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数学-南通、扬州、淮安、泰州四市2015届高三第三次调研 数学


江苏省南通、扬州、淮安、泰州四市 2015 届高三第三次调研

数 学 试 题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . . 1. 设集合 A?{3,m},B?{3m,3},且 A?B,则实数 m 的值是 【答案】0 2. 已知复数 z? (1 ? i )(1 ? 【答案】3 3. 已知实数 x,y 满足条件 ? 【答案】?3 4. 为了解学生课外阅读的情况,随机统计了 n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在中, 其频率分布直方图如图所示.已知在 [5 0,7 5 ) 中的频数为 100,则 n 的值为 【答案】1000
0.016 0.012 0.008 0.004 0 50 75 100 125 150 时间(小时) (第 4 题) 输出 y 结束 (第 5 题) 频率 组距 N y←5 开始 输入 x x<4 Y y←x ?2x+2
2





2i)

(i 为虚数单位),则 z 的实部为





? | x |≤ 1 , ? | y |≤ 1,

则 z?2x+y 的最小值是









5. 在如图所示的算法流程图中,若输出的 y 的值为 26,则输入的 x 的值为 【答案】?4





6. 从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中任取一个数记为 x, 则 log2x 为整数的概率为 【答案】
4 9





7. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 为抛物线 x2?8y 的焦点,则 F 到双曲线 x 2 近线的距离为 【答案】
10 5

?

y

2

9

?1

的渐





8. 在等差数列{an}中,若 an+an+2?4n+6(n∈N*) ,则该数列的通项公式 an?
1





【答案】2n+1 9. 给出下列三个命题: ①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件; ②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件; ③“a?0”是“函数 f(x) ??x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为 【答案】③ 10.已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm,其表面展开图如图所示,则该空间几何体 的体积 V? ▲ cm3.
D C
2 6





【答案】 1 ?

F P A (第 10 题) B E (第 11 题)

11.

如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,
PD

作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 E F 上的动点,则 P C 【答案】 5 ? 12.
2 5

的最小值为





已知函数

? 2 x ? 3 x ? m , 0 ≤ x ≤ 1, f (x) ? ? 若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不 x> 1 . ? m x ? 5,

3

2

同的交点,则实数 m 的取值范围为 【答案】 (?5,0)





13.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(?5,a)作圆 x2+y2?2ax+2y?1?0 的两条切线,切点 分别为 M(x1,y1),N(x2,y2),且 【答案】3 或?? 14.已知正实数 x,y 满足 x 【答案】
? 2 x ? 3y ? 4 y ? 10 y 2 ? y1 x 2 ? x1 ? x1 ? x 2 ? 2 y1 ? y 2 ? 0

,则实数 a 的值为





,则 xy 的取值范围为





2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文 ....... 字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,B1C⊥AB,侧面 BCC1B1 为菱形. (1)求证:平面 ABC1⊥平面 BCC1B1; (2)如果点 D,E 分别为 A1C1,BB1 的中点, 求证:DE∥平面 ABC1. 解: (1)因三棱柱 ABC?A1B1C1 的侧面 BCC1B1 为菱形, 故 B1C⊥BC1.……………………………………………………………………… 又 B1C⊥AB,且 AB,BC1 为平面 ABC1 内的两条相交直线, 故 B1C⊥平面 ABC1. 因 B1C ? 平面 BCC1B1, 故平面 ABC1⊥平面 BCC1B1. (2)如图,取 AA1 的中点 F,连 DF,FE. 又 D 为 A1C1 的中点,故 DF∥AC1,EF∥AB. 因 DF ? 平面 ABC1,AC1 ? 平面 ABC1, 故 DF∥面 ABC1. 同理,EF∥面 ABC1. 因 DF,EF 为平面 DEF 内的两条相交直线, 故平面 DEF∥面 ABC1.……………………………………………………………… 12 分 因 DE ? 平面 DEF, 故 DE∥面 ABC1.…………………………………………………………………… 14 分
A B (第 15 题答图) F E C A1 B1 D C1 E A B (第 15 题) C A1 B1 D C1

2分

5分

7分

………………… 10 分

16. (本小题满分 14 分)
y

已知函数

f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )

(其中 A, ? , ? 为常数, )的部分图象如图所示.
? ? 3

2 O ?2
?? 3

且 A>0, ? >0, ?

