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2015-2016学年(人教版必修四)同步练习第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理(含答案)


数学· 必修 4(人教 A 版)

2. 3

平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理

基 础 提 升 1.如果 e1、e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,那么( A.若实数 λ1、λ2 使 λ1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0 B.空间任一向量 a 可以表示为 a=λ1e1+λ2e2,这里 λ1、λ2 是实数 C.对实数 λ1、λ2,λ1e1+λ2e2 不一定在平面 α 内 D.对平面 α 中的任一向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1、λ2 有无 数对 )

答案:A

2.如果 3e1+4e2=a,2e1+3e2=b,其中 a,b 为已知向量,则 e1 =________,e2=________.

答案:e1=3a-4b

e2=-2a+3b

→ =3e -2e ,BC → =4e + 3.设 e1,e2 是平面内一组基底,如果AB 1 2 1 → =8e -9e ,则共线的三点是( e2,CD 1 2 A.A、B、C C.A、B、D )

B.B、C、D D.A、C、D

答案:C

4.设 e1,e2 是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中, 不能作为基底的是( A.e1+e2 和 e1-e2 B.3e1-2e2 和 4e2-6e1 C.e1+2e2 和 e2+2e1 D.e2 和 e1+e2 )

解析:∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2), ∴3e1-2e2 与 4e2-6e1 共线,故选 B. 答案:B

5.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)b =6a+3b,则 x-y=________.

解析:由题意,得 3x-4y=6 且 2x-3y=3,解得 x=6,y=3, ∴x-y=3. 答案:3

巩 固 提 高 6.如下图所示,已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、CD 的中 → =a, → =b, → =________. 点, EF 与 AC 交于点 G, 若AB AD 用 a、 b 表示AG

解析:∵E、F 分别为相应边中点, → =3AC → =3(a+b)=3a+3b. ∴AG 4 4 4 4 3 3 答案: a+ b 4 4

→ =1AB → ,EF∥BC 交 AC 于 F 点,设AB → 7.在三角形 ABC 中,AE 5 → =b,试用 a,b 表示向量BF →. =a,AC

解析:如图所示,

→ =1AB → ,EF∥BC 交 AC 于 F 点,∴BF → =BE → +EF → ∵AE 5 4→ 1→ = BA + BC 5 5 4 → 1? → → ? =- AB + ?AC-AB? 5 5 → +1AC → =-a+1b. =-AB 5 5

8.若 a,b 是两个有相同起点且不共线的非零向量,当 t(t∈R)为 1 何值时,三向量 a,tb, (a+b)的终点在同一条直线上? 3

→ =a,OB → =tb,OC → =1(a+b),∴AC → =OC → -OA → =-2a 解析:设OA 3 3 1 → =OB → -OA → =tb-a.要使 A,B,C 三点共线,则AC → =λAB →, + b,AB 3

? ? 2 1 即- a+ b=λtb-λa,∴? 3 3 ? ?
向量终点在同一直线上.

2 - = -λ, 3 1 =λt, 3

1 1 解得 t= .∴当 t= 时,三 2 2

9.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, → =λAE → +μAF → ,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ= 若AC ________________________________________________________ ________________.

→ =b,BA → =a,则AF → =1b-a,AE → =b-1a,AC → =b- 解析:设BC 2 2 → =λAE → +μAF → 得 λ=μ=2.∴λ+μ=4. a.代入条件AC 3 3


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