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扬州市2013—2014学年度第二学期高一数学期末调研测试试题

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.不等式

x ? 0 的解集为 x ?1



.

2.直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角为



.

3.在相距 2 千米的 A, B 两点处测量目标 C ,若 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 60 ,则 A, C 两点之间
? ?

的距离是



千米(结果保留根号).

4.圆 O1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 0 和圆 O2 : x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的位置关系是



.

5.等比数列 ?an ? 的公比为正数,已知 a3 ? a9 ? 4a52 , a2 ? 2 ,则 a1 ?



.

6.已知圆 O : x2 ? y 2 ? 2x ? my ? 4 ? 0 上两点 M , N 关于直线 2 x ? y ? 0 对称,则圆 O 的半径为 ▲ .

? x? y?2?0 ?5 x ? y ? 10 ? 0 ? 7.已知实数 x , y 满足条件 ? ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 x ? 0 ? ? y?0 ?
8.已知 cos ? ?



.

1 13 ? , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? ,则 ? ? ▲ . 7 14 2 1 n ?1 an( n ? N * ) 9. 若数列 ?an ? 满足:a1 ? ,an ?1 ? , 则 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2n
10.已知函数 f ( x) ? 2 cos ( x ?
2



.

) ? 2sin x cos x ? 3 , x ? (0, ) ,则函数 f ( x) 的值域为 12 3

?

?



.

x 11. 已知函数 f ( x) ? 2 , f (a) ? f (b) ? 8 , 若a ? 0 且b ? 0, 则

1 4 ? 的最小值为 a b



.

高一期末调研测试数学试卷 第 1 页(共 8 页)

12.等比数列 {an } 的公比 q ?

1 31 1 ,前 5 项的和为 .令 bn ? log 1 an ,数列 { } 的前 n 项和 2 64 bnbn ?1 2
▲ .

为 Tn ,若 Tn ? c 对 n ? N * 恒成立,则实数 c 的最小值为

13. ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a, b, c .若 b ? ac ,则
2

sin A ? cos A tan C 的取值范围是 sin B ? cos B tan C



.

14.实数 a, b, c 成等差数列,过点 P(?3, 2) 作直线 ax ? by ? c ? 0 的垂线,垂足为 M .又已知点

N (2,3) ,则线段 MN 长的取值范围是



.

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 已知 ?ABC 的三个顶点的坐标为 A(1,1), B(3, 2), C (5, 4) . (1)求边 AB 上的高所在直线的方程; (2)若直线 l 与 AC 平行,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,求直线 l 与两条坐标轴 围成的三角形的周长.

16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 2b cos A ? c cos A ? a cos C . (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? c ? 2a , ?ABC 的面积 S ?

3 ,求 a 的长. 12

17. (本题满分 15 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? n ? 2n .等比数列 ?bn ? 满足: b1 ? 3, b4 ? 81 .
2

(1)求证:数列 {an } 为等差数列; (2)若 Tn ?

a a1 a2 a3 ? ? ? ? ? n ,求 Tn . b1 b2 b3 bn

高一期末调研测试数学试卷 第 2 页(共 8 页)

18. (本题满分 15 分) 如图, ABCD 是长方形海域,其中 AB ? 10 海里, AD ? 10 2 海里.现有一架飞机在该 海域失事,两艘海事搜救船在 A 处同时出发,沿直线 AP 、 AQ 向前联合搜索,且 ?PAQ ?

?
4

(其中 P 、 Q 分别在边 BC 、 CD 上) ,搜索区域为平面四边形 APCQ 围成的海平面.设

?PAB ? ? ,搜索区域的面积为 S . (1)试建立 S 与 tan ? 的关系式,并指出 tan ? 的取值范围; (2)求 S 的最大值,并指出此时 ? 的值.