? 2

< ?<

? 2

x

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若
f (? ) ? 3 2

,求 s in ( 2 ?

?

? 6

(第 16 题)
)

的值.

解: (1)由图可知,A?2,……………………………………………………………
3

2 分?

? ? ? ?

T? 2 ? ,故 ? 又
f( 2? 3

? 1 ,所以,f(x)
2? 3 ??) ? 2 ? 6

? 2 s in ( x
? 2

? ? ) .……………………………………

4分

) ? 2 s in (

,且 ?

< ?<

? 2

,故 ?

? ?

? 6

.? 7 分? 9 分? 12 分 14 分

于是,f(x) ? 2 s in ( x (2)由
f (? ) ? 3 2
?

?

)

.…………………………………………………………
? ? 6 ) ? 3 4
? ? ? 2 (? ? ) ? ? 6 ? ?

,得 s in (?

.………………………………………… …………………………

所以, s in ( 2 ?

?

? ?? ? ) ? s in 2 ( ? ? ) ? ? cos ? ? 6 6 2? ?

=1 ?

2 s in (? ?

2

? 6

)? ?

1 8

.……………………………………

17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 0),F2(
3
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

(a>b>0)的两焦点分别为 F1( ?

3



,0),且经过点(

3



1 2

).

(1)求椭圆的方程及离心率; (2)设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称.设 直线 CD,CB,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2?k3k4. ①求 k1k2 的值; ②求 OB2+OC2 的值.
F1 D C O B F2 x y

解: (1)方法一 依题意,c?
1 3 b
2

(第 17 题)
3

,a2?b2+3,……………………………………………………… ,解得 b2?1(b2? ?
x
2

2分



? 3

?

4 b
2

?1

3 4

,不合,舍去),从而 a2?4.

故所求椭圆方程为: 离心率 e? 方法二
3 2

4

? y

2

?1

. 5分

.……………………………………………………………………

由椭圆的定义知,2a?

(?

3 ?

3 ) ? (0 ?

2

1 2

)

2

?

( 3 ?

3 ) ? (0 ?

2

1 2

)

2

?4,

4

即 a?2.…………………………………………………………………………… 又因 c?
3

2分

,故 b2?1.下略.

(2)①设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 D(?x1,?y1),
y 2 ? y1 x 2 ? x1 y 2 ? y1 x 2 ? x1
y2 ? y
2 2 2
1

于是 k1k2? ②方法一

?

?

x 2 ? x1

2

?

(1 ?

x2 4

2

) ? (1 ?
2 2

x1 4

2

)

x 2 ? x1

??

1 4

.…………………

8分

由①知,k3k4?k1k2? ?

1 4

,故 x1x2? ? 4 y 1 y 2 .
x1 4
2

所以,(x1x2)2?(?4y1y2)2,即(x1x2)2? 1 6 (1 ? 所以, x 12 又 2? (
x1 4
2

)(1 ?

x2 4

2

)

?1 6 ?

4 ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2

2

2

2

2



? x2
2

2

?4.…………………………………………………………………… 11 分
x2 4
2

? y1 ) ? (

? y2 )
2

2

?

x1 ? x 2 4
2 2

2

2

? y1 ? y 2

2

2

,故 y 12

? y2 ? 1 .
2

所以,OB2+OC2 ? x12 方法二

? y1 ? x 2 ? y 2

?5.…………………………………………

14 分

由①知,k3k4?k1k2? ?

1 4


x
2 2

将直线 y?k3x 方程代入椭圆 同理, x 22 所以, x12
4 1 ? 4k4
2

4

? y

?1

中,得 x 12

?

