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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练2(含解析)新人教A版必修4


双基限时练(二)
1.终边在 y 轴的非负半轴上的角的集合是( A.{α |α =kπ ,k∈Z}
? ? ? π B.?α ?α =kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

)

C.{α |α =2kπ ,k∈Z}
? ? π ? D.?α ?α =2kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

解析 A 选项表示的角的终边在 x 轴上;B 选项表示的角的终边在 y 轴上;C 选项表示 的角的终边在 x 轴非负半轴上;D 选项表示的角的终边在 y 轴非负半轴上,故选 D. 答案 D 2 2.在半径为 5 cm 的圆中,圆心角为周角的 的角所对的圆弧长为( 3 A. C. 4π cm 3 10π cm 3 B. D. 20π cm 3 50π cm 3 )

2 4π 解析 记 r=5,圆心角 α = ×2π = , 3 3 20 ∴l=|α |r= π . 3 答案 B

3.将-1485°化成 α +2kπ (0≤α <2π ,k∈Z)的形式是( π A.- -8π 4 C. π -10π 4 7 B. π -8π 4 D. 7π -10π 4

)

解析 ∵-1485°=-5×360°+315°, 7 又 2π =360°,315°= π , 4 7 7π ∴-1485°=-5×2π + π = -10π . 4 4 答案 D

1

11 4.把- π 表示成 θ +2kπ (k∈Z)的形式,使|θ |最小的 θ 为( 4 3 A.- π 4 3 C. π 4 B. π 4

)

π D.- 4

11π 3π 3 解析 ∵- =-2π - ,∴θ =- π . 4 4 4 11π 5π 5π 又- =-4π + ,∴θ = . 4 4 4 3π ∴使|θ |最小的 θ =- . 4 答案 A 5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数的绝对值为 ( ) A. π 3 B. 2π 3

C. 3

D.2

解析 设所在圆的半径为 r,圆内接正三角形的边长为 2rsin60°= 3r,所以弧长 3

r 的圆心角的弧度数为
答案 C

3r

r

= 3.

6.用集合表示终边在阴影部分的角 α 的集合为(
? ? π ?π A.?α ? ≤α ≤ 3 ? ? ?4 ? ? ?π 5π B.?α ? ≤α ≤ 4 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

)

? ? ? π π C.?α ?2kπ + ≤α ≤2kπ + ,k∈Z 4 3 ? ? ? ? ? π 5π ? D.?α ?2kπ + ≤α ≤2kπ + ,k∈Z 4 3 ? ? ?

2

解析 由图可知在[0,2π )内角的终边落在阴影部分时 ∴满足条件的集合为
? ? ?α ? ?

π 5π ≤α ≤ , 4 3

?2kπ +π ≤α ≤2kπ +5π ,k∈Z ? 4 3 ?

? ? ?. ? ?

答案 D 1 7.圆的半径变为原来的 ,而弧长不变,则该弧所对的圆心角变为原来的________倍. 2

l 1 解析 由公式 θ = 知,半径 r 变为原来的 ,而弧长不变,则该弧所对的圆心角变为 r 2
原来的 2 倍. 答案 2 8.将下列弧度转化为角度: π (1) =________; 12 7π (2)- =________; 8 13π (3) =________; 6 5 (4)- π =________. 12 答案 (1)15° (2)-157°30′ (3)390° (4)-75°
3

9.将下列角度化为弧度: (1)36°=________rad; (2)-105°=________rad; (3)37°30′=________rad; (4)-75°=________rad. π 解析 利用 1°= rad 计算. 180 π 答案 (1) 5 7π (2)- 12 5π (3) 24 5π (4)- 12 10.在直径为 20 cm 的圆中,圆心角为 150°时所对的弧长为________. π 5π 解析 150°=150× = , 180 6 5π 25π ∴l= ×10= (cm). 6 3 答案 25π cm 3

11.如图所示,分别写出适合下列条件的角的集合: (1)终边落在射线 OM 上; (2)终边落在直线 OM 上;

4

(3)终边落在阴影区域内(含边界).

11. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 012°是不是这个集 合的元素. 解 5π ∵150°= . 6

5π 3π ∴终边在阴影区域内角的集合为 S={β | +2kπ ≤β ≤ +2kπ ,k∈Z}. 6 2

∵2012°=212°+5×360°=? 又 5π 53π 3π < < . 6 45 2

?53π +10π ?rad, ? ? 45 ?

503π ∴2012°= ∈S. 45 12.

如图所示, 动点 P、 Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动, 点 P 按逆时针方向每秒钟转

π 弧度, 3

5

点 Q 按顺时针方向每秒钟转

π 弧度, 求 P、 Q 第一次相遇所用的时间及 P、 Q 各自走过的弧长. 6

解 设 P、Q 第一次相遇时所用的时间为 t 秒,则:

t· +t·?- ?=2π ,解得 t=4, 6
即第一次相遇时所用的时间为 4 秒.

π 3

? π? ? ?

P 点走过的弧长为: π ×4= π , Q 点走过的弧长为:8π -
16π 8π = . 3 3

4 3

16 3

13.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm ,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 2R+Rθ =8, ? ? 解 (1)设扇形的圆心角为 θ , 扇形所在圆的半径为 R, 依题意有?1 2 θ ·R =3, ? ?2 2 得 θ = 或 6. 3 2 即圆心角的大小为 弧度或 6 弧度. 3 8-2x (2)设扇形所在圆的半径为 x cm,则扇形的圆心角 θ = ,于是扇形的面积是
2



x

S= x2·

1 2

8-2x 2 2 =4x-x =-(x-2) +4.

x

故当 x=2 cm 时,S 取到最大值. 8-4 此时圆心角 θ = =2 弧度,弦长 AB=2 ·2sin 1 2 =4sin1 (cm). 即扇形的面积取得最大值时圆心角等于 2 弧度,弦长 AB 等于 4sin1 cm.

6


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