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07-14三角函数与解三角形

三角函数与解三角形 2007 17 分 2008 17 分 2009 22 分 2010 19 分 2011 12 分 2012 17 分 2013 17 分 2014 17 分

(2007 年高考广东卷第 9 小题)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ?

π? ?π ?? x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 2? ?3 ??


(0, 1) ,则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 ? 分别为(
A. T ? 6 , ? ?

π 6

B. T ? 6 , ? ?

π 3

C. T ? 6 π , ? ?

π D 6

T ? 6π



??

π 3

4) , B(0, 0) , (2007 年高考广东卷第 16 小题)已知 △ ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3, C (c, 0) .
(1) 若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求 sin ?A 的值.

x?R, (2008 年高考广东卷第 5 小题)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x , 则 f ( x) 是 (
A. 最小正周期为 π 的奇函数 B. 最小正周期为 π/2 的奇函数



C. 最小正周期为 π 的偶函数

D. 最小正周期为 π/2 的偶函数

1

(2008 年高考广东卷第 16 小题)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(x ?? )( 的最大值是 1 ,其图像经过点 a ? 0, 0 ?? ?? ), x? R

? 1 M ( , )。 3 2
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0, 的值。

?

3 12 ) ,且 f (?) ? , f( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 2 5 13

(2009 年 高 考 广 东 卷 第 7 小 题 ) 已 知 ?ABC 中 , ?A, ?B, ?C 的 对 边分 别 为 a,b,c 若 a=c= 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b= (
o

) D. 6 ? 2

A.2

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

(2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 y ? 2 cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是 (



A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

2

(2009 年高考广东卷第 16 小题) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos? 的值 2

(2010 年高考广东卷第 13 小题) .已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B,则 sinA= . (2010 年高考广东卷第 16 小题) 设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ?

? ?

??

? ? , ?>0 , x ? ? ??, ??? ,且以 2 为最小正周期. 6?
?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值. ? 4 12 ? 5

(1) 求 f ? 0 ? ; (2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f ?

3

(2011 年高考广东卷第 16 小题) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1) 求 f (0) 的值; (2) 设 ? , ? ? [0,

1 3

?
6

), x ? R

?

? 10 6 ], f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 sin(? ? ? )的值. 2 2 13 5

(2012 年高考广东卷第 6 小题)

在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则
° °

AC =(

) B. 2 3 C.

A. 4 3

3

D.

3 2

(2012 年高考广东卷第 6 小题)(本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? A cos(

. x ? x ? R ,且 ? ? ), f( )? 2 4 6 3

(1) 求 A 的值; (2) 设 ? , ? ? [0,

?
2

], f ( 4? ?

4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 17 3 5

word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站:析

4

(2013 年高考广东卷第 4 小题) 4.已知 sin(

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? ( 2 5 2 1 1 A. ? B. ? C. 5 5 5

) D.

2 5

(2013 年高考广东卷第 16 小题)(本小题满分 12 分) 16.已知函数

? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R ? 12 ?



(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?

(2) 若 cos ? ?

?? 3 ? ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 f ? ? ? ? . 6? 5 ? ? 2 ?

5

( 2014 年 ) 7. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c , 则 “ a ? b ” 是 “ sin A ? sin B ”的( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 (2014 年)16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1) 求 A 的值; (2) 若 f (? ) ? f (?? ) ? 3, ? ? (0, ) B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

?
3

), x ? R ,且 f (

5? 3 2 )? 12 2

?
2

) ,求 f (

?
6

?? )

6

三角函数与解三角形 2007 17 分 2008 17 分 2009 22 分 2010 19 分 2011 12 分 2012 17 分 2013 17 分 2014

(2007 年高考广东卷第 9 小题)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ?

π? ?π ?? x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 2? ?3 ??

(0, 1) ,则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 ? 分别为( A )
A. T ? 6 , ? ?

