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高一数学必修2线、面垂直的判定与性质


线、面垂直的判定与性质
一、线、面垂直的判定与性质 1.线面垂直的定义:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平面 ? 互 相垂直. 记为l ? ? 2.线面垂直的判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 直线与平面垂直 直线与直线垂直

? l ?b ? ? ? l ?? a ?? ? ? b ?? ? ? a ?b ? A ?

l?a

l

平面的斜线
b

平面的垂线

P
a

A

l

垂足B

斜足A 3.线面角相关概念 (1)斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上 α A B 0 的射影所成的角 (0,90 ) (2)平面的垂线与平面所成的角为直角 斜线PA与平面?所成的角为?PAB (3)一条直线与平面平行或在平 斜线PA在平面内的射影 面内,则这条直线与平面所成的角为 0 0 一条直线与平面所成的角的取值范围是 [0,90 ] 4.二面角相关概念:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠ AOB 即为二面角 α-AB-β 的平面角 注意:二面角的平面角必须满足: (1)角的顶点在棱上.(2)角的两边分别在两个面内. (3)角的边都要垂直于二面角的棱. 0 0 二面角的取值范围 0 ,180 或 [0,? ] 5.面面垂直的定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面 互相垂直.记为 ??? β 6.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

?

?

线线垂直

线面垂直

面面垂直

a ? 面?
a ??? ? ? a // b b ???
α

a??

? ? ??
α
b

a A

7.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行 a a

b

8.面面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直 ? 线面垂直 β ? ?? ?

?

? ? l? ? ?? a ? ? a?? ?
a?l ? ?

a l α
1

A

二、例题解析 题型一、判断问题 例 1、直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则直线 l 与平面 α 的关系是( ) A.l 和平面 α 相互平行 B.l 和平面 α 相互垂直 C.l 在平面 α 内 D.不能确定 变式:如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径; ④正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直( ) A.①③ B.①② C.②④ D.①④ 例 2、已知直线 a∥ 平面 α,a⊥ 平面 β,则( ) A.α⊥ β B.α∥ β C.α 与 β 不垂直 D.以上都有可能 变式:下列命题中错误的是( ) A.如果平面 α⊥ 平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥ 平面 γ,平面 β⊥ 平面 γ,α∩β=l,那么 l ⊥ 平面 γ D.如果平面 α⊥ 平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 例 3、已知 b⊥ 平面 α,a?α, 则直线 a 与直线 b 的位置关系是( ) A.a∥ b B.a⊥ b C.直线 a 与直线 b 垂直相交 D.直线 a 与直线 b 垂直且异面 变式 1:下面四个命题,其中真命题的个数为( ) ① 如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥ α; ② 如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥ α; ③ 如果直线 l 与平面 α 不垂直,则直线 l 和平面 α 内的所有直线都不垂直; ④ 如果直线 l 与平面 α 不垂直,则平面 α 内也可以有无数条直线与直线 l 垂直. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 变式 2:已知平面 α⊥ 平面 β,则下列命题正确的个数是( ) ① α 内的直线必垂直于 β 内的无数条直线;② 在 β 内垂直于 α 与 β 的交线的直线必垂直于 α 内的任 意一条直线;③ α 内的任何一条直线必垂直于 β;④ 过 β 内的任意一点作 α 与 β 交线的垂线,则这 条直线必垂直于 α. A.4 B.3 C.2 D.1 题型二:求角问题(线面角、面面角) 例 1、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值. (2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角.

变式: 如图所示, Rt△BMC 中, 斜边 BM=5 且它在平面 ABC 上的射影 AB 长为 4, ∠MBC=60°, 求 MC 与平面 ABC 所成角的正弦值.

2

例 2、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BC-A1 的平面角是( A.∠ABC B.∠ABB1 C.∠ABA1 D.∠ABC1 变式:如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, PA⊥平面 ABCD,且 PA= 3,AB=1,BC=2,AC= 3, 求二面角 P-CD-B 的大小.

)

题型三:证明问题 例 1、如图,在三棱锥 A-BCD 中,AD,BC,CD 两两互相垂直,M,N 分别为 AB,AC 的中点. (1)求证:BC∥平面 MND; (2)求证:平面 MND⊥平面 ACD.

变式: 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,AB=2,BC ? 2 ,侧面 PAB 是等边三角形,且侧 面 PAB⊥底面 ABCD. P (1)证明:侧面 PAB⊥侧面 PBC; (2)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角.

A B C

D

3

三、巩固练习 1.在三棱锥 VABC 中,VA=VC,AB=BC,则下列结论一定成立的是( ) A.VA⊥BC B.AB⊥VC C.VB⊥AC D.VA⊥VB 2.若 A∈α,B∈α,A∈l,B∈l,P∈l,则( ) A.P?α B.P α C.l α D.P∈α 3.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 4.如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与 平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( ) 6 2 6 15 10 A. B. C. D. 3 5 5 5 5.设 x,y,z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形: ①x,y,z 均为直线;②x,y 是直线,z 是平面;③z 是直线,x,y 是平面;④x,y, z 均为平面.其中使“x⊥z,且 y⊥z?x∥y”为真命题的是( ) A.③④ B.①③ C.②③ D.①② 6. 如图, 正方体 ABCD A1B1C1D1 中, 异面直线 BD1 与 A1D 所成的角等于__________. 7 如图,已知正方体 ABCD A1B1C1D1,则二面角 C1BD C 的正切值为________. 8.如图,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点, AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 ABCF,其中 BC= . 2 (1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 FDEG 的体积 VFDEG. 3

)

4


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