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2018届高三数学二轮复习三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质课件理_图文

考情分析
年份 2017 卷别 题号 Ⅰ 9 考查内容 三角函数的诱导公式及图 象变换 Ⅱ Ⅲ 2016 Ⅱ 14 6 7 三角函数的最值 余弦函数的图象和性质 三角函数图象的变换与性 质 命题规律 高考对三角函数的图象的考查有: 利用“五点法”作出图象、图象变换 、由三角函数的部分图象确定三角函 数的解析式.三角函数的性质是高考的 一个重要考点,既有直接考查的客观题, 也有综合考查的主观题,常通过三角变 换将其转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再


2015 Ⅰ

14
8

三角函数的图象变换
三角函数的图象与性质

研究其性质(定义域、值域、单调性、
奇偶性、周期性).

总纲目录
考点一 考点二 考点三 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 三角函数的图象(高频考点) 三角函数的性质(高频考点)

考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则
y sin α=y,cos α=x,tan α=? .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦, x

三正切,四余弦. 2.同角关系:sin2α+cos2α=1,? =tan α.
k? 3.诱导公式:在?+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”. 2
sin α cos α

典型例题
(1)(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为
1 始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=? ,则cos(α-β)= 3

. .

(2)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是

答案

7 (1)-? (2)-1 9
1 3 1 3

解析 (1)解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z). ∵sin α=? ,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=? (k∈Z). 当cos α=?1 ? sin 2 α =? 时,cos β=-? ,
2 2 ? 2 2? 1 1 7 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=? × ? ? ×? =-? . ? +? 3 3 3 3 9 ? ? 2 2 3 2 2 3

?

当cos α=-?1 ? sin 2 α =-? 时,cos β=? ,

2 2 3

2 2 3

? 2 2? 2 2 1 1 7 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= ? ? ×? =-? . ? ×? + ? 3 3 3 3 9 ? ? 7 综上,cos(α-β)=-? . 9

?

解法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z), ∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α,cos β=cos[(2k+1)π-α]=-cos α,k∈Z.

当sin α=? 时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2
α=2sin2α-1=2×? -1=-? . (2)由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.
2sin α cos α ? cos 2 α 2 tan α ? 1 ?4 ? 1 所以2sin αcos α-cos α=? 2 =? 2 =? =-1. sin α ? cos 2 α tan α ? 1 4 ? 1
2

1 3

1 9

7 9

方法归纳
应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机 械地使用三角函数的定义就会出现错误. (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定要注意三角函数的符号;利用 同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为 同、化高为低、化繁为简等.

跟踪集训
1.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos? ? ? β ? +5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则 sin α的值是? (
3 5 A.? 5
?? ?2 ? ?

)
7
3 10 C.? 10

3 7 B.?

1 D.? 3

答案 C 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得tan α=3,即
3 10 sin α ? =3,又sin α+cos α=1,α为锐角,故sin α=? .
2 2

cos α

10

2.已知点P? ? sin
) A.?
4

? ?

3? 3? ? ,cos ? 落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为? ( 4 4 ?

?

B.?

3? 4

C.?

5? 4

D.?

7? 4

3 ? cos ? ? cos 4 4 答案 D tan θ= 3 = ? =-1, sin ? sin 4 4 3? 3? 又sin?>0,cos?<0, 4 4

? ?

所以θ为第四象限角,因为θ∈[0,2π),所以θ=?.

7? 4

考点二
命题点

三角函数的图象(高频考点)

1.由三角函数的图象特征求三角函数的解析式. 2.三角函数图象的变换. 3.用“五点法”作三角函数的图象. 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图: 设z=ωx+φ,分别令z=0,? ,π,?,2π,求出相应x的值与相应y的值,描点、连
2

?

3? 2

线可得其图象.

(2)图象变换: y=sin x? y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ).

?
?
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图:
?
3? 2

3.用“五点法”作三角函数的图象.

