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2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1课件:第2章 圆锥曲线与方程 2.5_图文

阶 段 一

阶 段 三

2.5

圆锥曲线的共同性质
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.了解圆锥曲线的共同性质.(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 圆锥曲线的共同性质 阅读教材 P53 至思考以上部分,完成下列问题. 1.圆锥曲线的共同性质: 圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比 是一个 常数e 这个 常数e . 叫做圆锥曲线的离心率,

定点F

就是圆锥曲线的焦

点, 定直线l 就是该圆锥曲线的准线.

2.圆锥曲线离心率的范围: (1)椭圆的离心率满足 0<e<1 (2)双曲线的离心率满足 e>1 (3)抛物线的离心率满足 e=1 . 3.椭圆和双曲线的准线方程: 根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点 a2 在 x 轴上的椭圆或双曲线,准线方程都是 x=±c . , ,

1.判断正误: (1)到定点 F 与定直线 l 的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.( (2)离心率 e=1 时不表示圆锥曲线.( ) )

a2 c2 (3)椭圆的准线为 x=±c (焦点在 x 轴上),双曲线的准线为 x=±a (焦点在 x 轴 上).( )

【解析】 (1)×.定点 F 不在定直线 l 上时才是圆锥曲线. (2)×.当 e=1 时表示抛物线是圆锥曲线. a2 (3)×.双曲线的准线也是 x=±c .
【答案】 (1)× (2)× (3)×

1 2.离心率为2,准线为 x=± 4 的椭圆方程为________.
2 2 x y 【解析】 由题意知 a=2,c=1,b2=3,∴椭圆方程为 4 + 3 =1.

x2 y2 【答案】 4 + 3 =1

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

[小组合作型]

求焦点坐标及准线方程

求下列曲线的焦点坐标和准线方程: (1)x2-y2=2; (2)4y2+9x2=36; (3)x2+4y=0; (4)3x2-3y2=-2. 【导学号:24830053】

【精彩点拨】 把方程化为标准形式后,确定焦点的位置、利用公式求解. x2 y2 【自主解答】 (1)化方程为标准形式: 2 - 2 =1.

焦点在 x 轴上,a2=2,b2=2,c2=4,c=2. 2 ∴焦点为(± 2,0),准线方程为 x=± 1. 2=±

y2 x2 (2)化方程为标准形式: 9 + 4 =1. 焦点在 y 轴上,a2=9,b2=4,c= 5. 9 9 ∴焦点坐标为(0,± 5),准线方程为 y=± =± 5. 5 5

(3)由方程 x2=-4y 知,曲线为抛物线,p=2, 开口向下,焦点为(0,-1),准线为 y=1. y2 x2 2 2 2 2 (4)化方程为标准形式 2 - 2 =1,a =3,b =3,c= 3 3
? 2 ?0,± 3 ? ? 3?. ?

2 2 2 3 3+3= 3 ,故焦点为

a2 3 准线方程为 y=±c =± =± 3 . 2 3 3

2 3

1.已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是:首先确定圆锥曲线 的类型,其次确定其标准方程的形式,然后确定相关的参数值 a,b,c 或 p,最后 根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程. 2.注意:椭圆、双曲线有两条准线,而抛物线只有一条准线,应区别对待.

[再练一题] 1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程: (1)3x2+4y2=12;(2)2x2-y2=4.

x2 y2 【解】 (1)化方程为标准形式: 4 + 3 =1. 焦点在 x 轴上,a2=4,b2=3,c2=1,c=1. a2 ∴焦点坐标为(± 1,0),准线方程为 x=±c =± 4.

x2 y2 (2)化方程为标准形式: 2 - 4 =1. 焦点在 x 轴上,a2=2,b2=4,c2=6,c= 6. a2 2 6 ∴焦点坐标为(± 6,0),准线方程为 x=±c =± =± 3 . 6

利用圆锥曲线的定义求距离

x2 y2 11 双曲线 9 -16=1 上有一点 P,它到右准线的距离为 5 ,求它到左焦 点的距离.
【精彩点拨】 首先判定点 P 在双曲线的左支还是右支上,然后利用性质把 到准线的距离转化为到焦点的距离求解.

x2 y2 9 9 【自主解答】 双曲线 9 -16=1 的左准线和右准线分别为 x=-5和 x=5, 若 9 24 11 点 P 在双曲线的左支上,则点 P 到右准线的最小距离为5-(-3)= 5 > 5 ,故点 P 11 11 不可能在左支上,而在右支上,所以点 P 到右焦点的距离为 5 e= 3 ,再根据双曲 11 29 线的定义知 PF1-PF2=6,即 PF1=6+PF2=6+ 3 = 3 . 29 即点 P 到左焦点的距离为 3 .

解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种:(1)先利 用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化,再利用对应的 圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决;(2)把思路(1)的 两步过程交换先后顺序来解决.

[再练一题] x2 y2 28 2.椭圆25+16=1 上有一点 P,它到椭圆的左准线的距离为 3 ,求点 P 到椭圆 的右焦点的距离.
【解】 3 =5. 28 28 由圆锥曲线的性质得点 P 到椭圆的左焦点的距离为 3 e= 5 ,再根据椭圆的定 28 28 22 义得,P 到右焦点的距离为 2a- 5 =10- 5 = 5 .