4 1 ? 4k3
2

.……………………

9分

?

2


4 4 1 ? 4k4
2

? x2 ?

1 ? 4k3

2

?

?

4 1 ? 4k3
2

?

4 1 ? 4(? 1 4k3 )
2

?4.……………………

11 分

下同方法一.

5

18. (本小题满分 16 分) 为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为 200 m,圆心角为 120°的扇形地上 建造市民广场.规划设计如图:内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区,其中 A,B 分别在 半径 OP, OQ 上, C, D 在圆弧 P Q 上, CD∥AB; △OAB 区域为文化展示区, AB 长为 5 0 其余空地为绿化区域,且 CD 长不得超过 ....200 m. (1)试确定 A,B 的位置,使△OAB 的周长最大? (2)当△OAB 的周长最大时,设∠DOC= 2 ? ,试将运动休闲 区 ABCD 的面积 S 表示为 ? 的函数,并求出 S 的最大值.
D B P A O
2? 3
3

m;

C Q

解: (1)设 O A

? m , O B ? n , m , n ? (0,2 0 0 ] ,
? OA ? OB
2 2

在△ O A B 中, A B 2 即 (5 0
3)
2

? 2O A ? O B ? cos



(第 18 题)

? m

2

? n

2

? mn

,……………………………………………………
2

2分 4分

所以, (5 0 所以 m 值.

3 ) ? (m ? n) ? m n ≥ (m ? n) ?

2

2

(m ? n) 4
? n

2

?

3 4

(m ? n)

2

,…………

? n ≤ 100

,当且仅当 m=n=50 时, m

取得最大值,此时△ O A B 周长取得最大

答:当 O A、 O B 都为 50 m 时,△ O A B 的周长最大. (2)当△AOB 的周长最大时,梯形 ACBD 为等腰梯形. 过 O 作 OF⊥CD 交 CD 于 F,交 AB 于 E, 则 E 、 F 分别为 AB,CD 的中点, 所以 ? D O E
??

C Q F

6分

D

,由 C D

≤ 200

,得 ?

? ( 0, ] . 6

?

E P A O

B

8分

在△ O D F 中, D F

? 2 0 0 s in ? ,O F ? 2 0 0 c o s ?
? O A cos ? 3 ? 25



(第 18 题答图)

又在△ A O E 中, O E 所以, S
? 1 2 (5 0

,故 E F

? 2 0 0 co s ? ? 2 5



10 分

3 ? 4 0 0 s in ? )( 2 0 0 c o s ? ? 2 5 )

? 625(
? 6 2 5 (8

3 ? 8 s in ? )(8 c o s ? ? 1) 3 c o s ? ? 8 s in ? ? 6 4 s in ? c o s ? ?

3)

,?

? ? ( 0, ] .………… 6

12 分

(一直没有交代范围扣 2 分) 令
f (? ) ? 8 3 c o s ? ? 8 s in ? ? 6 4 s in ? c o s ? ? 3

,?

? ? ( 0, ] , 6

6

f ? (? ) ? ? 8 3 s in ? ? 8 c o s ? ? 6 4 c o s 2 ? ? ? 1 6 s in (? ?

? 6

) ? 6 4 c o s 2?

,?

? ? ( 0, ] 6



又 y= ? 1 6 s in (? 故 因
f ? (? )

?

?
6

)

及 y= co s 2? 在 ?

? ? ( 0, ] 上均为单调递减函数, 6

在?

? ? ( 0, ] 上为单调递减函数. 6
3 2 ? 4? 1 2 )

f ?(

? 6

) ? ?16(

>0,故

f ? (? )

>0 在 ?

? ? ( 0, ] 上恒成立, 6

于是,

f (? )

在?

? ? ( 0, ] 上为单调递增函数. 6

……… 14 分
3)

所以当 ? 答:当 ?

?

? 6 ? 6

时,

f (? )

有最大值,此时 S 有最大值为 6 2 5 (8 ? 1 5

. m2.… 16 分

?