设z=ωx+φ,分别令z=0,? ,π,?,2π,求出相应x的值与相应y的值,描点、连
2

线可得其图象.

(2)图象变换: y=sin x? y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ).

?
?

典型例题
(1)(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f
? 5? ? ? 11? ? ? ? =2,f ? ? =0,且f(x)的最小正周期大于2π,则 ? 8 ? ? 8 ? 11? ? 2 2 A.ω=? ,φ=? B.ω=? ,φ=-? 12 12 3 3 11? 1 1 7? C.ω=? ,φ=-? D.ω=? ,φ=? 24 24 3 3

?

?

?

(

)

(2)(2017课标全国Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin? ? 2x ? 面结论正确的是? (
?

? ?

2? ? ? ,则下 3 ?

)

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线 向右平移? 个单位长度,得到曲线C2
6

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线
向左平移? 个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的? ,纵坐标不变,再把得到的曲线向
1 2

? 12

右平移? 个单位长度,得到曲线C2
6

?

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的? ,纵坐标不变,再把得到的曲线向 左平移? 个单位长度,得到曲线C2
? 12

1 2

答案 (1)A (2)D

解析 (1)∵f? =? -? ? ? =2, f? ? ? =0, f(x)的最小正周期大于2π,∴? 8 8 8 4 8 ? ? ? ?
2? 2 T 3 ? 2 5? ? ? 5? ? ? 5? ? ? ? φ ? φ 又f? =2sin ? =2, ∴ sin ? ? ? ? ? =1. ? ? 3 8 12 8 ? ? ? ? ? ? 5? ? ? ∴?+φ=2kπ+? ,k∈Z,∴φ=2kπ+? ,k∈Z. 12 2 12

? 5? ?

? 11? ?

T

11? 5?

=?,得T=3π,则ω=?=? ,

3? 4

? ∵|φ|<π,∴φ=? ,故选A.
12 2? ? (2)y=sin? 2 x ? ? 3 ?

? ? ? ?? 2? ? ? ?? ? ? ? =cos ? =cos ? =cos ,由y=cos 2 x ? ? 2 x ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2? 6? 12 ? ? ? ? ? ? ?

?

x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的
? ? ? 1 ? ,纵坐标不变;由y=cos 2x的图象得到y=cos? 2 x ? ? ?
2 ? ? 的图象上的各点向左平移? 个单位长度,故选D.

? ? 的图象,需将y=cos 2x ? 12 ? ? ?

方法归纳
1.函数表达式y=Asin(ωx+φ)的确定方法 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数 法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ 常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破 口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

2.三角函数图象平移问题处理策略
(1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数得到哪个函数,这是判断 移动方向的关键点. (2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看y=Asin(ωx+ φ)中φ的正负和它的平移要求. (3)看移动单位:在函数y=Asin(ωx+φ)中,周期变换和相位变换都是沿x轴 方向的,所以ω和φ之间有一定的关系,φ是初相,再经过ω的压缩,最后移
φ 动的单位是? . ω

跟踪集训
1.(2017云南11校跨区调研)函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移? 3 个单
? 2? ? ,0 ? 位长度,所得到图象经过点? 3 ? ? ,则ω的最小值是? ( 3 1 A.? B.2 C.1 D.? 2 2

?

?

)

答案 C

? ? ? ?? ?? ? x ? ω x ? 依题意得,函数f? ? ? =sin ? ? ? (ω>0)的图象过点 3? 3 ?? ? ? ? ?

?

? ? 2? ? ? ?=sin (ωπ)=0(ω>0),则ωπ=kπ,k ? 2? ? ,于是有f ? ? 2? ? ? =sin? ? ,0 ? ? ?? ? ? ? ? ?ω ?
? 3 ?

? 3

3?

? ? 3

3 ??

∈Z,因此正数ω的最小值是1,故选C.

2.(2017贵阳检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导数f '
(x)的图象如图所示,则f? ? ? 的值为? (
?? ? ?2?

