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【解析】陕西省长安一中高新一中交大一中师大附中2013届高三五校第一次模拟考试数学(理)试题 2_图文

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学 高 2013 届第一次模拟考试

数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题
共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合 M={x|一 3<x<3,x∈Z) ,N={x|x<1},则 M ? N= A.{ x | ?3 ? x ? 1} C.{-3,-2,-1,0,1) 【答案】D 【解析】因为集合 M={x|一 3<x<3,x∈Z}={-2,-1,0,1,2,},N={x|x<1},所以 M ? N={-2,一 1,0}。 2.已知直线 a 和平面 ? ,那么 a// ? 的一个充分条件是 A.存在一条直线 b,a//b 且 b ? ? B.存在一条直线 b,a ? b 且 b ? ? C.存在一个平面 ? ,a ? ? ∥且 ? // ? D.存在一个平面 ? , ? // ? 且 ? // ? 【答案】C 【解析】A.存在一条直线 b,a//b 且 b ? ? ,错误,a 可能在平面 α 内; B.存在一条直线 b,a ? b 且 b ? ? ,错误,a 可能在平面 α 内; C.存在一个平面 ? ,a ? ? ,且 ? // ? ,正确,此为面面垂直的性质定理; D.存在一个平面 ? , ? // ? 且 ? // ? ,错误。 3.如果数列 a1 , A.32 【答案】A 【 解 析 】 因 为 数 列 a1 , B. {x | 0 ? x ? 2} D.{-2,一 1,0}

a a2 a3 , ,? , n , ?是首项为 1,公比为 ? 2 的等比数列,则 a5 等于 a1 a2 an ?1
B.64 C.—32 D.—64

a a2 a3 , ,? , n , ? 是 首 项 为 1 , 公 比 为 ? 2 的 等 比 数 列 , 所 以 a1 a2 an ?1

a1 ? 1,

a a a2 a ? 2, 3 ? 2, 4 ? 2 2, 5 ? 4 ,以上几式相乘得: a5 ? 32 。 a1 a2 a3 a4

4.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点作直线交抛物线于 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 两点,若

1

x1 ? x2 ? 2,| PQ |? 4 ,则抛物线方程是
A. y 2 ? 4 x 【答案】A 【解析】由抛物线的定义知: | PQ |? x1 ? x2 ? p ? 4, 又x1 ? x2 ? 2, 所以p ? 2 ,所以抛物线的方程是 B. y 2 ? 8 x C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 6 x

y 2 ? 4 x 。因此选 A。
5. ( x 2 ? ) n 展开式中,常数项为 15,则 n 的值可以为 A.3 【答案】D
r 【解析】 Cn x2

1 x

B.4

C.5

D.6

? ?

n?r

3r r r ? 1? r r 2 n ?3 r ? 15 ,经计算可知:n ,由2n ? 3r ? 0得:n ? , ? ?1? Cn ? ? ? ? ? ?1? Cn x 2 ? x?

r

的值可以为 6. 6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A. 2 ?

2? 6

B. 2(1 ? D. 2 ?

2) ? 6

C.

2 3

3 2 ? 6 2

【答案】B 【解析】由三视图知:该几何体为三棱柱,三棱柱的底面为直角三角形,两直角边分别为 1 和 2 ,斜边 长 为

3











2

























1 S ? ?1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 6 ,因此选 B。 2
7.给出 15 个数:1,2,4,7,1 1,?,要计算这 15 个数的和,现给出解决该问题的程序框图(如右图 所示) ,那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入 A. i ? 16?; p ? p ? i ? 1 B. i ? 14?; p ? p ? i ? 1

2

C. i ? 15?; p ? p ? i ? 1 【答案】D

D. i ? 15?; p ? p ? i

【解析】由程序框图知:s 为累加变量,i 为计数变量,因此①处应填 i ? 15? 。这 15 个数的规律为:从第 二个数开始,后一个数和前一个数分别相差 1,2,3,4,5,??,因此②处应 p ? p ? i 。

? ? ?? x ? 1(?1 ? x ? 0) ?| x |? ? 8.已知实数 x,y 满足 ? 2 , 则点( x, y )在函数f ( x) ? ? ? 的图象与坐标轴所围成的 cos x(0 ? x ? ) ? ? ?| y |? 1 ? 2
封闭图形的内部的概率为 A.

3 2?

B.

1 4?

C.

3 4?

D.

1 2?

【答案】C

? ? ?? x ? 1(?1 ? x ? 0) ?| x |? ? 【解析】约束条件 ? 2 的可行域为长方形,其的面积为 S ? 2? ,函数 f ( x) ? ? ? 的 cos x(0 ? x ? ) ? ? ?| y |? 1 ? 2
? ? 1 1 3 2 ? 图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为 s1 ? ? 1? 1 ? ? 2 cos xdx ? ? sin x 0 , 所以其概率为: 0 2 2 2

3 s1 3 ,因此选 C。 P? ? 2 ? S 2? 4?
9.台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区为危险区。城 市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为 A.0.5 小时 B.I 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 【答案】B 【解析】如图,以 A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则 B(40,0) ,台风中心移动的轨迹为射线 y=x (x≥0) ,而点 B 到射线 y=x 的距离 d ?