D

Q

C

P
19. (本题满分 16 分) 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 和点 M (1, 4) . (1)过点 M 向圆 O 引切线,求切线的方程; (2)求以点 M 为圆心,且被直线 y ? 2 x ? 8 截得的弦长为 8 的圆 M 的方程; (3)设 P 为(2)中圆 M 上任意一点,过点 P 向圆 O 引切线,切点为 Q,试探究:平面内是否 存在一定点 R,使得

A

B

PQ 为定值?若存在,请求出定点 R 的坐标,并指出相应的定值;若 PR

不存在,请说明理由.

20. (本题满分 16 分) (1)公差大于 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , {an } 的前三项分别加上 1,1,3 后顺次成为 某个等比数列的连续三项, S5 ? 25 . ①求数列 {an } 的通项公式; ②令 bn ? t n (t ? 0) ,若对一切 n ? N * ,都有 bn?1 ? 2bnbn?2 ,求 t 的取值范围;
S 2

(2)是否存在各项都是正整数的无穷数列 {cn } ,使 cn?1 ? 2cncn?2 对一切 n ? N * 都成立,若存在,
2

请写出数列 {cn } 的一个通项公式;若不存在,请说明理由.

高一期末调研测试数学试卷 第 3 页(共 8 页)

1. (0,1) 7.11 13. (

2.

? 6

3. 6

4.相交 10. (?2, ?1]

5.1 11.3 12.

6.3

8.

? 3

9.

n 2n

1 2

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

14. ? 2,5 2 ?

?

?
1 ,∴边 AB 上的高所在直线的斜率为 ?2 2
…………3 分 …7 分

15.解: (1)? k AB ?

又∵直线过点 C (5, 4) ∴直线的方程为: y ? 4 ? ?2( x ? 5) ,即 2 x ? y ? 14 ? 0 (2)设直线 l 的方程为:

x y a 3 ? ? 1 ,即 y ? ? x?a ? k AC ? …10 分 a ?1 a a ?1 4 3 a 3 x y ?? ? , 解得: a ? ? ∴直线 l 的方程为: ? ? 1 ……………12 分 4 3 7 a ?1 4 ? 7 7
2 2 ∴直线 l 过点 ( , 0), (0, ? ), 三角形斜边长为 ( ) ? ( ) ?

4 7

3 7

4 7

3 7

5 7
…………14 分

∴直线 l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为

5 4 3 12 ? ? ? . 7 7 7 7

注:设直线斜截式求解也可. 16.解: (1)由正弦定理可得: 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C , 即 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ;∵ B ? ? ? ( A ? C ) ∴ cos A ? (2)∵ S ? ∴ sin B ? sin( A ? C ) 且不为 0 ……………7 分

1 2

∵ A ? (0, ? ) ∴ A ?

?
3
1 3
2

1 3 3 bc sin A ? bc ? 2 4 12
2 2 2

∴ bc ?

……………9 分

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc ,
2 2 又∵ b ? c ? 2a , a ? 0 ∴ a ? 2a ? 1 ,解得: a ? 1

……………11 分 ………………14 分 ………………2 分

17.解: (1)由已知得: a1 ? 3 ,

n ? 2 且 n ? N * 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? 2n) ? [(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 2n ? 1
经检验 a1 亦满足 an ? 2n ? 1 ∴ an ? 2n ? 1(n ? N *) ………………5 分

高一期末调研测试数学试卷 第 4 页(共 8 页)

∴ an?1 ? an ? [2(n ? 1) ? 1] ? (2n ? 1) ? 2 为常数 ∴ {an } 为等差数列,且通项公式为 an ? 2n ? 1(n ? N *) (2)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 q ?
3

………………7 分

b4 ? 27 , b1 an 2n ? 1 ? n bn 3
① ② ……………9 分

∴ q ? 3 ,则 bn ? 3 ? 3n ?1 ? 3n , n ? N * ∴

3 5 7 2n ? 1 ?Tn ? ? 2 ? 3 ? ?? ? n 3 3 3 3 1 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 Tn ? ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 3 3 3 3 3 3 ① ? ②得:

