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高中数学必修二2.3 直线、平面垂直的判定及其性质课堂练习及答案


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
? 知识梳理

直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂 直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面 垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。 ? 知能训练 一.选择题
1.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( )

β

A . α ⊥ β ,且 m ? α

B. m∥ n, 且 n⊥ β

C .α ⊥ β ,且 m ∥ α

D. m⊥ n, 且 n∥ β

2.在三棱椎 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上的一点,它的正视图和侧视图如图所 示,则下列命题正确的是( )

A . AD ⊥ 平 面 PBC 且 三 棱 椎 D-ABC 的 体 积 为 B . BD ⊥ 平 面 PAC 且 三 棱 椎 D-ABC 的 体 积 为 C . AD ⊥ 平 面 PBC 且 三 棱 椎 D-ABC 的 体 积 为 D . BD ⊥ 平 面 PAC 且 三 棱 椎 D-ABC 的 体 积 为

8 3 8 3 16 3 16 3

3.如图,在正四棱锥 S-ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动,并且总是保持 PE⊥AC.则动点 P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形是( )

A.

B.

C.

D.

4.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,AD:BC:AB=2:3:4,E、F 分别是 AB、CD 的中 点,将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折.给出四个结论: ①DF⊥BC; ②BD⊥FC; ③平面 DBF⊥平面 BFC; ④平面 DCF⊥平面 BFC. 在翻折过程中,可能成立的结论是( )

A. ① ③

B. ② ③

C. ② ④

D. ③ ④

5.已知 A,B,C,D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面 ABC,AD=2AB=6,则 该球的表面积为( )

A . 16 π

B . 24 π

C . 32 2π

D . 48 π

6.设 O 是空间一点,a,b,c 是空间三条直线,α,β 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的 是( )

A . 当 a ∩ b=O 且 a ? α , b ? α 时 , 若 c ⊥ a , c ⊥ b , 则 c ⊥ α B . 当 a ∩ b=O 且 a ? α , b ? α 时 , 若 a ∥ β , b ∥ β , 则 α ∥ β C. 当 b?α 时 , 若 b⊥ β , 则 α ⊥ β D. 当 b?α 时 , 且 c?α 时 , 若 c∥ α , 则 b∥ c
7.已知平面 α⊥平面 β,点 A∈α,则过点 A 且垂直于平面 β 的直线( )

A. 只 有 一 条 , 不 一 定 在 平 面 α 内 C. 只 有 一 条 , 一 定 在 平 面 α 内

B. 有 无 数 条 , 不 一 定 在 平 面 α 内 D. 有 无 数 条 , 一 定 在 平 面 α 内

8.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不 正确的是( )

A . AC ⊥ SB B . AB ∥ 平 面 SCD C . SA 与 平 面 SBD 所 成 的 角 等 于 SC 与 平 面 SBD 所 成 的 角 D . AB 与 SC 所 成 的 角 等 于 DC 与 SA 所 成 的 角
9.下列命题中错误的是( )

A. 如 果 平 面 α ⊥ 平 面 β , 那 么 平 面 α 内 一 定 存 在 直 线 平 行 于 平 面 β B. 如 果 平 面 α 不 垂 直 于 平 面 β , 那 么 平 面 α 内 一 定 不 存 在 直 线 垂 直 于 平 面 β C . 如 果 平 面 α ⊥ 平 面 γ , 平 面 β ⊥ 平 面 γ , α ∩ β =l , 那 么 l ⊥ 平 面 γ D. 如 果 平 面 α ⊥ 平 面 β , 那 么 平 面 α 内 所 有 直 线 都 垂 直 于 平 面 β
10.如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,AC∩EF=G.现在沿 AE、 EF、FA 把这个正方形折成一个四面体,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 P,则 在四面体 P-AEF 中必有( )

A . AP ⊥ △ PEF 所 在 平 面 C . EP ⊥ △ AEF 所 在 平 面

B . AG ⊥ △ PEF 所 在 平 面 D . PG ⊥ △ AEF 所 在 平 面

11.如图,设平面 α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足.分别为 B,D,若增加一个条件,就 能推出 BD⊥EF.现有①AC⊥β;②AC 与 α,β 所成的角相等;③AC 与 CD 在 β 内的射影 在同一条直线上;④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是( )

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

12.在△ABC 中,∠BAC=90° ,PA⊥平面 ABC,AB=AC,D 是 BC 的中点,则 图中直角三角形的个数是( )

