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2012年浙江高考数学(理科)试卷

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学(理科) 选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个项是符合 题目要求的。
2 1.设集合 A ? ? x | 1 ? x ? 4? ,集合 B ? ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0? ,则 A ? ( C R B ) ?

4) A. (1 ,

4) B. (3 ,

3) C. (1 ,

2) 4) D. (1 , ? (3 ,

? 1? i A. 1 ? 2i B. 2 ? i C. 2 ? i D. 1 ? 2i 3.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l 2 : x ? ( a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的

2.已知 i 是虚数单位,则

3?i

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.把函数 y ? cos 2 x ? 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单 位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

5.设 a , b 是两个非零向量 A.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ? b B.若 a ? b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | C.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则存在实数 ? ,使得 b ? ? a D.若存在实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 | a ? b |?| a | ? | b | 6.若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种 7.设 S n 是公差为 d ( d ? 0 )的无穷等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d ? 0 ,则数列 { S n } 有最大项 B.若数列 { S n } 有最大项,则 d ? 0 C.若数列 { S n } 是递增数列,则对任意 n ? N * ,均有 S n ? 0 D.若对任意 n ? N * ,均有 S n ? 0 ,则数列 { S n } 是递增数列
? 1( a , ? 0) 的 b 2 2 a b 左、右两焦点, B 是虚轴的端点,直线 F1 B 与 C 的两条渐近 x
2

8.如图, F1 , F2 分别是双曲线 C :

?

y

2

线分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点
M .若 | M F1 |? | F1 F2 | ,则 C 的离心率是

3 9.设 a ? 0 , b ? 0
a

A.

2 3

B.

6 2

C. 2

D. 3 B. 2 ? 2 a ? 2 ? 3b 若,则 a ? b
a b

A.若 2 ? 2 a ? 2 ? 3b ,则 a ? b
b

C.若 2 ? 2 a ? 2 ? 3b ,则 a ? b
a b

D.若 2 ? 2 a ? 2 ? 3b ,则 a ? b
a b

10.已知矩形 ABCD , AB ? 1 , BC ? 2 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻 折过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“ AC 与 BD ”,“ AB 与 CD ”,“ AD 与 BC ”均不垂直 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该三棱锥
cm . 的体积等于 12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是
3



13.设公比为 q ( q ? 0) 的等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n . 若 S 2 ? 3 a 2 ? 2 , S 4 ? 3 a 4 ? 2 ,则 q ? 14.若将函数 f ( x ) ? x 表示为
5
2 3


4 5

f ( x ) ? a 0 ? a1 (1 ? x ) ? a 2 (1 ? x ) ? a 3 (1 ? x ) ? ? a 4 (1 ? x ) ? ? a 5 (1 ? x ) ,

其中 a 0 , a1 , a 2 ,…, a 5 为实数,则 a 3 ?



15.在 ? ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 , BC ? 10 , ??? ??? ? ? 则 AB ? BC ? . 16.定义:曲线 C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C 1 : y ? x ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于曲线
2

C 2 : x ? ( y ? 4) ? 2 到直线 l : y ? x 的距离,则实数 a ?
2 2



17.设 a ? R ,若 x ? 0 时均有 ? ? a ? 1 ? x ? 1? ? x ? ax ? 1 ? ? 0 , ? ?
2

则a ? . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 18. (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已 2 知 cos A ? , sin B ? 5 cos C . 3 (Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 ? ABC 的面积. 19. (本题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球 得 1 分.现从箱中任取(无放回,且每球取道的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数 之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E ( X ) . 20. (本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面是 边长为 2 3 的菱形, ? BAD ? 120 ? ,且 PA ? 平面 ABCD ,
PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB , PD 的中点. (Ⅰ)证明: MN ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)过点 A 作 AQ ? PC ,垂足为点 Q ,求二面角

A ? MN ? Q 的平面角的余弦值.

21. (本题满分 15 分)如图,椭圆 C : 离心率为
1 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的

,其左焦点到点 P (2 , 1) 的距离为 10 ,不过原点 O 的 ....

直线 l 与 C 相交于 A , B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 ? ABP 面积取最大值时直线 l 的方程. 22.本题满分 14 分) ( 已知 a ? 0 , ? R , 函数 f ( x ) ? 4 ax ? 2 bx ? a ? b . b
3

(Ⅰ)证明:当 0 ? x ? 1 时, (i)函数 f ( x ) 的最大值为 | 2 a ? b | ? a ; (ii) f ( x ) ? | 2 a ? b | ? a ? 0 ; (Ⅱ)若 ? 1 ? f ( x ) ? 1 对 x ? [0 , 恒成立,求 a ? b 的取值范围. 1]


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