)

?
A.2?2 B.?2 C.-?
2 2

D.-?

2 4

答案 D 依题意得f '(x)=Aωcos(ωx+φ),
? ? ? ? =π,ω=2. 结合函数y=f '(x)的图象可知,T=? =4? ? 8 8 ω ? ?

2?

3?

?

1 2 3? 3? 7? ? 3? ? ? 3? ? ? φ 因为0<φ<π,?<?+φ<? ,且f '? =cos ? ? ?=-1, ? ? 4 8 4 4 4 ? ? ? ? 3? ? 所以? +φ=π,φ=? , 4 4 ?? 1 ? 则f(x)=? sin? ? 2x ? ? , 4? 2 ? ? ? =-? 2 =-? 2 ,故选D. 1 sin? 1 ×? ? ? ? =? ? 所以f? ? ? ? ? ? ? 4? 2 2 4 ?2? 2 ?

又Aω=1,因此A=? .

考点三
命题点

三角函数的性质(高频考点)

1.研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性. 2.求三角函数的单调区间及最值. 3.利用三角函数的图象和性质研究方程根及参数的范围(值).
1.三角函数的单调区间
? ?? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? y=sin x的单调递增区间是? ? ? (k∈Z),单调递减区间是
? 2 2?

? 3? ? (k∈Z);y=cos x的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z), ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? ?

单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);y=tan x的单调递增区间是
? ?? ? ? k ? ? , k ? ? ? ? (k∈Z).
? 2 2?

?

2

2 ?

2.三角函数的奇偶性与对称轴方程
y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+? (k∈Z)时为偶函数; 对称轴方程可由ωx+φ=kπ+? (k∈Z)求得.
?
2 2

?

y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+? (k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;
2

?

对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.

典型例题
(1)(2017课标全国Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cos? ? x ? ? ,则下列结论错误 3
? ? ?

??

的是? (

)
8? 3

A.f(x)的一个周期为-2π

B.y=f(x)的图象关于直线x=?对称
C.f(x+π)的一个零点为x=?
6
? ? D.f(x)在? , ? ? ? 单调递减 ?2 ?

?

?

x 1 3 (2)(2017贵州适应性考试)函数f(x)=?3 cos2? -? sin x-? (x∈[0,π])的单调 2 2

2

递增区间为? (

)

0, ? A.? ? ? 6 ?

? 5? ? ? ?

0, ? B.? ? ? 3 ? ? ? , ? D.? ? ? ? 3 ? 2?

? 2? ?

C.? ? ,? ?

? 5? ? 6

(3)(2017太原模拟试题)已知函数f(x)=sin ωx-? 3 cos ωx(ω>0)在(0,π)上有 且只有两个零点,则实数ω的取值范围为? (
? 4? A.? ? 0, ? ? 3? ? 4 7? B.? ? , ? ? 3 3? 10 13 ? D. ? ? , ? ? 3 3?

)

? 7 10 ? C.? ? ,

? ?3 3 ?

?

答案 (1)D (2)C (3)B

解析 (1)f(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f? ? ? =cos? ? ? ? ? =cos 3π 3 3? ? ? ?3
=-1,为f(x)的最小值,故B正确;∵f(x+π)=cos? ? x ? ? ,∴f ? x ? ? ? ? =-cos? 3 3
?
?

? 8? ?

?8

??

? ?

??

? ?

??

? =0,故C正确;由于f ? ? ? ? ? =-cos? ? 2? ? ? =cos π ?? ? =-cos? ? 2? ? =cos? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?6 ?
?6 3?

2

? 3 ?

? 3

3?

? ? =-1,为f(x)的最小值,故f(x)在? , ? ? ? 上不单调,故D错误. ?2 ?

?

