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2016




平行线等分线段定理

1.掌握平行线等分线段定理及其两个推论.(重点) 2.能运用平行线等分线段定理及其两个推论进行简单的证明或计算.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 平行线等分线段定理 阅读教材 P2~P3 定理以上部分,完成下列问题. 1.文字语言 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 2.图形语言 如图 1?1?1,l1∥l2∥l3,l 分别交 l1,l2,l3 于 A,B,C,l′分别交 l1,l2,l3 于 A1,

B1,C1,若 AB=BC,则 A1B1=B1C1.

图 1?1?1 教材整理 2 平行线等分线段 定理的推论 阅读教材 P4~P5“习题”以上部分,完成下列问题. 1.推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 2.推论 2 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.

1

在梯形 ABCD 中, M,N 分别是腰 AB 与腰 CD 的中点,且 AD=2,BC=4,则 MN 等于(

)

【导学号:07370000】 A.2.5 C.3.5 【解析】 由梯形中位线定理知选 【答案】 B [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: B.3 D.不确定 B.

[小组合作型] 平行线等分线段定理推论 1 的应用 如图 1?1?2,在△ABC 中,AD,BF 为中线,AD,BF 交于 G,CE∥FB 交 AD 的延 长线于 E.求证:AG=2DE.

图 1?1?2 【精彩点拨】

AF=FC,?GF∥EC → AG=GE →

△BDG≌△CDE → AG=2DE 【自主解答】 在△AEC 中, ∵AF=FC,GF∥EC, ∴AG=GE. ∵CE∥FB,
2

∴∠GBD=∠ECD,∠BGD=∠E. 又 BD=DC, ∴△BDG≌△CDE. 故 DG=DE,即 GE=2DE, 因此 AG=2DE.

1.如果已知条件中出现中点,往往运用三角形的中位线定理来解决问题. 2.本例在证明 DG=DE 时也可以过 D 作 EC 的平行线 DH. 因为 BG∥DH∥CE 且 BD=CD 得 DG=DE,使用平行线等分线段定理来证明.

[再练一题] 1.如图 1?1?3,已知 AD 是三角形 ABC 的中线,E 为 AD 的中点,BE 的延长线交 AC 于 F. 1 求证:AF= AC. 3

图 1?1?3 【证明】 过 D 作 DH∥BF,交 AC 于 H. ∵BD=CD,DH∥BF, ∴FH=CH. 同理 AF=FH. ∴AF=FH=CH, 1 ∴AF= AC. 3

平行线等分线段定理推论 2 的应用 如图 1?1?4 所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,DC⊥BC,∠B=60°,BC=AB,E 为
3

AB 的中点.求证:△ECD 为等边三角形.

图 1?1?4 【精彩点拨】 过 E 作 EF∥BC,先证明 EC=ED,再连接 AC,证明∠BCE=30°,从而 ∠ECD=60°. 【自主解答】 过 E 作 EF∥BC 交 DC 于 F,连接 AC,如图所示.

∵AD∥BC,E 为 AB 中点, ∴F 是 DC 中点. ① 又∵DC⊥BC,EF∥BC, ∴EF⊥DC. ② ∴由①②知,EF 是 DC 的垂直平分线, ∴△ECD 为等腰三角形. ③ ∵BC=AB,∠B=60°, ∴△ABC 是等边三角形. 又∵E 是 AB 中点, ∴CE 是∠ACB 的平分线, ∴∠BCE=30°,∴∠ECD=60°. ④ 由③④知,△ECD 为等边三角形.

1.解答本题的关键是通过证明△ABC 是等边三角形来证明∠BCE=30°. 2.有梯形且存在线段中点时,常过该点作平行线,构造平行线等分线段定理的推论 2 的基本图形,进而进行几何证明或计算.

[再练一题] 2.如图 1?1?5,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=2AD,E,F 分别是 AB,CD 的中点,EF 交 BD 于 G,交 AC 于 H.求证:EG=GH=HF.
4

【导学号:07370001】

图 1?1?5 【证明】 ∵E,F 分别是 AB,CD 的中点,AD∥BC. ∴EF∥AD,EF∥BC. ∴G,H 分别是 BD,AC 的中点. 1 1 ∴EG 綊 AD,FH 綊 AD,∴EG=FH. 2 2 1 ∵BC=2AD,EH= BC,∴EH=AD, 2 1 1 1 又 EG= AD,∴GH=EH-EG=AD- AD= AD, 2 2 2 ∴EG=GH,即 EG=GH=HF. [探究共研型] 平行线等分线段定理 探究 1 你还有其它证明定理的方法吗?

