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2018-2019学年人教A版必修2 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 学案

2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 2.2.2 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 学习目标:1.理解直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理. (重点)2. 会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个判定定理,并知道其地位和 作用. ( 易混点 )3. 能够应用两个判定定理证明直线与平面平行和平面与平面平 行.(难点) [ 自 主 预 习· 探 新 知] 1.直线与平面平行的判定定理 语言叙述 平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行 2.平面与平面平行的判定定理 语言叙述 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行 符号表示 a?β,b?β a∩b=P a∥α,b∥α ?β∥α 图形表示 符号表示 a?α b?α a∥b ?a∥α 图形表示 ? ? ? ? ? ? 思考 1:若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面 平行吗? [提示] 由判定定理知,直线与该平面平行或在平面内. 思考 2:分别位于两个平行平面的两条直线什么关系? 1/11 [提示] 分别位于两个平行平面内的两条直线一定无公共点,故它们的位置 关系是平行或异面. [基础自测] 1.思考辨析 (1)若直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等,则 l∥平面 α.( ) ) (2)若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线平行.( (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平 行.( ) [提示] (2)× (3)× (1)× l 与 α 也可能相交. l 与平面 α 内的直线可能平行,也可能异面. 另一条与平面平行或在平面内. 2.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的 位置关系是( A.相交 C.BD1?平面 ACE B ) B.平行 D.相交或平行 [连接 AC、BD 交于点 O,连接 OE(图略),则 EO∥BD1,又 EO?平面 ACE,BD1?平面 ACE.所以 BD1∥平面 ACE.] 3.已知三棱柱 ABCA1B1C1,D,E,F 分别是棱 AA1,BB1,CC1 的中点, 则平面 DEF 与平面 ABC 的位置关系是________. 平行 [∵D, E, F 分别是棱 AA1, BB1, CC1 的中点, ∴在?AA1B1B 与?BB1C1C 中,DE∥AB,EF∥BC,∴DE∥平面 ABC,EF∥平面 ABC.又 DE∩EF=E,∴ 平面 DEF∥平面 ABC.] [ 合 作 探 究· 攻 重 难] 直线与平面平行的判定 如图 221,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,G 为△ABC 的重心,延长线段 2/11 AG 交 BC 于 F,B1F 交 BC1 于 E. 图 221 (1)求证:GE∥平面 AA1B1B; (2)平面 AFB1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【导学号:07742119】 [解] (1)如图,连接 AB1,在平行四边形 BCC1B1 中, 因为 B1F∩BC1=E,可知△BEF∽△C1EB1, 因为 F 为 BC 的中点, B1E B1C1 所以 EF = BF =2, 又 G 为 ABC 的重心, 所以 AG =2, GF B1E AG 则 EF =GF=2, 所以 EG∥AB1, 因为 AB1?平面 AA1B1B, EG?平面 AA1B1B, 所以 GE∥平面 AA1B1B. 3/11 (2)设底面 ABC 的面积为 2S,三棱柱 ABCA1B1C1 的高为 h,则 VABCA1B1C1= 2Sh, 1 VB1AFB= Sh, 3 1 5 所以 VACFA1B1C1=2Sh- Sh= Sh. 3 3 所以 VACFA1B1C1∶VB1AFB=5∶1. [规律方法] 应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有: ①空间直线平行关系的传递性法; ②三角形中位线法; ③平行四边形法; ④成比例线段法. 提醒:线面平行判定定理应用的误区 (1)条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”. (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线. [跟踪训练] 1.如图 222,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F,G 分别是 BC,CC1, BB1 的中点,求证:EF∥平面 AD1G. 图 222 4/11 [证明] 又 AB 连接 BC1,则由 E,F 分别是 BC,CC1 的中点,知 EF∥BC1. A1B1 D1C1,所以四边形 ABC1D1 是平行四边形, 所以 BC1∥AD1,所以 EF∥AD1. 又 EF?平面 AD1G,AD1?平面 AD1G, 所以 EF∥平面 AD1G. 平面与平面平行的判定 如图 223 所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,点 D,E 分 别是 BC 与 B1C1 的中点.求证:平面 A1EB∥平面 ADC1. 图 223 ? ?EB∥平面ADC1 思路探究:平面 A1EB∥平面 ADC1?? ? ?A1E∥平面ADC1 ?EB∥C1D ?? ?A1E∥AD [证明] 由棱柱性质知, B1C1∥BC,B1C1=BC, 又 D,E 分别为 BC,B1C1 的中点, 所以 C1E DB,则四边形 C1DBE 为平行四边形, 5/11 因此 EB∥C1D, 又 C1D?平面 ADC1, EB?平面 ADC1, 所以 EB∥平面 ADC1. 连接 DE,同理,EB1 BD, 所以四边形 EDBB1 为平行四边形,则 ED 因为 B1B∥A1A,B1B=A1A(棱柱的性质), 所以 ED B1B. A1A,则四边形 EDAA1 为平行四边形, 所以 A1E∥AD,又 A1E?平面 ADC1,AD?平面 ADC1, 所以 A1E∥平面 ADC1. 由 A1E∥

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