时,梯形 A B C D 面积有最大值,且最大值为 6 2 5 (8 ? 1 5

3)

19. (本小题满分 16 分) 已知数列{an},{bn}中,a1=1, b n (1)若 a n
? 2
n ?1

? (1 ?

an
2

2

a n ?1

)?

1 a n ?1

,n∈N?,数列{bn}的前 n 项和为 Sn.

,求 Sn;
? Sn

(2)是否存在等比数列{an},使 b n ? 2

对任意 n∈N*恒成立?若存在,求出所有满足

条件的数列{an}的通项公式;若不存在,说明理由; (3)若 a1≤a2≤…≤an≤…,求证:0≤Sn<2. 解: (1)当 an? 2 n ? 1 时,bn? (1 ? 所以,Sn?
3 8 (1 ? 1 2 ? ? 1 2
n ?1

1 4

)?

1 2 3 4
n

?
?

3 2
n?2

.……………………………………… .………………………………………

2分 4分

)?

3 2
n?2

(2)满足条件的数列{an}存在且只有两个,其通项公式为 an=1 和 an= ( ? 1) n ? 1 . 证明:在 b n ? 2
? Sn

中,令 n=1,得 b3=b1.
1 q
2

设 an= q n ? 1 ,则 bn= (1 ? 由 b3=b1,得 (1 ?
1 q
2

)

1 q
n

.…………………………………………………
1 q
2

6分

)

1 q
3

? (1 ?

)

1 q

. 8分

若 q= ? 1 ,则 bn=0,满足题设条件.此时 an=1 和 an= ( ? 1) n ? 1 .………………… 若 q?
? 1 ,则
1 q
3

?

1 q

,即 q2 =1,矛盾.

综上,满足条件的数列{an}存在,且只有两个,一是 an=1,另一是 an= ( ? 1) n ? 1 . 10 分
7

(3)因 1=a1≤a2≤…≤an≤…,故 a n > 0 ,0<
an
2 2

an a n ?1

≤1,于是 0<

an
2

2

a n ?1

≤1.

所以, b n

? (1 ?

a n ?1

)?

1 a n ?1

≥0,n?1,2,3,…. 13 分

所以,Sn?b1+b2+…+bn≥0.………………………………………………………… 又, b n
? (1 ? an
2 2

a n ?1

)?

1 a n ?1

? (1 ?
1 a n ?1

an a n ?1 an a n ?1

)(1 ?

an a n ?1 1 an

)?

1 a n ?1 1 )

? (1 ?

an a n ?1

)(

1 an

?

)?

≤ 2(

?


1 an 1 a n ?1

a n ?1

故,Sn?b1+b2+…+bn≤ 2 ( ? 2(
1 a1 1 a n ?1

1 a1

?

1 a2 1

) ? 2(

1 a2

?

1 a3

)?

? 2(

?

)

?

)

? 2 (1 ?

a n ?1

)

<2. 16 分

所以,0≤Sn<2.…………………………………………………………………

20. (本小题满分 16 分) 已知函数
f (x) ? a ? 1 x ? ln x
f (x)

(a∈R) . 在(1,e2)上的零点个数(e 为自然对数的底数) ;

(1)若 a=2,求函数 (2)若 (3)若
f (x)
f (x)

恰有一个零点,求 a 的取值集合; 有两零点 x1,x2(x1<x2),求证:2<x1+x2< 3 e a ? 1 ?1.
f ?( x )

解: (1)由题设, 所以 又
f (x)

?

1? x x
2

,故

f (x)

在(1,e2)上单调递减.……………………

2分

在(1,e2)上至多只有一个零点.
2

f (1) f ( e ) ? 1 ? ( ?

1 e
2

)

<0,故函数
f ?( x )

f (x)

在(1,e2)上只有一个零点.…………… 4 分

(2)

f ?( x )

?

1? x x
2

,令

?0,得 x?1. 在 (1, ?
?)