1 1 ? ? 1 2 (2)f(x)=?3 cos2? -? sin x-?=?? sin x=?cos x-? sin x=cos ? 2cos ? 1? -? 2 ? 2 2 2 2 2 ? 2 2
x

3

3

x

3

? ? ,由2kπ-π≤x+? ? ≤2kπ(k∈Z),得2kπ-? ? (k∈Z),又x∈ 7? ≤x≤2kπ-? ? ? x ? ? ?
6 6 ? 5? ? ,故选C. [0,π],所以当k=1时,f(x)的单调递增区间为? ,? ? ? ? 6 ?
? 6?

6

(3)易得f(x)=2sin? ,因为0<x<π,所以-? <t<ωπ-? ,因为函 ? ωx ? ? ,设t=ωx-? 3 3 3 3
?

? ?

??

?

?

?

数f(x)在(0,π)上有且仅有两个零点,所以π<ωπ-? ≤2π,解得? <ω≤? ,故选B.
3

?

4 3

7 3

方法归纳 三角函数的单调性及周期性的求法

(1)三角函数单调性的求法:
求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0)的单 调性的一般思路是令ωx+φ=z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数 的单调性求解. (2)三角函数周期性的求法:
2? 函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=? .应特别注意y= |ω|

|Asin(ωx+φ)|的周期T=? .

? |ω|

跟踪集训
1.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos? ? ? x ? 的最大值为? ( A.4 ) B.5 C.6 D.7
?? ?2 ? ? ?? ?2 ? ?

2 答案 B f(x)=cos 2x+6cos? ? ? x ? =cos 2x+6sin x=1-2sin x+6sin x=-2

?

11 , 3 ? +? ? sin x ? ? ? 2? 2 ?

2

又sin x∈[-1,1],∴当sin x=1时,f(x)取得最大值5.

2.(2017石家庄教学质量检测(二))已知函数f(x)=sin? ? 2x ?

? ?

? , f '(x)是f(x) 12 ?

? ?

的导函数,则函数y=2f(x)+f '(x)的一个单调递减区间是? (
? ? 7? ? ?12 12 ? ? ? 2? ? C. ? ? , ? ? 3 3 ? ?

)

A.? ? ,

? B.? ?? ,

?

5? ? ? ? 12 12 ? ? ? ? 5? ? D.? ? , ? ? ? 6 6 ?
? ? ? ,所以y=2f(x)+f '(x)=2sin 12 ? ?

答案 A 由题意,得f '(x)=2cos? ? 2x ?

? ?

? ? =2? sin? ? ? .由2kπ+? ? ? 2 x ? 2 ? ? ? 12 ? 12 ? 12 4 ? 3? 2 ? ? ? ? 3? ? ? 7? ≤2x+? ≤2kπ+?(k∈Z),得kπ+? ≤x≤kπ+?(k∈Z),所以函数y=2f(x)+f 2 3 12 12 ? ? 7? ?
? ? +2cos? ? ? =2? sin? ? ? ? ? ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? 2 ? ? ? ? ?

'(x)的一个单调递减区间为? ? ,

,故选A. ? ?12 12 ?

3.(2017合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的 最小正周期为π. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
? ?? ? 2?

(2)讨论函数f(x)在? ? 0, ? 上的单调性.
ωx ? ? ,且T=π,∴ω=2,于是f(x)= 解析 (1)∵f(x)=sin ωx-cos ωx=?2 sin? ? 4 ?
?2 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? ?

??
?

=kπ+? (k∈Z),得x=?+?(k∈Z), ? .令2x-? 4
4 2

?

?

即函数f(x)图象的对称轴方程为x=?+?(k∈Z). (2)令2kπ-? ≤2x-? ≤2kπ+? (k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为
2 4 2

?

?

?

k? 2

3? 8

k? 2

3? 8

? 3? ? ? ?? ? ?? ? 0, 0, ? 上的 k ? ? , k ? ? ? (k∈Z).注意到x∈? ? , 所以令 k =0, 得函数 f ( x ) 在 ? ? ? ? ? 8 8 ? ? 2? ? 2? ? ? 3? ? ? ? 3? ? , ? 0, 单调递增区间为? ? ; 同理,其单调递减区间为? . ? ? 8 2? ? ? 8 ?