π 6

B. T ? 6 , ? ?

π 3

C. T ? 6 π , ? ?

π 6

T ? 6π , D.

??

π 3

4) , B(0, 0) , (2007 年高考广东卷第 16 小题)已知 △ ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3, C (c, 0) .
(2) 若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求 sin ?A 的值. 解: (1)

AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4)
25 3

?

A B? A C ? ? 3( c ? 3 ) ? 1 6? 2 5 ? c 3? 得 0 c?
(2)

AB ? (?3, ?4)
AB ? AC AB ? AC ?

AC ? ( 2 ? , 4)

? cos ?A ? ? sin ?A ?

?6 ? 16 1 ? 5 20 5

1 ? cos 2 ?A ?

2 5 5

2 (2008 年高考广东卷第 5 小题 ) 已知函数 f ( x) ? (1? cos 2x ) sin x , x ? R ,则 f ( x) 是

( D ) A. 最小正周期为 π 的奇函数 B. 最小正周期为 π/2 的奇函数

C. 最小正周期为 π 的偶函数

D. 最小正周期为 π/2 的偶函数

7

(2008 年高考广东卷第 16 小题)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(x ?? )( 的最大值是 1 ,其图像经过点 a ? 0, 0 ?? ?? ), x? R

? 1 M ( , )。 3 2
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0, 的值。

?

3 12 ) ,且 f (?) ? , f( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 2 5 13

【解析】 (1) 依题意有 A ? 1 , 则 f( 将点 M ( x) ? s i n ( x ) ?? , 而 0 ? ? ? ? ,?

? 1

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 2 3 6 2 3 12 ( 2 ) 依 题 意 有 cos ? ? , cos ? ? , 而 ?, ? ? 5 13 3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13 3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

( 0 , , 2

?

)

(2009 年 高 考 广 东 卷 第 7 小 题 ) 已 知 ?ABC 中 , ?A, ?B, ?C 的 对 边分 别 为 a,b,c 若 a=c= 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b= (A)
o

A.2

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

【答案】A 【解析】

sin A ? sin 750 ? sin(300 ? 450 ) ? sin 300 cos 450 ? sin 450 cos300 ?
0 0 由 a=c= 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?

2? 6 4

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
2

(2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 y ? 2 cos ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

?
4

) ? 1 是 (A)

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

8

【 答 案 】 A 【 解 析 】 因 为 y ? 2cos 2 ( x ? 数, T ?

?

?? ? ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为 奇 函 4 2? ?

2? ? ? ,所以选 A. 2

(2009 年高考广东卷第 16 小题) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos? 的值 2

【解析】 (1) Q a ? b ,? a g b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? 又∵sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴4cos ? ? cos ? ? 1 ,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴sin ? ? 5 5



5 ? 2 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?

2

5

5

(2) ∵5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? , ?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , 即 cos 2 ? ?
∴cos ? ?

1 2



0 ?? ?

? , 2

2 w 2

(2010 年高考广东卷第 13 小题) .已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B,则 sinA=

1 2

.

(2010 年高考广东卷第 16 小题)

设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ?

? ?

??

? ? , ?>0 , x ? ? ??, ??? ,且以 2 为最小正周期. 6?
?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值. ? 4 12 ? 5

(2) 求 f ? 0 ? ; (2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f ? 解: (1)由已知可得: f (0) ? 3 sin

?

6 ? 2? ? ? (2)∵ f ( x ) 的周期为 ,即 2 ? 2

?

3 2

∴? ? 4

故 f ( x) ? 3 sin( 4 x ?

?
6

)

9

(3)∵ f (

? a ? a ? ? ? ) ? 3 sin[ 4 ? ( ? ) ? ] ? 3 sin( a ? ) ? 3 cos a 2 4 12 4 12 6
9 3 即 cos a ? 5 5
∴sin a ? ? 1 ? cos a ? ? 1 ? ( ) ? ?
2 2

∴ 由已知得: 3 cos a ? 故 sin a 的值为

3 5

4 5

4 4 或? 5 5

(2011 年高考广东卷第 16 小题) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (3) 求 f (0) 的值; (4) 设 ? , ? ? [0,

1 3

?
6

), x ? R

?