【提示】

证明:过 B2 作 CD∥A1A3,分别交 l1,l3 于 C,D,则可得到?A1A2B2C 和?A2A3DB2. ∴A1A2=CB2,A2A3=B2D. ∵A1A2=A2A3, ∴CB2=B2D. 又∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴△B1B2C≌△B3B2D, ∴B1B2=B2B3. 探究 2 平行线等分线段定理的逆命题成立吗? 【提示】 平行线等分线段定理的逆命题是: 如果一组直线截另一组直线成相等的线段, 那么这组直线平行,这个命题是错误的.(如图所示)

5

如图 1?1?6,已知 AC⊥AB,DB⊥AB,O 是 CD 的中点,求证:OA=O

B.

图 1?1?6 【精彩点拨】 由于线段 OA 和 OB 有共同端点, 则转化为证明△OAB 是等腰三角形即可. 【自主解答】 过 O 作 AB 的垂线,垂足为 E,如图所示.

又∵AC⊥AB,DB⊥AB, ∴OE∥AC∥D 又∵O 为 CD 的中点, ∴E 为 AB 的中点,又 OE⊥AB, ∴△OAB 是等腰三角形,∴OA=O

B.

B.

1.本题中由 AC⊥AB,DB⊥AB 知 AC∥DB,联想到作 OE⊥AB,再根据平行线等分线段定 理证明点 E 是 AB 的中点. 2.平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用,在没有线段的中点时构造线段的中 点来应用.

[再练一题] 3.如图 1?1?7,已知?ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,过点 A,B,C,D,O 分别作直 线 a 的垂线,垂足分别为 A′,B′,C′,D′,O′.求证:A′D′=B′C′.

6

图 1?1?7 【证明】 ∵?ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O, ∴OA=OC,OB=OD. ∵AA′⊥a,OO′⊥a,CC′⊥a, ∴AA′∥OO′∥CC′, ∴O′A′=O′C′, 同理 O′D′=O′B′, ∴A′D′=B′C′. [构建·体系]

1. 如图 1?1?8 所示, DE 是△ABC 的中位线, F 是 BC 上任一点, AF 交 DE 于 G, 则有(

)

图 1?1?8 A.AG>GF B.AG=GF C.AG<GF D.AG 与 GF 的大小不确定 【解析】 ∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE∥BC,AD=DB, ∴AG=GF. 【答案】 B 2.如图 1?1?9,已知 l1∥l2∥l3,那么下列结论中错误的是( )

图 1?1?9
7

A.由 AB=BC 可得 FG=GH B.由 AB=BC 可得 OB=OG C.由 CE=2CD 可得 CA=2BC 1 D.由 GH= FH 可得 CD=DE 2 【解析】 由平行线等分线段定理知,A,C,D 均正确. 【答案】 B 3.如图 1?1?10,AB∥CD∥EF,AF,BE 交于点 O,若 AO=OD=DF,BE=10 cm,则 BO 的长是( )

图 1?1?10 A.3 cm C.5 cm B. 10 cm 3

D.10 cm

10 【解析】 由平行线等分线段定理知,BO= cm. 3 【答案】 B 4.如图 1?1?11 所示,AF=FD=BD,FG∥DE∥BC,若 EP=1,则 BC=________. 【导学号:07370002】

图 1?1?11

【解析】 由平行线等分线段定理知 AG=GE=EC,则 EP 是△CFG 的中位线,故 FG=2, 又 FG 是△ADE 的中位线,∴DE=4,DP=3,又 DP 是△FBC 的中位线, ∴BC=6. 【答案】 6 5.如图 1?1?12,已知以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻边作?ACED,DC 的延长线交

BE 于 F.求证:EF=BF.

8

图 1?1?12 【证明】 连接 AE 交 DC 于 O, ∵四边形 ACED 是平行四边形, ∴O 是 AE 的中点(平行四边形的对角线互相平分). ∵四边形 ABCD 是梯形, ∴DC∥A ∴F 是 EB 的中点,∴EF=BF.

