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18学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末综合测评1(含解析)新人教A版必修2


第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [自我校对] ①确定平面的条件 ②异面直线 ③直线在平面内 ④直线与平面平行的判定定理 ⑤直线与平面平行的性质定理 ⑥平面与平面平行的判定定理 ⑦若 α ∥β ,l? α ,则 l∥β ⑧直线与平面垂直的判定定理 ⑨直线与平面垂直的定义 ⑩若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β ? 平面与平面垂直的判定定理 ? 平面与平面垂直的性质定理 ? 直线与平面垂直的性质定理 ? 二面角 1 (教师用书独具) 共点、共线、共面问题 1.证明三线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题 转化为证明点在直线上的问题. 2.证明三点共线问题 证明空间三点共线问题, 通常证明这些点都在两个面的交线上, 即先确定出某两点在某 两个平面的交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,当然必在两个平面的交线上. 3.证明共面问题 证明共面问题,一般有两种证法:一是由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这 个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合. 如图 2?1 所示,AB∩α =P,CD∩α =P,A,D 与 B,C 分别在平面 α 的两侧, AC∩α =Q,BD∩α =R,求证:P,Q,R 三点共线. 图 2?1 【精彩点拨】 要证若干点共线,需证这些点在两个相交平面内,且是这两个平面的公 共点. 【规范解答】 ∵AB∩α =P,CD∩α =P,∴AB∩CD=P, ∴AB,CD 可确定一个平面,设为 β . ∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD, ∴A∈β ,C∈β ,B∈β ,D∈β . ∴AC? β ,BD? β ,平面 α ,β 相交. ∵AB∩α =P,AC∩α =Q,BD∩α =R, ∴P,Q,R 三点是平面 α 与平面 β 的公共点. ∴P,Q,R 都在 α 与 β 的交线上. 故 P,Q,R 三点共线. [再练一题] 2 1.如图 2?2,在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,P 为棱 BB1 的中点,画出由 A1、C1、P 三点所 确定的平面 α 与长方体表面的交线,并作出平面 α 与平面 ABCD 的交线. 图 2?2 【解】 A1P,A1C1,C1P 为平面 α 与长方体表面的交线,如图. 平面 α 与平面 ABCD 的交线可以这样确定:延长 C1P,则它与 CB 的延长线一定相交,设 交点为点 M,则 M 是平面 α 与平面 ABCD 的一个公共点,延长 A1P 交 AB 的延长线于点 N,则 N 也是平面 α 与平面 ABCD 的一个公共点,故 MN 就是两平面的交线. 空间中的平行、垂直问题 1.平行关系的转化 要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程, 在解题时把握这一点, 灵活 确定转化的思路和方向. 2.垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线, 若这样的垂线不存在, 则可通 过作辅助线来解决.如有面面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使 之转化为线面垂直,进一步转化为线线垂直. 3.证明空间线面平行或垂直需注意三点 (1)由已知想性质,由求证想判定. (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一. (3)用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论. 3 如图 2?3,在四棱锥 P?ABCD 中,菱形 ABCD 的对角线交于点 O,E、F 分别是 PC、 DC 的中点.平面 PAD⊥平面 ABCD,PD⊥AD. 图 2?3 求证:(1)

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