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指数函数和对数函数的图像及性质


指数函数和对数函数的图像及性质
一、指数函数及对数函数的图像 指数函数和对数函数的图像都有两种,要分底数 0<a<1 和 a>1 两种情况,在我们掌握 了最基本的指数函数图像及对数函数图像之后,我们要学会画变型之后的图像。变型之后 的图像主要还是依据最基本图像来画,结合单调性、奇偶性等性质。 例题 1 函数 f (x) =1+log2x 与 g (x) =2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )

A.

B.

C.

D.

解析:∵f(x)=1+log2x 的图象是由 y=log2x 的图象上移 1 而得, ∴其图象必过点(1,1). 故排除 A、B, 又∵g(x)=2-x+1=2(x-1)

的图象是由 y=2-x 的图象右移 1 而得

故其图象也必过(1,1)点,及(0,2)点, 故排除 D 故选 C

二、指数函数和对数函数的复合函数问题 我们主要研究复合函数的单调性及最值 ,复合函数的单调性,取决于两个函数的单调 性,满足同增异减原则。在求对数函数单调性问题时,我们要注意函数的定义域。单调区 间必须满足函数的定义域。 例题 2 已知函数 y=log4(2x+3-x2),

(1)求函数的定义域; (2)求 y 的最大值,并求取得最大值时的 x 值. 解析: (1)由对数式的真数大于 0,求解一元二次不等式可得原函数的定义域; (2)原 函数是复合函数,令真数为 u,求出 u 的值域,因为外层函数是增函数,所以 u 最大时原函 数值最大,u 取最大时的 x 的值就是 y 最大时的 x 的值.三、集合与命题
1

(1) 要使原函数有意义,则真数 2x+3-x2>0,解得-1<x<3, 所以函数的定义域为{x|-1<x<3}; (2)将原函数分解为 y=log4u,u=2x+3-x2 两个函数. 因为 u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4, 所以 y=log4(2x+3-x2)≤log44=1. 所以当 x=1 时,u 取得最大值 4, 又 y=log4u 为单调增函数,所以 y 的最大值为 y=log44=1,此时 x=1. 三、指数函数对数函数比较大小问题 比较指数函数对数函数的大小,是本部分常见的类型。在比较大小时我们可以:同底 数幂利用单调性比较,不同底数利用“中间值”来比较。当指数都为分数时,我们可以将 指数都化为整数再比较大小。
3 3 3 例题 3 ( ) , , ( ) ( )

2 3

2

2 3

1

2 5

2

的大小关系是(
1 2


2

2 3 2 3 2 3 A. > ( ) ( )> ( ) 3 3 5 2 1 2 2 3 2 3 2 3 C. ( ) > ( )> ( ) 5 3 3

1

2

2

2 3 2 3 2 3 B. ( ) > ( )> ( ) 3 5 3 2 1 2 2 3 2 3 2 3 D. ( ) > ( )> ( ) 3 3 5
4 ,第二个值 9

解析:分别计算三个数的三次方结果,结果大的则原数也大。第一个值等于 为

2 4 ,第三个值为 ,很显而易见第二个数最大,其次第一个,最小的是第三个数。所以 3 25

答案选择 A。

2


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