40 ? 20 2 ? 30 , 2

故 l ? 2 30 ? 20 2
2

?

?

2

? 20 ,故 B 城市处于危险区内的时间为 1 小时,故选 B.

10.对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“ ”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数时,m n=m+n; 当 m,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m n=mn 。 则 在 此 定 义 下 , 集 合

M ? {(a, b) | a
A.10 个 【答案】B

b ? 12, a ? N * , b ? N * } 中的元素个数是
B.15 个 C.16 个
3

D.18 个

【解析】当 a,b 都为正偶数时: a ? 2, b ? 10或a ? 4, b ? 8或a ? 6, b ? 6或a ? 8, b ? 4或a=10,b=2 ,共 有 5 种情况; 当 a,b 都为正奇数时: a ? 1, b ? 11或a ? 3, b ? 9或a ? 5, b ? 7或a ? 7, b ? 5或a=9,b=3或a=11,b=1 , 共 6 种情况; 当 a,b 中一个为正偶数,另一个为正奇数时: a ? 1, b ? 12或a ? 3, b ? 4或a ? 4, b ? 3或a ? 12, b ? 1 ,共 4 中种情况,所以在此定义下,集合 M ? {(a, b) | a 5+6+4=15 种。因此选 B。

b ? 12, a ? N * , b ? N * } 中的元素个数是

第Ⅱ卷

(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.设 F1、F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9,则点 P 16 20


到焦点 F2 的距离等于 【答案】1 或 17

【解析】由双曲线的定义知: PF1 ? PF2 ? 2a ? 8, 又 PF1 =9,所以 PF2 =1或17 ,即点 P 到焦点 F2 的 距离等于 1 或 17。 12.已知向量 a ? ( x ? 1, 2), b ? (4, y ), 若a ? b, 则9 ? 3 的最小值为
x y

?

?

?

?



【答案】6 【 解 析 】 因 为

? ? a ? b, 所以4 ( x ? 1) + 2y ? 0, 即 2 x + y? 2



所以9 x ? 3 y ? 32 x ? 3 y ? 2 32 x ? 3 y ? 2 32 x ? y ? 6 。所以 9 x ? 3 y 的最小值为 6。
13.若函数 f ( x) ? x 3 ? 6bx ? 3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是 【答案】 ? 0, 。

? ?

1? ? 2?

【解析】 因为函数 f ( x) ? x 3 ? 6bx ? 3b 在 (0, 1) 内有极小值, 所以 f ' ( x) ? 3 x 2 ? 6b ? 3 x 2 ? 2b 在 (0, 1)内有根,且是 f ' ( x) ? 3 x 2 ? 6b ? 3 x 2 ? 2b ? 0 的两根中较大的那个,所以 0 ? 数 b 的取值范围是 ? 0,

?

?

?

?

2b ? 1 ,解得实

? ?

1? ?。 2?

14.以下有四种说法:①若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则 p 与 q 必为一真一假; ②若数列 {an }的前n项和为S n ? n 2 ? n ? 1, n ? N * , 则an ? 2n, n ? N * ; ③ 若 实 数 t 满 足 f (t ) ? ?t , 则称t是函数f ( x) 的 一 个 次 不 动 点 , 设 函 数 f ( x) ? ln x 与 函 数
4

g ( x) ? e x (其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m,则 m=0
④若定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1), 则 6 是函数 f ( x) 的周期。 以上四种说法,其中正确说法的序号为 【答案】①③④ 【解析】①若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则 p 与 q 必为一真一假,正确; ②若数列 {an }的前n项和为S n ? n 2 ? n ? 1, n ? N * , 则an ? 2n, n ? N * ,错误。 an ? ? 。

?3, n ? 1 ; ?2n, n ? 2

③ 若 实 数 t 满 足 f (t ) ? ?t , 则称t是函数f ( x) 的 一 个 次 不 动 点 , 设 函 数 f ( x) ? ln x 与 函 数

g ( x) ? e x (其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m,则 m=0,正确。由函数的性质知:
方程 ln x ? ? x 和方程 e x ? ? x 的两个互为相反数,所以此命题正确; ④若定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1), 则 6 是函数 f ( x) 的周期,正确。因为

f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) ,所以 f ? x ? 6 ? ? ? f ( x ? 3) ? ? ? ? f ( x) ? ? f ( x) ,所以周期为 6.
15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题评分) A. (不等式选讲)已知函数 f ( x) ? log 2 (| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 | ? m) .若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集 是 R,则 m 的取值范围是 【答案】 m ? ? 【 解

