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【成才之路】2014-2015数学(人教A版)必修1课件:3.2.1几类不同增长的函数模型_图文

成才之路 · 数学
人教A版 · 必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
函数的应用
1.1.1 集合的概念

第三章

函数的应用

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第三章
3.2 函数模型及其应用
1.1.1 集合的概念

第三章

函数的应用

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第三章
3.2.1 几类不同增长的函数模型

第三章

函数的应用

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1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

第三章

3.2

3.2.1

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预习导学

第三章

3.2

3.2.1

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●课标展示 1 .了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应 用. 2 .理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种

函数模型性质的比较.
3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题.

第三章

3.2

3.2.1

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●温故知新 旧知再现

(0,+∞) 上是 1 . 对数函数 f(x) = log2x ,在其定义域 __________ 增 填“增”或“减”)函数. ____(
1x 2. 已知函数 f(x)与 g(x)=(2) 的图象关于 y 轴对称, 则满足

(0,+∞) . f(x)>1 的 x 的取值范围___________

第三章

3.2

3.2.1

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3. 某地的水电资源丰富,并且得到了电费 y( 元 ) 与用电量 x(度)之间的函数关系如图所示:则月用电量为 100 度时,应交

60 元. 电费_____

第三章

3.2

3.2.1

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新知导学 1.四种函数模型的性质

函数 性质
在(0,+∞) 上的增减性 增长的速度 图象的变化

y=ax (a>1)
增 函数 ___

y=logax (a >1)
增 函数 ___

y=xn (n>0)
增 函数 ___ 相对较快

y=kx+b (k>0)
增 函数 ___ 不变

快 越来越__
越来越陡

慢 越来越___
越来越平

随n值而不同 直线上升

第三章

3.2

3.2.1

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2.三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数. 一般地,对于指数函数 y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0), 通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽 快 于 管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长_____ > xn . xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax_____

第三章

3.2

3.2.1

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(2)对数函数和幂函数. 对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间 (0 ,+ ∞ ) 上,随着 x 的增大, logax 增长得越来越慢,图象就像 是渐渐地与x轴平行一样,尽管在x的一定变化范围内,logax可 能会大于xn,但由于log x 的增长慢 __于xn 的增长,因此总存在一
a

< xn . 个x0,当x>x0时,就会有logax_____

第三章

3.2

3.2.1

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(3)指数函数、对数函数和幂函数. 在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1) 增 函数,但它们增长的速度不同,而且 和 y = xn(n > 0) 都是 _____ 不在同一个“档次”上,随着 x 的增大, y = ax(a > 1) 的增长速 快 ,会超过并远远大于 y = xn(n > 0) 的增长速度, 度越来越 _____ 而 y = logax(a > 1) 的增长速度则会越来越慢,因此总存在一个 logax <xn<_____. ax x0,当x>x0时,就会有_______

第三章

3.2

3.2.1

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●自我检测 1.函数y=2x与y=x2的图象的交点个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 作出两个函数的图象,在第一象限中有两个交 )

[答案] D
[ 解析 ] 点,在第二象限中有一个交点,即共有三个交点.

第三章

3.2

3.2.1

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2.下列函数增长的速度最快的是( A.y=3x C.y=x3 [答案] A B.y=log3x D.y=3x

)

3.当x>4时,a=4x,b=log4x,c=x4,则有(
A.a<b<c C.c<a<b B.b<a<c D.b<c<a

)

[答案] D

第三章

3.2

3.2.1

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互动课堂

第三章

3.2

3.2.1

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●典例探究

1
1

考查函数模型的增长差异

下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表: 2x 2 4 8 16 x2 1 4 9 16 2x+7 9 11 13 15 log2x 0 1 1.585 2

x 1 2 3 4

第三章

3.2

3.2.1

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x

2x

x2

5 6 7 8 9 10

32 64 128 256 512 1 024

25 36 49 64 81 100

2x+7 17 19 21

log2x

23 25 27

2.322 2.585 2.807 3 3.170 3.322

试问: (1)随着x的增大,各函数的函数值有什么共同的变 化趋势? (2)各函数增长速度快慢有什么不同?
第三章 3.2 3.2.1

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[解析] (1)随着x的增大,各函数的函数值都在增大. (2) 由图表可以看出:各函数增长速度快慢不同,其中 f(x) =2x的增长速度最快,而且越来越快;其次为f(x)=x2,增长的

幅度也在变大;而f(x)=2x+7增长速度不变;增长速度最慢的
是f(x)=log2x,而且增长的幅度越来越小.