A. 5

B. 8

C . 10


D. 6

13.经过一条直线与一个平面垂直的平面个数是(

A. 1

B. 2

C. 无 数

D. 以 上 答 案 都 不 正 确 π π 4 6

14.如图,平面 α⊥平面 β,A∈α,B∈β,AB 与两平面 α、β 所成的角分别为 和 .过 A、 B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′、B′,则 AB:A′B′=( )

A. 2: 1

B. 3: 1

C. 3: 2

D. 4: 3

15.已知点 E,F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB,AA1 的中点,点 M,N 分别是线 段 D1E 与 C1F 上的点,则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有( )

A. 0 条

B. 1 条

C. 2 条

D. 无 数 条

16.三棱锥 P-ABC 的高为 PH,若 P 到△ABC 的三边的距离相等,若 H 在△ABC 内,则 H 为△ABC 的( )

A. 内 心

B. 外 心

C. 垂 心

D. 垂 心 或 内 心

17.如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则 C1 在面 ABC 上的 射影 H 必在( )

A . 直 线 AB 上

B . 直 线 BC 上

C . 直 线 CA 上

D . △ ABC 内 部

18.如图是一个几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E、F 分别为 PA、PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确结论的个数是( )

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

二.填空题
19.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 一个你认为是正确的条件即可) 20.已知平面 α,β 和直线,给出条件: ①m∥α; ②m⊥α; ③m?α; ④α⊥β; 时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写

⑤α∥β. (i)当满足条件 (ii)当满足条件 时,有 m∥β; 时,有 m⊥β.(填所选条件的序号) .

21. 已知 AB 是平面 α 的垂线, AC 是平面 α 的斜线, CD∈平面 α, CD⊥AC, 则面面垂直的有

22.设△ABC 的三个顶点在平面 α 的同侧,AA1⊥平面 α 于点 A1,BB1⊥平面 α 于点 B1,CC1⊥平面 α 于 点 C1,G、G1 分别是△ABC 和△A1B1C1 的重心,若 AA1=7,BB1=3,CC1=5,则 GG1= 23.设 α,β 为两个不重合的平面,m,n 为两条不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m⊥n,m⊥α,n?α 则 n∥α; ②若 α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m,则 n⊥β; ③若 m⊥n,m∥α,n∥β,则 α⊥β; ④若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直. 其中所有真命题的序号是 . .

24.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总是保持 AP 与 BD1 垂直,则动点 P 的轨迹为 .

25.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别是棱 BC、DD1 上的点,如果 B1E⊥平面 ABF, 则 CE 与 DF 的和的值等于 5 个面中,互相垂直的面有 对. . 26.如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a,PB=PD= 2a,则它的

第 24 题

第 25 题

第 26 题

三.解答题
27.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、P、Q、M、N 分别是棱 AB、AD、DD1、BB1、A1B1、 A1D1 的中点,求证: (Ⅰ)直线 BC1∥平面 EFPQ; (Ⅱ)直线 AC1⊥平面 PQMN.

28.在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形 (Ⅰ)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (Ⅱ)设 D、E 分别是线段 BC、CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥平面 A1MC? 请证明你的结论.

29. 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱垂直于底面, AB⊥BC, AA1=AC=2, BC=1, E, F 分别是 A1C1, BC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABE⊥B1BCC1; (Ⅱ)求证:C1F∥平面 ABE; (Ⅲ)求三棱锥 E-ABC 的体积.

30.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M 为线段 AB 的中点.将 △ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC,如图 2 所示.求证:BC⊥平面 ACD;

【参考答案】 1-5 BCABD 6-10 CCDDA 11-15 BBDAB 16-18 AAB

19. DM ⊥ PC ( 或 BM ⊥ PC 等 ) 20. ③ ⑤ ; ② ⑤

21. 平 面 ABC ⊥ 平 面 ACD

22.5

23. ① ②

24. 线 段 CB 1

25. 1

26.5

27. 证 明 : ( Ⅰ ) 在 正 方 体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 连 接 AD 1 ,