1 2
析 】 由

f ( x) ? log x ? 1? | x | ? 2? |m ? ) 1 2 (| 2





| 2x ? 1 |? |x ? 2 |?m ? 2, 即 |x 2 ? 1? | x| ? 2 ?| 2 m + , 因 为 f ( x) ? 1 的 解 集 是 R , 所 以 只 需
又因为 ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | ?min ? ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |?min ? 2+m ,

3 3 1 , 所以只需 ? 2+m , 解得 m ? ? 。 2 2 2

B. (坐标系与参数方程)己知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? , 则圆心 C 的一个极坐标 为 【答案】 ? 2, 。

? ?

??
? 3?

【解析】把极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? 转化为直角坐标方程为: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 3 y ? 0 ,所 以圆心为 1, 3 ,所以圆心 C 的一个极坐标为 ? 2,

?

?

? ?

??

?。 3?

C. (几何证明选讲)如图,半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90°, D 为 OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,则线段 DE 的 长为 。
5

【答案】

3 5 5

【 解 析 】 连 接 OE , AB , 因 为 半 径 为 2 , ∠ AOB=90 ° , 所 以 AD ? 5, BD ? 1, AB ? 2 2 , 所 以

cos ?DAB ?

AD 2 ? AB 2 ? BD 2 5 ? 8 ?1 3 10 ? ? 2 ? AD ? AB 10 2? 5 ? 2 2
4 5
, 在 ?EOD







cos ?EOB ? cos 2?DAB ? 2 cos 2 ?DAB ? 1 ?
DE 2 ? OD 2 ? OE 2 ? 2 ? OD ? OE ? cos ?EOB ?

中 , 由 余 弦 定 理 得 :

3 5 9 ,所以 DE= . 5 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分)已知平面上三点 A(2,0) ,B(0,2) ,C(cos ? ,sin ? ) (I)若( OA ? OC )2=7(O 为坐标原点) ,求向量 OB 与 OC 夹角 ? 的大小; (Ⅱ)若 AC ? BC ,求 sin2 ? 的值.

??? ? ????

??? ?

????

????

??? ?

17. (本大题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、为棱 DD1 上任意一点,下为对角线 DB 的中点。 (I)求证:平面 CFB1⊥平面 EFB1; (II)若三棱锥 B—EFC 的体积为 1,且

D1 E 3 ? , D1 D 4

①求此正方体的棱长; ②求异面直线 EF 与 B1C 所成角的余弦值。

18. (本小题满分 12 分) 数列 {bn } (n∈N*)是递增的等比数列,且 b1 ? b3 ? 5, b1b3 ? 4. 数列{ an }满足 an ? log 2 bn ? 3. (I)求数列 {bn },{an } 的通项公式: ( II ) 设 数 列 {an }的前n项和为S n , 是 否 存 在 正 整 数 n , 使 得 数 列 {

4 S n ? 11n } 前 n 项和为 n

Tn 满足Tn ? (n ? 1) 2 ? 4025 ?若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由。
6

19. (本小题满分 12 分) 西安市某省级示范高中为了了解学校食堂的服务质量情况,对在校就餐的 1400 名学生按 5%比例进行 问卷调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级:1 级(很不满意) ;2 级(不满意) ;3 级(一般) ;4 级(满意) ;5 级(很满意) ,其统计结果如下表所示(服务满意度为 x, 价格满意度为 y) 。

(I)作出“价格满意度”的频率分布直方图; (II)为改进食堂服务质量,现从满足“ x ? 5且y ? 3 ”的人中随机选取 2 人参加座谈会,记其中满 足“ x ? 3且y ? 1 ”的人数为 X,求 X 的分布列与数学期望。

20. (本小题满分 13 分)设椭圆 D:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A,在 a 2 b2

x 轴负半轴上有一点 B,满足 BF1 ? F1 F2 , 且 AB⊥AF2. (I)若过 A、B、F2 三点的圆 C 恰好与直线 l: x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求圆 C 方程及椭圆 D 的方程; (II)若过点 T(3,0)的直线与椭圆 D 相交于两点 M、N,设 P 为椭圆上一点,且满足

????

?????

???? ? ???? ??? ? OM ? ON ? tOP (O 为坐标原点) ,求实数 t 取值范围.

7

21. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 . ( x ? 1) ln( x ? 1)

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)是否存在实数 m,使不等式

1 ln 2 ? m ln( x ? 1)在 ? 1 ? x ? 0 时恒成立?若存在,求出实数 m x ?1

的取值范围;若不存在,请说明理由。 (III)已知正整数列 {cn }中, (Cn )
( n ?1)2

?e

1 f (n)

(n ? N * ), 求数列{cn } 中的最大项。

8

9

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