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2015-2016高中数学 2.2.3对数函数及其性质(一)练习 新人教A版必修1


2015-2016 高中数学 2.2.3 对数函数及其性质(一)练习 新人 教 A 版必修 1
基 础 梳 理 1.一般地,把__________________叫做对数函数,其中 x 是________,函数的定义域 是________,值域是________. 2.对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象与性质.

3.y=logax 与 y=a 互为________,图象关于____________对称. 4.两函数 y=logax 与 y=log1x(a>0,且 a≠1)图象之间有什么关系?

x

a
两函数的图象关于 x 轴对称. 例如:y=log2x 与 y=log1x 的图象关于 x 轴对称. 2 x 5.由 y=2 解出 x=log2y,再把 x 与 y 对调,即为 y=log2x,那么我们就说指数函数 y x x = 2 与对数函数 y= log2x 互为 ________ .函数 y= a 与 y= logax(a> 0,且 a≠1)互为 ________. 6.互为反函数的两个函数的图象关于直线______对称. x 例如:y=2 与 y=log2x 的图象关于直线______对称.在同一直角坐标系中,函数 y=

x ?1? x 2 与 y=log2x 以及函数 y=? ? 与 y=log1x 的图象如下图所示. ?2? 2

1

7.在闭区间[m,n](m>0)上,讨论函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)值域. ①若 a>1,则 f(x)=logax 的值域是________; ②若 0<a<1,则 f(x)=logax 的值域是________. 8. 函数 y=logaf(x)在定义域上的单调性由 y=logat 与 t=f(x)的单调性确定, 规律是 “________”. (1)当 0<a<1 时,y=logat 在定义域上是减函数. ①若 t=f(x)是定义域上的减函数,则 y=logaf(x)是定义域上的增函数; ②若 t=f(x)是定义域上的增函数,则 y=logaf(x)是定义域上的减函数. (2)当 a>1 时,y=logat 在定义域上是增函数. ①若 t=f(x)是定义域上的减函数,则 y=logaf(x)是定义域上的减函数; ②若 t=f(x)是定义域上的增函数,则 y=logaf(x)是定义域上的增函数. x x 例如:函数 y=log2(1+0.5 )是 R 上的________,而函数 y=log0.5(1+0.5 )是 R 上的 ________. x x (3)函数 y=log2(1+2 )是 R 上的________, 而函数 y=log0.5(1+2 )是 R 上的________. 基础梳理 1.函数 y=logax(a>0 且 a≠1) 自变量 (0,+∞) (-∞,+∞) 2.(1)(0,+∞) (2)R (3)(1,0) (4)①(0,+∞) 增 ②(0,+∞) 减 (5)①y>0 y<0 ②y<0 y>0 3.反函数 直线 y=x 对称 5.反函数 反函数 6.y=x y=x 7.①[logam,logan] ②[logan,logam] 8.同增异减 (2)减函数 增函数 (3)增函数 减函数 思 考 应 用 1.什么是对数函数?如何判断?对数函数的定义域是什么? 解析:形如 y=logax(a>0 且 a≠1)的函数叫对数函数,它是一种形式定义.根据指数 y 式与对数式的互化,a =x?y=logax,x 为指数幂,恒大于零,所以定义域为(0,+∞). 2.对数函数中,规定底数 a 大于零且不等于 1 的理由是什么? 解析:由于在指数式与对数式的互化中,底数 a 没有发生变化,因此底数 a 的取值与前 面指数函数中底数 a 的取值相同,具体请参考 2.1.3(一)节(思考应用)2. 3.对数函数的图象变化与底数大小的关系是什么? 解析:底数 a>1 时,a 越大,函数增长越慢,图象越靠近 x 轴(x>1 时),底数 0<a< 1 时,图象在 x 轴下方越靠近 x 轴.此性质可通过 y=1 时函数的自变量取值大小去理解 自 测 自 评 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( 2 A.y=2log2x 与 y=log2x lg x x B.y=10 与 y=lg 10 )

2

C.y=x 与 y=xlogxx x D.y=x 与 y=ln e 2.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( A.y=log1x 2 B.y=log2(x-1) 1 C.y=log2