∵ AD 1 ∥ BC 1 , 且 F 、 P 分 别 是 AD 、 DD 1 的 中 点 , ∴ FP ∥ AD 1 , ∴ BC 1 ∥ FP , 又 FP ? 平 面 EFPQ , 且 BC 1 ? 平 面 EFPQ , ∴ 直 线 BC 1 ∥ 平 面 EFPQ ; (Ⅱ)如图, 连 接 AC 、 BD , 则 AC ⊥ BD , ∵ CC 1 ⊥ 平 面 ABCD , BD ? 平 面 ABCD , ∴ CC 1 ⊥ BD ; 又 AC ∩ CC 1 =C , ∴ BD ⊥ 平 面 ACC 1 , 又 AC 1 ? 平 面 ACC 1 , ∴ BD ⊥ AC 1 ; 又 ∵ M 、 N 分 别 是 A1B 1 、 A1D1 的 中 点 , ∴ MN ∥ BD , ∴ MN ⊥ AC 1 ; 同 理 可 证 PN ⊥ AC 1 , 又 PN ∩ MN=N , ∴ 直 线 AC 1 ⊥ 平 面 PQMN . 28. ( Ⅰ ) 证 明 : ∵ 四 边 形 ABB 1 A 1 和 ACC 1 A 1 都 为 矩 形 , ∴ AA 1 ⊥ AB , AA 1 ⊥ AC , ∵ AB ∩ AC=A , ∴ AA 1 ⊥ 平 面 ABC , ∵ BC ? 平 面 ABC , ∴ AA 1 ⊥ BC , ∵ AC ⊥ BC , AA 1 ∩ AC=A , ∴ 直 线 BC ⊥ 平 面 ACC 1 A 1 ; ( Ⅱ ) 解 : 取 AB 的 中 点 M , 连 接 A 1 M , MC , A 1 C , AC 1 , 设 O 为 A 1 C , AC 1 的 交 点 , 则 O 为 AC 1 的 中 点 . 连 接 MD , OE , 则 MD ∥ AC , MD= AC , OE ∥ AC , OE= AC ,
2 2 1 1

∴ MD ∥ OE , MD=OE , 连 接 OM , 则 四 边 形 MDEO 为 平 行 四 边 形 , ∴ DE ∥ MO , ∵ DE ? 平 面 A 1 MC , MO ? 平 面 A 1 MC , ∴ DE ∥ 平 面 A 1 MC , ∴ 线 段 AB 上 存 在 一 点 M ( 线 段 AB 的 中 点 ) , 使 直 线 DE ∥ 平 面 A 1 MC . 29. ( Ⅰ ) 证 明 : ∵ 三 棱 柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 侧 棱 垂 直 于 底 面 , ∴ BB 1 ⊥ AB , ∵ AB ⊥ BC , BB 1 ∩ BC=B , ∴ AB ⊥ B 1 BCC 1 , ∵ AB ? 平 面 ABE ,

∴ 平 面 ABE ⊥ B 1 BCC 1 ; ( Ⅱ ) 证 明 : 取 AB 中 点 G , 连 接 EG , FG , 则 ∵ F 是 BC 的 中 点 , ∴ FG ∥ AC , FG= AC ,
2 1

∵ E 是 A1C1 的 中 点 , ∴ FG ∥ EC 1 , FG=EC 1 , ∴ 四 边 形 FGEC 1 为 平 行 四 边 形 , ∴ C 1 F ∥ EG , ∵ C 1 F ? 平 面 ABE , EG ? 平 面 ABE , ∴ C 1 F ∥ 平 面 ABE ; ( Ⅲ ) 解 : ∵ AA 1 =AC=2 , BC=1 , AB ⊥ BC , ∴ AB= 3, ∴ V E - A B C = S △ AB C ? AA 1 = × × 3×1×2 =
3 2 1 1

3 3

30.

解 : ( Ⅰ ) 在 图 1 中 , 可 得 AC = BC = 2 2, 从 而 AC 2 +BC 2 =AB 2 , 故 AC ⊥ BC

取 AC 中 点 O 连 接 DO , 则 DO ⊥ AC , 又 面 ADC ⊥ 面 ABC , 面 ADC ∩ 面 ABC=AC , DO ? 面 ACD , 从 而 OD ⊥ 平 面 ABC , ( 4 分 ) ∴ OD ⊥ BC 又 AC ⊥ BC , AC ∩ OD=O , ∴ BC ⊥ 平 面 ACD ( 6 分 ) 另 解 : 在 图 1 中 , 可 得 AC = BC = 2 2, 从 而 AC 2 +BC 2 =AB 2 , 故 AC ⊥ BC ∵ 面 ADC ⊥ 面 ABC , 面 ADE ∩ 面 ABC=AC , BC ? 面 ABC , 从 而 BC ⊥ 平 面 ACD


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