当 x>1 时,

f ?( x )

<0,

f (x)

上单调递减;

当 0<x<1 时, 故[ f
( x )] m a x

f ?( x )

>0,

f (x)

在(0,1)上单调递增, 6分 8分

?f(1)?a?1.……………………………………………………… ?0,即 a?1 时,因最大值点唯一,故符合题设;…………… <0,即 a<1 时,f(x)<0 恒成立,不合题设; >0,即 a>1 时,一方面, ? e a >1,
f (e ) ? ?
a

①当 [ f ②当 [ f ③当 [ f

( x )] m a x ( x )] m a x

( x )] m a x

1 e
a

<0;

8

另一方面, ? e ? a <1,

f (e

?a

) ? 2a ? e

a

≤2a?ea<0(易证:ex≥ex),

于是,f(x)有两零点,不合题设. 综上,a 的取值集合为{1}.………………………………………………………… (3)证:先证 x1+x2>2. 依题设,有 a? 记
x2 x1 1 x1 ? ln x 1 ? 1 x2 ? ln x 2

10 分

,于是

x 2 ? x1 x1 x 2

? ln

x2 x1



?t,t>1,则 ln t

?

t ?1 tx 1

,故 x1

?

t ?1 t ln t
t
2


?1

于是,x1+x2?x1(t+1)? 记函数 g(x)? 因 g ?( x )
? x ?1 2x
2 2

t ?1 t ln t

2

2(

,x1+x2?2?

2t

? ln t )

ln t



? ln x

,x>1.
?)

( x ? 1) 2x
2

>0,故 g(x)在 (1, ?

上单调递增.

于是,t>1 时,g(t)>g(1)?0. 又 lnt>0,所以,x1+x2>2.…………………………………………………………… 13 分 再证 x1+x2< 3 e a ? 1 ?1. 因 f(x)?0 ? h(x)?ax?1?xlnx?0,故 x1,x2 也是 h(x)的两零点. 由 h ? ( x ) ?a?1?lnx?0,得 x? e a ? 1 (记 p? e a ? 1 ). 仿(1)知,p 是 h(x)的唯一最大值点,故有 ? 作函数 h(x)? ln
2(x ? p) x ? p
? h ( p )> 0 , ? x 1< p < x 2 .

x ?

? ln p

,则 h ? ( x )

?

(x ? p)

2 2

x(x ? p)

≥0,故 h(x)单调递增.

故,当 x>p 时,h(x)>h(p)?0;当 0<x<p 时,h(x)<0. 于是,ax1?1?x1lnx1< 整理,得 ( 2 ? 即, x12
? (3 e
2 x1 ( x1 ? p ) x1 ? p
2

? x 1 ln p

. >0,

ln p ? a ) x 1 ? ( 2 p ? a p ? p ln p ? 1) x 1 ? p

a ?1

? 1) x 1 ? e
a ?1

a ?1

>0.
a ?1

同理, x 22 故, x 22

? (3 e
a ?1

? 1) x 2 ? e
a ?1

<0.
? (3 e
a ?1

? (3 e

? 1) x 2 ? e
a ?1

< x12

? 1) x 1 ? e

a ?1



( x 2 ? x 1 )( x 2 ? x 1 )< (3 e

? 1)( x 2 ? x1 )



于是, x 1

? x 2< 3 e

a ?1

?1



9

综上,2<x1+x2< 3 e a ? 1 ?1.………………………………………………………

16 分

10

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 . . 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A. (本小题满分 10 分) 如图, BC 为圆 O 的直径, A 为圆 O 上一点, 过点 A 作圆 O 的切线交 BC 的延长线于点 P, AH⊥PB 于 H. 求证:PA· AH?PC· HB.
C B H O

证:连 AC,AB. 因 BC 为圆 O 的直径,故 AC⊥AB. 又 AH⊥PB,故 AH2?CH· HB,即
AH CH ? HB AH

P

A (第 21(A)题)

.………………………………

5分

因 PA 为圆 O 的切线,故∠PAC?∠B. 在 Rt△ABC 中,∠B+∠ACB??0°. 在 Rt△ACH 中,∠CAH+∠ACB??0°. 所以,∠HAC?∠B. 所以,∠PAC?∠CAH, 所以, 所以,
PC CH PA PC ? PA AH HB AH

B H C P A (第 21(A)题答图) O

,即

AH CH

?

