外接圆交 BC 边于点 N ,求证: BN ? 2 AM .
A M O B N C

B.(选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵 M ? ?
?1? 特征向量 e1 ? ? ? . ? ?3? (1)求矩阵 M ;

?a 1? ? 的特征值 ? ? ?1 所对应的一个 ?3 b?

(2)设曲线 C 在变换矩阵 M 作用下得到的曲线 C' 的方程为 xy ? 1 ,求曲线 C 的方程.

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 (a ? b ? 0) 上在第一象限的点, A(a,0) 和 B(0, b) 是椭圆的两个顶点,求四边形 MAOB 的面积 的 最大值.
C.(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,设 M 是椭圆

D.(选修4-5:不等式选讲)设 a, b, c, d ? R ,求证:

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? (a ? c)2 ? (b ? d )2 ,等号当且仅当 ad ? bc 时成立.

5

南京清江花苑严老师

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业, 现在福彩中心准备发行一种面 值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下: ①该福利彩票中奖率为 50% ;②每张中奖 彩票的中奖奖金有 5 元, 50 元和 150 元三种;③顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概 率为 p ,获得 50 元奖金的概率为 2% . (1)假设某顾客一次性花 50 元购买 10 张彩票,求该顾客中奖的概率; (2)设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为 X 元,求 X 的概率分布(用 p 表示); (3)为了能够筹得资金资助福利事业, 求 p 的取值范围.

23.(1)设 x ? ?1 ,试比较 ln(1 ? x) 与 x 的大小; (2)是否存在常数 a ? N ,使得 a ?

1 n 1 (1 ? )k ? a ? 1 对任意大于1 的自然数 n 都成 ? n k ?1 k

立?若存在,试求出 a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

6 南京清江花苑严老师


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