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人教版高数选修4-4第2讲:参数方程(教师版)—马甸宋德霞


参数方程 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义 2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程 3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题 一.参数方程的定义 1.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线 C 上任一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 ? x ? f (t ) ? x ? f (t ) t 的函数: ? ;反过来,对于 t 的每个允许值,由函数式 ? 所确定的点 P(x,y)都在 ? y ? g (t ) ? y ? g (t ) ? x ? f (t ) 曲线 C 上,那么方程 ? 叫作曲线 C 的参数方程,变量 t 是参变数,简称参数.相对于参数方 ? y ? g (t ) 程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程,参数方程可以转化为普通方程. 2.关于参数的说明. 参数方程中参数可以有物理意义、几何意义,也可以没有明显意义. 3.曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程;若知道变数 x、y 中的一个与参数 t 的关 ? x ? f (t ) 系,可把它代入普通方程,求另一变数与参数 t 的关系,则所得的 ? ,就是参数方程. ? y ? g (t ) 1 二.圆的参数方程 ? x ? r cos t 点 P 的横坐标 x、纵坐标 y 都是 t 的函数: ? (t 为参数). ? y ? r sin t 我们把这个方程叫作以圆心为原点,半径为 r 的圆的参数方程. 圆的圆心为 O1(a,b),半径为 r 的圆的参数方程为: ? x ? a ? r cos t (t 为参数). ? ? y ? b ? r sin t 2 2 x y ? x ? a cos? 三. 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为 ? (θ 为参数). 规定 θ 的范围为 θ ∈[0, a b ? y ? b sin ? 2π ).这是中心在原点 O、焦点在 x 轴上的椭圆参数方程. 2 2 x y ? x ? asec? 四.双曲线 2- 2=1 的参数方程为 ? (φ 为参数).规定 φ 的范围为 φ ∈[0,2π ), a b ? y ? b tan ? π 3π 且φ ≠ ,φ ≠ .这是中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线参数方程. 2 2 ?x=2pt , ? 五.曲线 C 的参数方程为? (t 为参数,t∈R)其中 p 为正的常数.这是焦点在 x 轴正半 ?y=2pt ? 2 轴上的抛物线参数方程. 六.直线的参数方程 ? x ? x0 ? t cos ? 1.过定点 M0(x0,y0)、倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),这一形 ? y ? y0 ? t sin ? 式称为直线参数方程的标准形式,直线上的动点 M 到定点 M0 的距离等于参数 t 的绝对值.当 t>0 → → 时,M0M的方向向上;当 t<0 时,M0M的方向向下;当点 M 与点 M0 重合时,t=0. 2.若直线的参数方程为一般形式为: ? ?x=x0+at, ?

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