? 10 6 ], f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 sin(? ? ? )的值. 2 2 13 5

解: (1) f (0) ? 2sin ? ?

? ? ?? ? ? ?2sin 6 ? ?1 ; ? 6?

(2)

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ?

6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ?
? sin ? ? 5 3 , cos ? ? , 13 5
2 2

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ?
故 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? (2012 年高考广东卷第 6 小题)

4 ?3? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

5 3 12 4 63 ? ? ? ? . 13 5 13 5 65
° °

在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则

AC =(B)
A. 4 3 B. 2 3 C.

3

D.

3 2

(2012 年高考广东卷第 6 小题)(本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? A cos(

. x ? x ? R ,且 ? ? ), f( )? 2 4 6 3

(3) 求 A 的值;

10

(4) 设 ? , ? ? [0,

?
2

], f ( 4? ?

4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 17 3 5

word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站:析 解: f ( ? ) ? A cos(1 ? ? ? ? )????????????????1分

3 6 ? 2 ? A cos ? A ? ? 2 ????????????????3分 4 2 ? A ? 2??????????????????????? 4分
2 ) :

3

4



4 f (4? ? ? ) 3 1 4 ? ? 2 cos[ (4? ? ? ) ? ] 4 3 6 ? 2 cos(? ? ) ???????????????5分 2 30 ? ?2 sin ? ? ? ??????????????? 6分 17 15 ? sin ? ? ??????????????? 7分 17 2 f (4? ? ? ) 3 1 2 ? ? 2 cos[ (4 ? ? ? ) ? ] 4 3 6 8 ? 2 cos ? ? 5 4 ? cos ? ? ???????????????????????8分 5 由于?,? ? [0, ], 2 cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( 15 2 8 ) ? ???????????????9分 17 17

?

?

4 3 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? ???????????????10分 5 5 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ???????????????11分 8 4 15 3 ? ? ? ? 17 5 17 5 13 ? ? ???????????????????????????12分 85
(2013 年高考广东卷第 4 小题)

11

4.已知 sin(

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? (C) 2 5 2 1 1 A. ? B. ? C. 5 5 5
解 析 】 : 考 查 三 角

D. 函

2 5
数 诱 导 公 式 ,



sin(

5? ? 1 ?? ? ? ? ) ? sin(2? + ? ? ) ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ,选 C. 2 2 5 ?2 ?

(2013 年高考广东卷第 16 小题)(本小题满分 12 分) 16.已知函数

? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R ? 12 ?



(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?

(2) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

【解析】(1) f ?

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ?3? ? 3 12 ? ?4?

(2)

4 3 ? 3? ? cos ? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
7. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,则“ a ? b ”是“ sin A ? sin B ”的 (A) A.充分必要条件 C.必要非充分条件 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (3) 求 A 的值; (4) 若 f (? ) ? f (?? ) ? 3, ? ? (0, 解: B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

?
3

), x ? R ,且 f (

5? 3 2 )? 12 2

?
2

) ,求 f (

?
6

?? )

12

(1) f (

5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 2 ? 3. 12 12 3 4 2 2

(2)由(1)得: f ( x ) ? 3 sin( x ?

?
3

)

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) 3 3
? 3(sin ? cos
? 6 cos ? sin

?

?

?

?

? cos ? sin ) ? 3(sin(?? ) cos ? cos(?? ) sin ) 3 3 3 3

?

?

?

3

? 3 3 cos? ? 3
1 ? ? ? ? 1 ? cos ? ? ,? f ( ? ? ) ? 3sin( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ) ? 3cos ? ? 3 ? ? 1 3 6 6 3 2 3

13


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