B.在△EAB 中,OF∥AB,O 是 AE 的中点,

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(一) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.如图 1?1?13,已知 l1∥l2∥l3,AB,CD 相交于 l2 上一点 O,且 AO=OB,则下列结论 中错误的是( )

9

图 1?1?13 A.AC=BD C.OC=OD B.AE=ED D.OD=OB

【解析】 由 l1∥l2∥l3 知 AE=ED,OC=OD, 由△AOC≌△BOD 知 AC=BD, 但 OD 与 OB 不能确定其大小关系. 故选 D. 【答案】 D 2.如图 1?1?14,已知 AE⊥EC,CE 平分∠ACB ,DE∥BC,则 DE 等于( )

【导学号:07370003】

图 1?1?14 A.BC-AC B.AC-BF 1 C. (AB-AC) 2 1 D. (BC-AC) 2 【解析】 由已知得 CE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴AC=FC,AE=EF. ∵DE∥BC, ∴DE 是△ABF 的中位线, 1 1 ∴DE= BF= (BC-AC). 2 2 【答案】 D 3. 如图 1?1?15 所示, 过梯形 ABCD 的腰 AD 的中点 E 的直线 EF 平行于底边, 交 BC 于 F, 2 若 AE 的长是 BF 的长的 ,则 FC 是 ED 的( 3 )

10

图 1?1?15 2 A. 倍 3 C.1 倍 【解析】 ∵AB∥EF∥DC,且 AE=DE, 2 ∴BF=FC.又∵AE= BF, 3 3 ∴FC= ED. 2 【答案】 B 4.如图 1?1?16,在梯形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,EF∥AB,EF=30 cm,AC 交 EF 于 G, 若 FG-EG=10 cm,则 AB=( ) 3 B. 倍 2 1 D. 倍 2

图 1?1?16 A.30 cm C.50 cm B.40 cm D.60 cm

【解析】 由平行线等分线段定理及推论知,点 G,F 分别是线段 AC,BC 的中点,则

EG= DC,FG= AB, AB+DC=60, ? ? ∴?1 1 AB- DC=10, ? 2 2 ?
解得?
?AB=40, ? ? ?DC=20. ? ?AB+DC=60, ? ?AB-DC=20, ?

1 2

1 2

【答案】 B 5.如图 1?1?17,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 BC 中点,且 AE∥DC,AE 交 BD 于点 F, 过点 F 的直线交 AD 的延长线于点 M,交 CB 的延长线于点 N,则 FM 与 FN 的关系为( )

11

图 1?1?17 A.FM>FN C.FM=FN 【解析】 ∵AD∥BC,AE∥DC, ∴四边形 AECD 是平行四边形. 1 ∴AD=EC= BC, 2 即 BE=EC=AD. ∴△ADF≌△EBF, ∴AF=FE, ∴△AFM≌△EFN, ∴FM=FN. 【答案】 C 二、填空题 6.如图 1?1?18 所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=2,BC=6,E,F 分别为对角线 BD, B.FM<FN D.不能确定

AC 的中点,则 EF=____.

图 1?1?18 【解析】 如图所示,过 E 作 GE∥BC 交 BA 于 G. ∵E 是 DB 的中点, ∴G 是 AB 的中点,又 F 是 AC 的中点, ∴GF∥BC,∴G,E,F 三点共线, 1 1 ∴GE= AD=1,GF= BC=3, 2 2 ∴EF=GF-GE=3-1=2. 【答案】 2 7.如图 1?1?19,已知在△ABC 中,AD∶DC=1∶1,E 为 BD 的中点,AE 延长线交 BC 于

F,则 BF 与 FC 的比值为__________.
【导学号:07370004】

12

图 1?1?19 【解析】 过 D 作 DG 平行于 BC,交 AF 于点 G,再根据平行 线等分线段定理即可解决. 【答案】 1 2

1 8.如图 1?1?20,在△ABC 中,E 是 AB 的中点,EF∥BD,EG∥AC,CD= AD,若 EG=5 cm, 2 则 AC=________;若 BD=20 cm,则 EF=________.

