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2.3直线、平面垂直的判定及其性质


2.3 直线与平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、教学目标 1、知识与技能 (1)掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; (2)掌握判定直线和平面垂直的方法; 2、过程与方法 (1)通过实例,使学生感知直线和平面垂直的概念,操作确认的基础上学会归纳、 概括结论. (2)经历判定直线与平面垂直的判定过程. 3、情感、态度与价值观 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知. 二、教学重点、难点 重点:直线与平面垂直的定义和判定定理的应用. 难点:直线与平面垂直的定义和判定定理的探究. 三、教学设计 (一)创设情景,导入新课 思考 1:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例如: “旗杆与地 面,大桥的桥柱和水面等的位置关系” ,你能举出一些类似的例子吗?然后让学生回忆、思 考、讨论、教师对学生的活动给予评价. 思考 2:将一本书打开直立在桌面上, 观察书脊(想象成一条直线)与桌面的位置关 系呈什么状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何? 思考 3: 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在地面上的射影 的位置关系引出课题内容. (二)师生互动,探究新知 1、借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系.教师引导学生用“平面化”的思 想来思考问题:从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发,能否用一条直 线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢?并组织学生交流讨论, 概括 其定义. 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面α 互相垂直, 记

作 L⊥α , 直线 L 叫做平面α 的垂线, 平面α 叫做直线 L 的垂面.如图 1, 直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 P 叫做垂足.并对画示表示进行说明. L

p α 图1 2、老师提出问题,让学生思考: (1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施.有没 有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)师生活动:请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图 2 试验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片, 得到折痕 AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 (BD、 与桌面接触) DC , 问如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直? A

B

D 图2

C

(3)归纳结论:引导学生根据直观感知及已有经验(两条相交直线确定一个平面) ,进 行合情推理,获得判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 特别强调: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想. 3. 直线与平面所成的角 思考: 前面讨论了直线与平面垂直的问题, 1) 那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢? 2)在空间中如何度量一条斜线与一平面所成的角? 3)空间中任意一直线与一平面所成的角的取值范围是什么? 答:斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角. (三)概念辨析,巩固提高

(1)课本 P65 例 1 教学 (2)课本 P66 例 2 教学 探究:1 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平 面垂直? 探究 2: 两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何?反之成立吗?一条直 线与两个平行平面所成的角的大小关系如何? (四)小结 ① 请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程. ② 直线与平面垂直的判定定理,体现的教学思想方法是什么? ③ 直线与平面所成的角 (五)作业 P67 练习 1,2,3 补充:已知 AB 为平面 ? 的一条斜线,B 为斜足,AO⊥平面 ?,垂足为 O,直线 BC 在 平面 ? 内,已知∠ABC=60°,?OBC=45°,求斜线 AB 和平面α 所成的角.

2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、教学目标 1、知识与技能 (1)理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直” 、 、 的概念; (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; 2、过程与方法 (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程; (2)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理. 3、情感、态度与价值观 通过揭示概念的形成、发展和应用过程,使学生理会教学存在于观实生活周围,从中 激发学生积极思维,培养学生的观察、分析、解决问题能力. 二、教学重点、难点。 重点:平面与平面垂直的判定;

难点:如何度量二面角的大小. 三、教学方法与教学用具。 1、教学方法:实物观察,类比归纳,语言表达,讲练结合. 2、教学用具:二面角模型(两块硬纸板) ,多媒体投影. 四、教学设计 (一)创设情景,导入新课 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”又是怎样定义 、 的?它们有什么共同的特征? 以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许多 问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?如修水坝、 发射人造卫星等,而这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们共同来观察,研探. (二)师生互动,探究新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并对以 上问题类比,归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示)

角 A 边 图形 顶点 O 边 B B α 从平面内一点出发的两条射线(半 定义 直线)所组成的图形 构成 表示 2、二面角的度量 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB 成的图形 A 梭 l

二面角

β

从空间一直线出发的两个半平面所组

半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些” ,是指二 面角大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验(预先

准备好的二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如图 3) , 通过实验操作,研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L” ,OB⊥L; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关; (3)当二面角的平面角是直角时,这两个平面的位置关系怎样? 承上启下,引导学生观察,类比、自主探究, 获得两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (三)概念辨析,巩固提高 例题:课本 P.72 例 3 图-3 C O A α β B

做法:教师引导学生分析题意,先让学生自己动手推理证明,然后抽检学生掌握情况, 教师最后讲评并板书证明过程。 问题:课本 P.73 的探究问题 做法:学生思考(或分组讨论) ,老师与学生对话完成. (四)小结 (1)二面角以及平面角的有关概念; (2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系? (五)作业 P73 习题 2.3 A,1,2,3,4.

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、教学目标 1、知识与技能 (1)掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系. 2、过程与方法

(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识; (2)经历面面垂直到线面垂直再到线线垂直的思维过程. 3、情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,形成空间思维意识,会用图形和符号表达空间 图形,体验数学的应用价值. 二、教学重点、难点 重点:线面垂直和面面垂直的性质定理的证明及应用. 难点:线面垂直和面面垂直的两个性质定理的应用. 三、教学方法与教学用具 (1)教学方法:直观感知、操作确认,猜想与证明. (2)教学用具:长方体模型,多媒体投影 四、教学设计 (一)创设情景,导入新课 1.复习: 直线与平面垂直的定义是什么?直线与平面垂直的判定定理是什么? 2.设问:若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂 直呢? (二)师生互动,探究新知 1、思考引出线面垂直的性质定理 思考 1:观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.在长方体 ABCD—A B C D 中,棱 AA 、BB 、CC 、DD 所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间是有什么位置关系? 思考 2:已知直线 a⊥α 、b⊥α 、那么直线 a、b 一定平行吗?(一定)我们能否证明 这一事实的正确性呢? 2、推理证明 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
1 1 1 1 1 1 1 1

引导学生分析性质定理成立的条件,介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法, 然后师生互动共同完成该推理过程 ,最后归纳得出: 3. 类比上面定理得到面面垂直的性质定理 思考:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如:如何在黑板面 上画一条与地面垂直的直线?

引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要在黑板 上画出一条与这交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直。然后师生互动,共同完成性质 定理的确认与证明,并归纳性质定理: 定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (三)概念辨析,巩固提高 思考 1、设平面α ⊥平面β ,点 P 在平面α 内,过点 P 作平面β 的垂线 a,直线 a 与平 面α 具有什么位置关系? (答:直线 a 必在平面α 内) 思考 2、已知平面α 、β 和直线 a,若α ⊥β ,a⊥β ,a?α ,则直线 a 与平面α 具有什么 位置关系? 例子:课本 P.72 例 4 补充例子 1)求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直; 2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直. (四)小结 小结: (1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? (2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系? (五)作业: P73 习题 2.3A 组:5,6,7,8,9 P74 习题 2.3B 组:1,23,4 补充问题:对于三个平面 ?、?、?,如果 ???,???,β ??,???= l ,那么直线 l 与 平面 ? 的位置关系如何?为什么?


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