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 2 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 1 4 2n ? 4 3 Tn ? 1 ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ? n ) ? n?1 ? 1 ? 2 ? 3 ? n?1 ? ? n?1 …13 分 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1? 3 n?2 ?Tn ? 2 ? n , n ? N * ………………15 分 3 1 18.解: (1)在 Rt ?APB 中, BP ? 10 tan ? , S ?ABP ? ? 10 ? 10 tan ? ? 50 tan ? 2 ? 在 Rt ?ADQ 中, DQ ? 10 2 tan( ? ? ) , 4 1 ? ? S?ADQ ? ? 10 2 ? 10 2 tan( ? ? ) ? 100 tan( ? ? ) 2 4 4 ? 1 ? tan ? ∴ S ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 tan( ? ? ) ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 ? …5 分 4 1 ? tan ?

0 ? tan ? ? 1 ? ? 其中 ? ? 2 ,解得: 3 ? 2 2 ? tan ? ? 1 0 ? tan( ? ? ) ? ? ? 4 2
(注:观察图形的极端位置,计算出 tan ? 的范围也可得分. ) ∴ S ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 ? (2)∵ tan ? ? 0 ,

1 ? tan ? , 3 ? 2 2 ? tan ? ? 1 1 ? tan ?

………………8 分

S ? 100 2 ? 50(tan ? ? 2 ?

1 ? tan ? 4 ) ? 100 2 ? 50(tan ? ? 1 ? ? 3) 1 ? tan ? tan ? ? 1

? 100 2 ? 50(2 (tan ? ? 1) ?

4 tan ? ? 1

? 3) ? 100 2 ? 50

……………13 分

高一期末调研测试数学试卷 第 5 页(共 8 页)

当且仅当 tan ? ? 1 ? ∵ ? ? (0,

4 tan ? ? 1

时取等号,亦即 tan ? ? 1 时, Smax ? 100 2 ? 50

?
2

)
4

?? ?

?

答:当 ? ?

?

4
……………15 分

时, S 有最大值 100 2 ? 50 .

19.解: (1)若过点 M 的直线斜率不存在,直线方程为: x ? 1 ,为圆 O 的切线; …………1 分 当切线 l 的斜率存在时,设直线方程为: y ? 4 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 4 ? 0 , ∴圆心 O 到切线的距离为:

| ?k ? 4 | k 2 ?1

? 1 ,解得: k ?

15 8

∴直线方程为: 15x ? 8 y ? 17 ? 0 . 综上,切线的方程为: x ? 1 或 15x ? 8 y ? 17 ? 0 (2)点 M (1, 4) 到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的距离为: d ? ……………4 分

| 2 ? 4 ?8| ?2 5, 5
……………7 分 ……………8 分

又∵圆被直线 y ? 2 x ? 8 截得的弦长为 8 ∴ r ? ∴圆 M 的方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 36

(2 5) 2 ? 42 ? 6

(3)假设存在定点 R,使得

PQ PQ 2 ?? 为定值,设 R (a, b) , P( x, y ) , PR PR 2
……………10 分

∵点 P 在圆 M 上 ∴ ( x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 36 ,则 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 19

∵PQ 为圆 O 的切线∴ OQ ? PQ ∴ PQ2 ? PO2 ?1 ? x2 ? y 2 ?1 , PR2 ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2

? x2 ? y 2 ?1 ? ?[( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ] 即 2x ? 8 y ? 19 ?1 ? ? (2x ? 8 y ? 19 ? 2ax ? 2by ? a2 ? b2 )
整理得: (2 ? 2? ? 2a? ) x ? (8 ? 8? ? 2b? ) y ? (18 ?19? ? a
2

? ? b2? ) ? 0 (*)

? 2 ? 2? ? 2a? ? 0 ? 8 ? 8? ? 2b? ? 0 若使(*)对任意 x , y 恒成立,则 ? ?18 ? 19? ? a 2 ? ? b 2? ? 0 ?