图 1?1?20 【解析】 ∵E 为 AB 的中点,EF∥BD, ∴F 为 AD 的中点. 1 ∵E 为 AB 的中点,EG∥AC,∴G 为 BD 的中点,若 EG=5 cm,则 AD=10 cm,又 CD= AD 2 1 =5 cm,∴AC=15 cm.若 BD=20 cm ,则 EF= BD=10 cm. 2 【答案】 15 cm 三、解答题 9.(2016·南京模拟)如图 1?1?21,在梯形 ABCD 中,CD⊥BC,AD∥BC,E 为腰 CD 的中 点,且 AD=2 cm,BC=8 cm,AB=10 cm,求 BE 的长度. 10 cm

图 1?1?21 【解】 过 E 点作直线 EF 平行于 BC, 交 AB 于 F, 作 BG⊥EF 于 G(如 图), 1 因为 E 为腰 CD 的中点,所以 F 为 AB 的中点,所以 BF= AB=5 cm, 2 又 EF=

AD+BC 2+8
2 = 2

=5(cm),

GF=BC-FE=8 cm-5 cm=3 cm,
所以 GB= BF -GF = 25-9=4 cm,
2 2

13

EC=GB=4 cm,
所以 BE= BC +CE = 8 +4 =4 5(cm). 10.用一张矩形纸,你能折出一个等边三角形吗?如图 1?1?22(1),先把矩形纸 ABCD 对折,设折痕为 MN;再把 B 点叠在折痕线上,得到 Rt△ABE,沿着 EB 线折叠,就能得到等 边△EAF,如图(2).想一想,为什么?
2 2 2 2

图 1?1?22 【解】 利用平行线等分线段定理的推论 2, ∵N 是梯形 ADCE 的腰 CD 的中点,NP∥AD, ∴P 为 EA 的中点. ∵在 Rt△ABE 中,PA=PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半), ∴∠1=∠3. 又∵PB∥AD, ∴∠3=∠2,∴∠1=∠2. 又∵∠1 与和它重合的角相等, ∴∠1=∠2=30°. 在 Rt△AEB 中,∠AEB=60°,∠1+∠2=60°, ∴△AEF 是等边三角形. [能力提升] 1 1.如图 1?1?23,AD 是△ABC 的高,E 为 AB 的中点,EF⊥BC 于 F,如果 DC= BD,那么 3

FC 是 BF 的(

)

图 1?1?23 5 A. 倍 3 3 C. 倍 2 4 B. 倍 3 2 D. 倍 3

【解析】 ∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD. 又 E 为 AB 的中点,由推论 1 知 F 为 BD 的中点,
14

即 BF=FD. 1 2 又∵DC= BD,∴DC= BF. 3 3 5 ∴FC=FD+DC=BF+DC= BF. 3 【答案】 A 2.梯形的一腰长 10 cm,该腰和底边所形成的角为 30°,中位线长为 12 cm,则此梯 形的面积为( A.30 cm C.50 cm
2

) B.40 cm
2

2

D.60 cm

2

【解析】 如图,过 A 作 AE⊥BC,在 Rt△ABE 中,AE=ABsin 30°=5 cm.又已知梯形 的中位线长为 12 cm,

∴AD+BC=2×12=24(cm). 1 ∴梯形的面积 S= (AD+BC)·AE 2 1 2 = ×5×24=60(cm ). 2 【答案】 D 3.如图 1?1?24,AB=AC,AD⊥BC 于 D,M 是 AD 的中点,CM 交 AB 于 P,DN∥CP,若 AB =9 cm,则 AP=__________;若 PM=1 cm,则 PC=__________. 【导学号:07370005】

图 1?1?24 【解析】 由 AB=AC 和 AD⊥BC,结合等腰三角形的性质,得 D 是 BC 的中点.再由 DN ∥CP,可得 N 是 BP 的中点.同理可得 P 是 AN 的中点,由此可得答案. 【答案】 3 cm 4 cm 1 4.如图 1?1?25 所示,AE∥BF∥CG∥DH,AB= BC=CD,AE=12,DH=16,AH 交 BF 于 2 点 M,求 BM 与 CG 的长.

15

图 1?1?25 【解】 如图,取 BC 的中点 P,作 PQ∥DH 交 EH 于点 Q,则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线.

∵AE∥BF∥CG∥DH,

AB= BC=CD, AE=12,DH=16,
∴ ∴

1 2

AB 1 BM AB = , = , AD 4 DH AD BM 1
= , 16 4

∴BM=4. ∵PQ 为梯形的中位线, 1 1 ∴PQ= (AE+DH)= (12+16)=14. 2 2 1 1 同理,CG= (PQ+DH)= (14+16)=15. 2 2

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