第三章

3.2

3.2.1

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规律总结:对于三种函数增长的几点说明: (1) 对于幂函数 y = xn ,当 x > 0 , n > 0 时, y = xn 才是增函 数,当n越大时,增长速度越快. (2)指数函数与对数函数的递增前提是a>1,又它们的图象 关于 y = x 对称,从而可知,当 a 越大, y = ax 增长越快;当 a 越 小,y=logax增长越快,一般来说,ax>logax(x>0,a>1). (3)指数函数与幂函数,当x>0,n>0,a>1时,可能开始

时有xn>ax,但因指数函数是爆炸型函数,当x大于某一个确定
值x0后,就一定有ax>xn.

第三章

3.2

3.2.1

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1

四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:

x
y1 y2 y3 y4

1
2 2 2 2

5
26 32 10

10
101 20

15
226 30 5.907

20
401 40 6.322

25
626 50 6.644

30
901 60 6.907

1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109

4.322 5.322

关于x呈指数函数变化的变量是________.
[答案] y2
第三章 3.2 3.2.1

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[分析]

从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个

变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化. [解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始

变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速率不同,
其中变量 y2 的增长速度最快,画出它们的图象 ( 图略 ) ,可知变 量y2关于x呈指数函数变化.

第三章

3.2

3.2.1

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规律总结: 解决本题的关键是如何确定变量间的关

系是指数函数关系,不能仅仅根据自变量较大时对应的函数
值,还要看函数值的变化趋势.

第三章

3.2

3.2.1

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2
2

图象信息迁移题 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图

象如右图所示 .设两函数的图象交于点

A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.
(1)请指出图中曲线 C1,C2分别对应的 函数; (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 013),g(2 013)的大小.
[分析] (1)随着自变量 x 的增大,图象位于上方的函数是 指数函数 y=2x,另一个函数就是幂函数 y=x3.
第三章 3.2 3.2.1

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[解析 ]
2x.

(1)C1 对应的函数g(x) =x3 ,C2 对应的函数为 f(x) =

(2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), ∴1<x1<2,9<x2<10, ∴x1<6<x2,2 013>x2.

从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),
∴f(6)<g(6). 当x>x2时,f(x)>g(x),

∴f(2 013)>g(2 013).
又g(2 013)>g(6),∴f(2 013)>g(2 013)>g(6)>f(6).
第三章 3.2 3.2.1

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2

函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.

(1) 试根据函数的增长差异指出曲线 C1 , C2 分别对应的函 数; (2) 比较两函数的增长差异 ( 以两图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较).

第三章

3.2

3.2.1

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[解析 ] 为f(x)=lgx.

(1)C1 对应的函数为 g(x)=0.3x -1,C2 对应的函数

(2) 当 x<x1 时, g(x)>f(x) ;当 x1<x<x2 时, f(x)>g(x) ;当 x>x2

时,g(x)>f(x).

第三章

3.2

3.2.1

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3
3

函数模型的选择 某皮鞋厂今年 1月份开始投产,并且前 4个月的

产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质 量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推

销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月
的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了 生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂 长,就月份 x ,产量为 y 给出三种函数模型: y =ax+ b, y = ax2 +bx +c ,y= abx+ c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月

的产量?
第三章 3.2 3.2.1

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[分析]

本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定

函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型.
[解析] 由题意, 知将产量随时间变化的离散量分别抽象为 A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这 4 个数据. (1)设模拟函数为 y=ax+b 时, 将 B,C 两点的坐标代入函数式,
? ?3a+b=1.3, 得? ? ?2a+b=1.2. ? ?a=0.1, 解得? ? ?b=1.

所以有关系式 y=0.1x+1. 由此可得结论为:在不增加工人和设备的条件下,产量会 每月上升 1 000 双,这是不太可能的.
第三章 3.2 3.2.1

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(2)设模拟函数为 y=ax2+bx+c 时, 将 A,B,C 三点的坐标代入函数式,得 ?a+b+c=1, ? ?4a+2b+c=1.2, ?9a+3b+c=1.3. ? ?a=-0.05, ? 解得?b=0.35, ?c=0.7. ?