……………13 分

高一期末调研测试数学试卷 第 6 页(共 8 页)

? ?1 ? a? ? ? ? ,代入得: 18 ? 19? ? ( ? ? 1) 2 ? ? ( 4? ? 4 ) 2 ? ? 0 ∴? ? ? ?b ? 4 ? ? 4 ? ? ?
17 ? 1 ??? ? ? ? 18 ? 2 ? ? 1 ? ∴ ? a ? ?1 或 ? a ? ? 17 ?b ? ?4 ? 4 ? ? ? ?b ? ? 17 ?

2 整理得: 36? ? 52? ? 17 ? 0 ,解得: ? ?

1 17 或? ? 2 18

∴存在定点 R (?1, ?4) ,此时

PQ PQ 1 4 34 2 为定值 或定点 R ( ? , ? ) ,此时 为定值 . PR PR 17 17 6 2
………………16 分

20.解: (1)①设等差数列 {an } 的公差为 d . ∵ S5 ? 25 ∴ S5 ?

5(a1 ? a5 ) ? 5a3 ? 25 2

∴ a3 ? 5

∵ {an } 的前三项分别加上 1,1,3 后顺次成为某个等比数列的连续三项 ∴ (a2 ? 1)2 ? (a1 ? 1)(a3 ? 3) 即 (a3 ? d ? 1)2 ? (a3 ? 2d ? 1)(a3 ? 3) ,∴ (6 ? d ) ? 8(6 ? 2d )
2

解得: d ? 2 或 d ? ?6 ∵d ? 0 ∴d ? 2 ∴ an ? 5 ? 2(n ? 3) ? 2n ?1 , n ? N *
2

………4 分
2

②∵ a1 ? 1 ∴ Sn ? n2 ∴ bn ? t n ∵t ? 0 ∴0 ? t ?

∴ [t ( n?1) ]2 ? 2t n ? t ( n?2) ,整理得: t ?

2

2

2

1 2
………7 分

2 2
2

(2)假设存在各项都是正整数的无穷数列 {cn } ,使 cn?1 ? 2cncn?2 对一切 n ? N * 都成立,则 ∴

cn ?1 c ? 2 ? n?2 cn cn ?1 cn c c c c c ? 2 ? n ?1 ,……, 2 ? 2 ? 3 ,将 n ? 1 个不等式叠乘得: n ? 2n?1 ? n?1 cn ?1 cn c1 c2 c1 c2



高一期末调研测试数学试卷 第 7 页(共 8 页)



cn?1 1 c ? n?1 ? 2 ( n ? 2, n ? N * ) cn 2 c1 c c2 1 c ? 1 ,则 n ?1 ? 2 ? 1 ∴当 n ? N * 时, n ?1 ? 1 ,即 cn?1 ? cn c1 2 c1 cn
∴ cn?1 ? cn ? ?1 ,令 c1 ? M ,所以

………10 分



∵ cn ? N *

cM ?2 ? (cM ?2 ? cM ?1 ) ? (cM ?1 ? cM ) ? (cM ? cM ?1 ) ? ?? (c2 ? c1 ) ? c1 ? ?(M ? 1) ? M ? ?1 ? 0
与 cM ? 2 ? N * 矛盾. 若 ………13 分

c2 c c 1 ? 1 ,取 N 为 log 2 2 ? 2 的整数部分,则当 n ? N 时, 2 ? n ?1 ? 1 c1 c1 c1 2 cn ?1 ? 1 ,即 cn?1 ? cn cn

∴当 n ? N 时, ∵ cn ? N *

∴ cn?1 ? cn ? ?1 ,令 cN ? M ,所以

cN ? M ?1 ? (cN ? M ?1 ? cN ? M ) ? (cN ? M ? cN ? M ?1 ) ? (cN ? M ?1 ? cN ? M ?2 ) ? ? ? (cN ?1 ? cN ) ? cN ? ?(M ? 1) ? M ? ?1 ? 0
与 cN ? M ?1 ? N * 矛盾.
2 n ? N * 都成 ∴假设不成立,即不存在各项都是正整数的无穷数列 {cn } ,使 cn ?1 ? 2cncn?2 对一切

立.

………16 分

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