随堂检测
1.若sin? ,且α∈? ? ? α ? =-? ? , ? ? ,则sin(π-2α)=? ( A.?
24 25
?? ?2 ? 3 ?? ? 5 ?2 12 12 B.? C.-? 25 25

? ?

)

D.-?

24 25

3 4 ?? ? ?? ? 答案 D 由sin ? ? α ? =cos α=-? ,且α∈ ? , ? ? ,得sin α=? ,所以sin(π-2α) 5 5 ?2 ? ?2 ? 24 =sin 2α=2sin αcos α=-?,故选D. 25

?

?

2.(2017福建普通高中质量检测)若将函数y=3cos? ? 2 x ? ? 的图象向右平 2
?

? ?

??

移? 个单位长度,则平移后图象的一个对称中心是? (
6

?

)

A.? ? ,0?
? ? C.? , 0 ? ? ? 12 ?

?? ?6

? ?

? ? B.? ? ,0 ? ? 6

?

?

? ? ? ? ? D.? ? ? ,0 ? ? 12 ?
? ?

答案 A 将函数y=3cos? 个单位长度,得y=3 ? 2 x ? ? 的图象向右平移? 2 6
?

??

?

cos? =kπ+? (k∈Z),得x=? + ? 2 x ? ? 的图象,由2x+? ? 2 ? x ? 6 ? ? 2 ? =3cos? 6 6 2 2 ? ? ? ? ? ?
? (k∈Z),当k=0时,x=? ? ,所以平移后图象的一个对称中心是? ? ? ? ,故 ? ? ,0?
6 6
?6 ?

? ?

?? ??

?

??

?

?

k?

选A.

3.(2017陕西高三教学质量检测试题(一))已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
? ?? ? ω ? 0, ? ? φ ? ? ? ? 的图象上的一个最高点与相邻的一个最低点的距离 2 2
? ?

1? ? 2, ? 为2?2 ,且过点? ? ? ,则函数f(x)= ? 2?

.

答案 sin? ? x? ? 6? ?2
?? ? 2 ? 解析 依题意得 ? ? =2?2 , ?ω? ? ? 则? =2,即ω=? , 2 ω 1 1? ?? ? ? ? ? φ x ? φ 2, ? 所以f(x)=sin? , 由于该函数图象过点 ? , 因此 sin ? =? ,即 ? ? ? ? ? ? 2? 2 ?2 ? ? ? ? ? 1 ?? ?? sin φ=? ,而-? ≤φ≤? ,故φ=? ,所以f(x)=sin? ? x ? ?. 2 2 6 6? 2 ?2

??

??

?
2

2

4.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2?3 sin xcos x(x∈R). (1)求f ? ? ? 的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解析 (1)由sin? =?,cos? =-? ,
2 3 ? 1? ? 2? ? ? 2? ? ? 3 ? ? 1 ? ? f? =2. ? - ? ? ? -2?3 ×? ×? ? ? ? ? =? ? ? ,得f? ? 3 ? 2 ? 2? ? 3 ? ? 2 ? ? 2?

? 2? ? ? 3 ?

2? 3

3 2

2? 3

1 2

? ?

2

(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-?3 sin 2x=-2sin? ? 2 x ? ? .所以f(x)的最小正周期是π. 6
? ?

??
?

由正弦函数的性质得? +2kπ≤2x+? ≤?+2kπ,k∈Z,
2? 解得? 6 +kπ≤x≤? 3 +kπ,k∈Z. 2? ?? ? ? k ? , ? k ? 所以, f(x)的单调递增区间是? (k∈Z). ? ? 3 ?6 ?

?

?

?

2

6

3? 2


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