PA PC

. 10 分

?

,即 PA· AH?PC· HB.…………………………………………

B. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(1,2) ,矩阵 M
? 0 ? ? 1 ?? ? 2 1? ? 0? ?



点 A,B,C 在矩阵 M 对应的变换作用下得到的点分别为 A ? , B ? , C ? ,求△ A ? B ?C ? 的 面积. 解:因 M
?0 ? ?0? ? ? ? ? ? ?0 ? ?0?

,M

?2? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? 1?

,M

? 2 ?1 ? ? ? 1 ? ? ?? 2 ? ? ? 2

? ? ? ?



即 A ? ( 0, 0 ), B ? ( 0, ? 1), C ? ( 2, ?

1 2

)

.……………………………………………………

6分

11

故S

?

1 2

? A ? B ? ? 2 ? 1 .………………………………………………………………

10 分

12

C. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?
? x ? r cos ? , ? y ? r s in ? ,

( ? 为参数,r 为常数,r

>0) .以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为
2 ? c o s (? ? ? 4 )? 2 ? 0 ? 4

.若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 A B ,得 ? c o s ?
? ? sin ? ? 2 ? 0

? 2

2

,求 r 的值.

解:由

2 ? c o s (? ?

)? 2 ? 0



即直线 l 的方程为 x ? 由?
? x ? r cos ? , ? y ? r s in ? ,

y ? 2 ? 0

.…………………………………………………… 3 分 ,圆心坐标为 ( 0 , 0 ) ,……… 6分

得曲线 C 的普通方程为 x 2

? y

2

? r

2

所以,圆心到直线的距离 d

?

2

,由 A B

? 2

r

2

? d

2

,则 r

? 2

.……………… 10 分

D. (本小题满分 10 分) 已知实数 a,b,c,d 满足 a>b>c>d,求证: 证:因 a>b>c>d,故 a?b>0,b?c>0,c?d>0. 故 [( a
4 9 ? ? 1 2 ? b ) ? ( b ? c ) ? ( c ? d )] ? ? ? ? ≥ (1 ? 2 ? 3 ) ? 3 6 b ? c c ? d ? ? a ?b

1 a ?b

?

4 b ?c

?

9 c? d



36 a ? d



,…………… 6 分

所以,

1 a ?b

?

4 b ?c

?

9 c? d



36 a ? d

.………………………………………………… 10 分

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中, A A1
? 2 AB

D1 A1 B1

C1



(1)求 A D 1 与面 B B 1 D 1 D 所成角的正弦值; (2)点 E 在侧棱 A A1 上,若二面角 E?BD?C1 的余弦值为 求
AE A A1 3 3


D A (第 22 题) B C

的值.

解: (1)以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,

13

建立如图所示空间直角坐标系 D?xyz. 设 AB
? 1 ,则

z D1 A1 B1 C1

D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,

B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,D1(0,0,2) , A1(1,0,2) ,B1(1,1,2) ,C1(0,1,2) . (1)设 A D 1 与面 B B 1 D 1 D 所成角的大小为 ? ,
A D 1 ? ( ? 1,0 ,2 )

2分
D C y



A B x (第 22 题答图)

设平面 B B 1 D 1 D 的法向量为 n?(x,y,z) ,
D B ? (1,1, 0 )

, D D1

? (0, 0, 2 )

,则 n ? D B

? 0, n ? D D1 ? 0

,即 x

? y ? 0, z ? 0


10 10

令x

? 1 ,则 y ? ? 1

,所以 n

? (1, ? 1,0 )

, s in ?
10 10

? | c o s ? A D 1 , n ? |? |

A D1 ? n | A D 1 || n |

|?