)

x

D.y=log2|x| 3.函数 y=-log2(3-x)的定义域是______. 自测自评 1.解析:A,B,C 中两个函数的定义域均不同,所以不是相等函数,故选 D. 答案:D 2.D 3.(-∞,3)

?基础达标 1.函数 f(x)= 3x
2

+lg(3x+1)的定义域是( 1-x

)

? 1 ? ? 1 ? A.?- ,+∞? B.?- ,1? 3 ? ? ? 3 ? 1? ? 1 1? ? C.?- , ? D.?-∞,- ? 3? ? 3 3? ? ? 1 - x > 0 , ? 1 解析:由? 得- <x<1.故选 B. 3 ?3x+1>0, ? 答案:B ? ?log2x,x>0, ? ?1?? 2.已知函数 f(x)=? x 则 f?f? ??的值是( ? ?4?? ?3 ,x≤0, ?
1 A.9 B. 9 1 C.-9 D.- 9 1 1 1 ? ? ?? ? ? -2 2.解析:f?f? ??=f?log2 ?=f(-2)=3 = . 4? 9 ? ?4?? ? 答案:B 3.y=loga(3a-1)恒为正值,则 a 的取值范围为( 1 A.a> 3 1 2 B. <a≤ 3 3 C.a>1 1 2 D. <a< 或 a>1 3 3 3.解析:∵y=loga(3a-1)恒为正值, )

)

3

? ? ?0<a<1, ?a>1, 1 2 ∴? 或? ,解得 <a< 或 a>1.故选 D. 3 3 ? ? ?0<3a-1<1 ?3a-1>1 答案:D

4.已知 log0.45(x+2)>log0.45(1-x),则实数 x 的取值范围是__________. 1 4.解析:由 log0.45(x+2)>log0.45(1-x),得 0<x+2<1-x,解得-2<x<- . 2 1 ? ? 答案:?-2,- ? 2? ? 5.已知下列不等式,比较正数 m,n 的大小: (1)若 log3m<log3n,则 m____n; (2)若 log0.3m>log 0.3n,则 m____n. 5.(1)< (2)< 6.比较下列各小题中两个值的大小: (1)log20.3____0; (2)log0.75____0; (3)log34____0; (4)log0.60.5____0. 6.(1)< (2)< (3)> (4)> ?巩固提高 x 7.设函数 f(x)=a ,g(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(3)g(3)<0,则 f(x)与 g(x)在同 一坐标系内的图象可能是( )

7.解析:由 f(3)g(3)<0,故可排除 B、D, 又∵f(x)与 g(x)单调性必相同,故选 C. 答案:C 8.(1)若 logab>0,则 a,b 的取值范围是________或____________; (2)若 logab<0,则 a,b 的取值范围是__________________或____________________. 8.(1)a,b∈(0,1) a,b∈(1,+∞) (2)a∈(0,1),b∈(1,+∞) b∈(0,1),a∈(1,+∞) 9.求下列函数的定义域: lg(4-x) (1)f(x)= ; x- 3 (2)y= log2(3-4x); x (3)y=log(x-1)(16-4 ). ? ?4-x>0, 9.解析:(1)由? 得 x<4 且 x≠3, ?x-3≠0 ? ∴所求定义域为(-∞,3)∪(3,4).

4

? ? ?3-4x>0, ?3-4x>0, (2)由? 得? ? ?log2(3-4x)≥0 ? ?3-4x≥1. 1? 1 ? ∴x≤ ,∴所求定义域为?-∞, ?. 2? 2 ? x ?16-4 >0, ?x<2,

(3)根据题意,得?x-1>0, 解得?x>1,

?

?

? ?x-1≠1,

? ?x≠2.
- 1

∴函数的定义域为{x|1<x<2}.

?1? 2 10.比较 log0.60.8,log3.40.7 和? ? 的大小. ?3? ?1? 2 10.解析:∵0<log0.60.8<1,log3.40.7<0,? ? >1, ?3? ?1? 2 ∴log3.40.7<log0.60.8<? ? . ?3?
- 1 - 1

1.当底数没有确定又涉及函数的单调性问题时,要对对数函数的底数分 0<a<1 或 a>1 进行讨论. 2.体会研究具体函数及其性质的过程与方法(如数形结合、由具体到一般等).

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