【导学号:24830054】 x2 y2 椭圆25+16=1 中,a2=25,b2=16,则 a=5,c=3,故离心率为 e

[探究共研型]

利用圆锥曲线的定义求最值
探究 1 根据椭圆(双曲线)的共同性质,椭圆(双曲线)上一点 P 到其焦点 F 的 距离 PF,与点 P 到对应准线的距离 d 有什么关系?

PF 【提示】 d =e,即 PF=de(e 为椭圆或双曲线的离心率).

x2 y 2 探究 2 设椭圆 4 + 3 =1 内一点 A(1,1),P 为椭圆上一点,过 P 作椭圆的准线 x=4 的垂线,垂足为 D,则 PA+PD 的最小值是什么?
【提示】 过 A 作直线 x=4 的垂线交椭圆于 P,垂足为 D,则 PA+PD 最小, 最小值为 AD=4-1=3.

探究 3

x2 y 2 设椭圆 4 + 3 =1 外一点 M(1,3),F 为其右焦点,P 为椭圆上一点,P

1 到椭圆的准线 x=4 的距离为 PD,则 PA+2PD 的最小值是什么? 1 1 1 PF 1 【提示】 易知椭圆的离心率是 e=2,由PD=2,得 PF=2PD,故 PA+2PD 1 =PA+PF≥AF=3.即 PA+2PD 的最小值是 3.

x2 y2 已知椭圆 8 + 9 =1 内有一点 M(1,2),F 是椭圆在 y 轴正半轴上的一 个焦点,在椭圆上求一点 P,使得 MP+3PF 的值最小. 1 PF 1 【精彩点拨】 因为椭圆离心率为3,∴ d =3(d 为 P 到相应准线的距离),∴ 3PF=d,将 MP+3PF 转化为 MP+d.

【自主解答】

设 P 点坐标为(x0,y0),P 到 F 对应准线的距离为 d,

1 由方程知 a =9,a=3,b =8,c =1,∴e=3,
2 2 2

PF 1 ∴ d =3,∴3PF=d,∴MP+3PF=MP+d. 当 MP 与准线 l 垂直时 MP+d 最小.
2 x2 y 3 0 0 此时 P 点的横坐标为 x0=1,将 x0=1 代入椭圆方程 8 + 9 =1,得 y0=4 14.

∴P 7.

? 3 点坐标为?1,4 ?

? a2 14?, 最小距离为 c -2=9-2=7.即 ?

MP+3PF 的最小值为

求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线,此过程需借助于圆锥曲线的 统一定义进行等价转化,体现了数形结合与等价转化的数学思想.

[再练一题] x2 y2 3.如图 251 所示, 已知 F 是双曲线 4 -12=1 的左焦点, 定点 A 的坐标为(3,1), 1 P 是双曲线右支上的动点,则2PF+PA 的最小值为多少?

图 251

x2 y2 【解】 由 4 -12=1 知 a=2,c=4,e=2.设点 M 是点 P 在左准线上的射影. PF 则 PM 是 P 到左准线 x=-1 的距离,则PM=2. 1 1 所以2PF=PM,所以2PF+PA=PM+PA. 1 显然当 A,P,M 三点共线时,2PF+PA 的值最小, 1 a2 4 1 即2PF+PA 的最小值为点 A 到双曲线左准线的距离:3+ c =3+4=4.故2PF +PA 的最小值为 4.

x2 y2 1.椭圆 3 + 2 =1 的准线方程是________.

2 a 【解析】 由方程可知 a2=3,b2=2,c2=1,∴c=1,则准线方程为 x=±c =

± 3.

【答案】 x=± 3

2.双曲线 y2-x2=-4 的准线方程是________.

x2 y2 【解析】 把双曲线方程化为 4 - 4 =1,∴a2=4,b2=4,c2=8,即 c=2 2, a2 4 故准线方程是 x=±c =± =± 2. 2 2
【答案】 x=± 2

3.若椭圆的焦点坐标为(1,0),准线方程是 x=12,则该椭圆的方程是________.
a2 【解析】 易知椭圆的焦点在 x 轴上,且 c=1,故准线方程是 x= c =a2=12,
2 2 x y 则 b2=a2-c2=11,故椭圆方程是12+11=1.

x2 y2 【答案】 12+11=1

x2 y2 4.椭圆 4 + 3 =1 上一点 P 到其焦点的距离为 2,则点 P 到对应的准线的距离 为________.
1 1 【解析】 由题意知 a=2,c=1,∴e=2,所以 p 到准线的距离为 2÷ 2=4.
【答案】 4

x2 y2 5.椭圆100+36=1 上有一点 P,它到椭圆的左准线的距离为 10,求点 P 到椭 圆的右焦点的距离. 【导学号:24830055】

x2 y2 【解析】 椭圆100+36=1 中,a2=100,b2=36,则 a=10,c= a2-b2=8, 4 故离心率为 e=5. 根据圆锥曲线的统一定义得,点 P 到椭圆的左焦点的距离为 10e=8. 再根据椭圆的定义得,点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20-8=12.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(十二)

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