所以有关系式 y=-0.05x2+0.35x+0.7. 结论为:由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双,比实际产 量少 700 双,而且由二次函数性质可知,产量自 4 月份开始将 每月下降(图象开口向下,对称轴为 x=3.5),不合实际.

第三章

3.2

3.2.1

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设模拟函数为 y=abx+c 时, 将 A,B,C 三点的坐标代入函数式,得 ?ab+c=1,① ? 2 ?ab +c=1.2,② ?ab3+c=1.3.③ ? 由①,得 ab=1-c,代入②③,得
? ?b?1-c?+c=1.2, ? 2 ? ?b ?1-c?+c=1.3.

第三章

3.2

3.2.1

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? ?c=1.2-b, 1-b ? 则? 2 1.3 - b ? c= 2 . ? 1 - b ?

? ?b=0.5, 解得? ? ?c=1.4.

1-c 则 a= b =-0.8. 所以有关系式 y=-0.8×0.5x+1.4. 结论为:当把 x=4 代入得 y=-0.8×0.54+1.4=1.35.

第三章

3.2

3.2.1

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比较上述四个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又 要考虑生产的实际,如:增产的趋势和可能性.经过筛选,以 指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着 工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升, 但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定, 而指数函数模型恰好反映了这种趋势. 因此选用指数函数 y=-0.8×0.5x+1.4 模拟比较接近客观 实际.

第三章

3.2

3.2.1

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规律总结: 本题是对数据进行函数模拟,选择最符 合客观实际的模拟函数.一般思路为:先画出散点图,然后作 出模拟函数的图象,选择适当的几种函数模型后,再加以验 证.函数模型的建立是最大的难点,另外运算量较大,须借助 计算器或计算机进行数据处理,函数模型的可靠性与合理性既

需要数据检验,又必须符合实际.

第三章

3.2

3.2.1

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3

某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激
励招生人员的奖励方案:在生源利润达到 5 万元时,按生源利 润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的 增加而增加,但奖金总数不超过 3 万元,同时奖金不超过利润 的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中 哪个模型符合该校的要求?
[分析] 作出函数图象 → 观察图象得到结论

第三章

3.2

3.2.1

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[解析]

借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=

1.02x的图象(如图所示).

观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象 都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y= 3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合

学校的要求.
第三章 3.2 3.2.1

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规律总结: 不同的函数增长模型能刻画现实世界中 不同的变化规律:

(1) 线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规
律; (2) 指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规

律;
(3) 对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规 律; (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律. 因此,需抓住题中蕴含的科学的信息,恰当、准确地建立

相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
第三章 3.2 3.2.1

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随堂测评

第三章

3.2

3.2.1

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1.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( A.y=2x C.y=log3x B.y=1 0000x D.y=x3

)

[答案] A

第三章

3.2

3.2.1

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2 .某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整, 调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢;若要建立恰当 的函数模型来反映该公司调整后利润 y与时间x的关系,可选用 ( )

A.一次函数
C.指数型函数 [答案] D

B.二次函数
D.对数型函数

第三章

3.2

3.2.1

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3 .如图所示曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势 ?
( )

A.一次函数 C.对数函数 [答案] B

B.幂函数 D.指数函数

第三章

3.2

3.2.1

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4.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表: x y 1 1 2 2 3 5 ? ? )

下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( A.y=log2(x+1) C.y=2x-1 [答案] D [解析] 代入检验,排除A、B、C,故选D. B.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1

第三章

3.2

3.2.1

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5.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x
y1 y2 y3 y4

1
5 5 5

5
130

10
505

15
1130 33733 80

20
2005 6.37×10
5

25
3130 1.2×107 130

30
4505 2.28×10
8

94.478 1785.2 30 55

105

155 1.005

5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 关于x呈指数型函数变化的变量是__________.

[答案] y2.

第三章

3.2

3.2.1

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6.我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.研 究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v O =5log210,单位是 m/s,其中 O 表示燕子的耗氧量. (1)计算,当燕子静止时的耗氧量是多少单位? (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速度是 多少?

第三章

3.2

3.2.1

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[解析] (1)由题意,当燕子静止时,它的速度 v=0,代入 O 题给公式得 0=5log210,解得 O=10 个单位. (2)将耗氧量 O=80 代入题给公式得 80 v=5log210=5log28=15m/s.

第三章

3.2

3.2.1

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课后强化作业
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第三章

3.2

3.2.1


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