所以 A D 1 与平面 B B 1 D 1 D 所成角的正弦值为 (2)设 E(1,0, ? ),0≤ ? ≤2.

.…………………………

6分

设平面 E B D 的法向量为 n1?(x1,y1,z1) ,平面 B D C 1 的法向量为 n2?(x2,y2,z2) ,
D B ? (1, 1,0 ),D E ? (1,0 ,? )


? y 1 ? 0 , x1 ? ? z 1 ? 0 ? ( ? ? , ? ,1)

由 n1 ? D B 令 z1 由 n2
?1

? 0, n 1 ? D E ? 0

,得 x1


? ( 0 ,1, 2 )

,则 x1

? ? ? , y1 ? ?

, n1

, D C1



? D B ? 0, n 2 ? D C 1 ? 0

,得 x 2

? y 2 ? 0, y 2 ? 2 z 2 ? 0


n1 ? n 2 | n 1 || n 2 | ? 3 1 ? 4? 2?
2

令 z2=1,则 x2=2,y2=?2, n 2
3 3 1 ? 4? 3 2?
2

? ( 2 , ? 2 ,1)

, cos
AE A A1

? n1 , n 2 ? ?



?1

所以

?|

| ,得 ? ? 1 .所以

?

1 2

.……………………………

?1

10 分

23. (本小题满分 10 分) 袋中共有 8 个球,其中有 3 个白球,5 个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机 取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且 另补一个白球放入袋中.重复上述过程 n 次后,袋中白球的个数记为 Xn. (1)求随机变量 X2 的概率分布及数学期望 E(X2); (2)求随机变量 Xn 的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式.
14

解: (1)由题意可知 X2?3,4,5. 当 X2?3 时,即二次摸球均摸到白球,其概率是 P(X2?3)?
C3 C8
1 1

?

C3 C8
1

1

?

9 64


C 3C 5 C 8C 8
1 1 1 1

当 X2?4 时,即二次摸球恰好摸到一白,一黑球,其概率是 P(X2?4)? 当 X2?5 时,即二次摸球均摸到黑球,其概率是 P(X2?5)? 所以随机变量 X2 的概率分布如下表: X2 P
9 64 35 64
C 5C 4 C 8C 8
1 1 1 1

?

C 5C 4 C 8C 8
1 1

1

1

?

35 64



?

5 16

.……

3分

3
9 64 5 16 267 64

4
35 64

5
5 16

(一个概率得一分 不列表不扣分) 数学期望 E(X2)? 3 ?
? 4? ? 5? ?

.………………………………

5分

(2)设 P(Xn?3+k)?pk,k?0,1,2,3,4,5. 则 p0+p1+p2+p3+p4+p5?1,E(Xn)?3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5. P(Xn+1?3)? P(Xn+1?7)?
3 3 8 2 8 p0

,P(Xn+1?4)? p0+
8 7 8

5

4 8 1 8

p1,P(Xn+1?5)?
8 8

4 8

p1+ p2,P(Xn+1?6)? p2+
8 8

5

3

6 8

p3, 7分

p3+
5

p4,P(Xn+1?8)? p4+ p5,………………………
4 8 4 8 5 3 6 8 2 8 7 8 1 8 8 8

所以,E(Xn+1) ?3× p0+4×( p0+
8 8

p1)+5×(
50 8

p1+ p2)+6×( p2+
8 8 57 8

p3)+7×(

p3+

p4)+8×( p4+ p5)

? ? ?

29 8 7 8 7 8

p0+

36 8

p1+

43 8

p2+

p3+

p4+

64 8

p5

(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5 E(Xn)+1.
7 8

…………………9 分 (E(Xn)?8).
3 5 7 n ?1 .…………………………… ( ) 8 8

由此可知,E(Xn+1)?8? 又 E(X1)?8? ?
35 8

,所以 E(Xn)? 8 ?

10 分

15


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