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辽宁省瓦房店市高级中学2010-2011学年高二月考数学文

辽宁省瓦房店市高级中学 2010-2011 学年高二月考数学(文)试题

总分:150 分

考试时间:120 分钟

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1, 已知函数 f ( x) ? A、 {x | x ? ?1}

1 1? x

的定义域为 M, g(x)= ln(1 ? x) 的定义域为 N, 则 M∩N= C、 {x | ?1 ? x ? 1} D、 ? ( C、 [1,+∞) ( ) B、 0.43 ? log4 0.3 ? 30.4 D、 log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43 )





B、 {x | x ? 1}

2, y= x 2 ? 2x ? 3 的单调递减区间为 A、.(-∞,-3) B、(-∞,-1)

D、 [-3,-1]

3,下列大小关系正确的是 A、 0.43 ? 30.4 ? log4 0.3 C、 log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4

4,已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数, 则 ( ) A、 f ?6? ? f ?7? B、 f ?6? ? f ?9? C、 f ?7? ? f ?9? D、 f ?7? ? f ?10?

5,函数 f(x)=log2(1+4x)-x 的奇偶性是 ( ) A、奇函数非偶函数 B、偶函数非奇函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇函数又非偶函数 6,以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是 ( )

7, 点 P 在曲线
? ?? A、 ?0, ? ? 2?

y ? x ?x?
3

2 上移动, 设点 P 处切线倾斜角为 ? , 则 ? 的取值范围是 ( ) 3
?3 ? C、 ? ? , ? ? ?4 ? ?? 3 ? D、 ? , ? ? ?2 4 ?

? ? ? ?3 ? B、 ?0, ? ? ? ? , ? ? ? 2 ? ?4 ?
3

8 ,函数 f ( x) ? x ? x, x ? R, 当 ? 实数 m 的取值范围是(

?
2

? ? ? 0 时, f (m cos? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则

)

第 1 页 共 8 页

A.(0,1)

1 B.(??, ) 2

C.(??,0)

D.(??,1]

9,函数 y= A、0

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x 在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2
B、-2 C、-1

) D、

13 2

10, 设函数 f ? x ? 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数, 若 f ?1? ? 1, f ?2? ?

2a ? 1 , 则( a?1



A、 a ?

1 且a ? ?1 2

B、 ? 1 ? a ? 0

C、 a ? ?1或a ? 0

D、 ? 1 ? a ? 2

?x 2 , 11,设 f ? x ? ? ? ? x,
的值域是( )

x ?1 , g ?x ? 是二次函数,若 f ?g ?x ?? 的值域是 ?0,??? ,则 g ?x ? x ?1

A、 ?? ?,?1? ? ? 1,???
x

B、 ?? ?,?1? ? ?0,???

C、 ?0,???

D、 ?1,??? )

12,已知 a 是函数 f ( x) ? 2 ? log 1 x 的零点,若 0 ? x0 ? a ,则 f ( x0 ) 的值满足(
2

A、 f ( x 0 ) ? 0

B、 f ( x 0 ) ? 0

C、 f ( x 0 ) ? 0

D、 f ( x0 ) 的符号不确定

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)

13,已知 f(x)是定义在全体实数上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=lg 则 f(x)的表达式是____________. 14,已知 A ? ? x x ? ?1或x ? 5? , B ? ? x a ? x ? a ? 4? .若
围是 .

1 , 1? x

,则实数 a 的取值范

15,已知函数 f ( x)与g ( x) 的定义域均为非负实数集,对任意的 x ? 0 ,规定 f ( x) ? g ( x)

? min{f ( x), g ( x)}, 若f ( x) ? 3 ? x, g ( x) ? 2x ? 5, 是f ( x) ? g ( x)的最大值为
16 ,垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 且与曲线 y ? x ? 3x ? 1 相切的直线方程的一般式为
3 2

_________________.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤。) 17,(本小题满分 10 分) 已知曲线 y= x 3 在 x=x0 处的切线 L 经过点 P(2, ),求切线 L 的方程。
1 3 8 3

第 2 页 共 8 页

18,(本小题满分 12 分)

已知 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? bx ? a 2 在 x=-1 时有极值 0。 (1)求常数 a , b 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间。

19.(本小题满分 12 分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元, 并且 每件产品需要向总公司交 a 元( 3 ? a ? 5) 的管理费,预计当每件产品的售价 为 x 元 (9 ? x ? 11) 时,一年的销售量为( 12 ? x) 2 万件. (1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润最大,并求出 L 的最 大值 Q(a ) 。

20,(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ( a , b 为常数,且 a ? 0 )满足条件:
f ( x ? 1) ? f (3 ? x) 且方程 f ( x) ? 2x 有等根.

(1)求 f ( x) 的解析式; ( 2 )是否存在实数 m, n (m ? n) ,使 f ( x) 的定义域和值域分别为 [ m, n] 和
[4m, 4n] ,如果存在,求出 m, n 的值;如果不存在,说明理由.

第 3 页 共 8 页

22 .(本小题满分 12 分)

? x3 ? ax 2 ,其中 a 为正常数 已知函数 f(x) . ...

(1)设当 x ? (0,1) 时,函数 y ? f ( x) 图象上任一点 P 处的切线的斜率为 k ,若
k ? ?1 ,求 a 的取值范围;

(2) 设当 x ? [?1,1] 时,求函数 y ? f ( x) ? a( x 2 ? 3x) 的最大值.

第 4 页 共 8 页

高二月考数学(文)试题答案

14, a ? ?5 或 a>5 三、解答题:

15,

2 3 ? 1 16, 3x ? y ? 2 ? 0
y'=x2
8 3 8 1 3 2 ? x0 ? x0 (2 ? x 0 ) …………4 分 3 3

17,解:设切于点 Q(x0,y0),

则 y-y0=x02(x-x0)经过(2, ) x03-3x02+4=0

解得 x0=-1,或 x0=2

∴所求的切线方程为 12x-3y-16=0 或 3x-y+2=0…………10 分
18,解: (1) f ( x) ? 3x 2 ? 6ax ? b ,由题知:

?1? ? f ?(?1) ? 0 ?3 ? 6a ? b ? 0 ?? ? 2 ? f (?1) ? 0 ?? 1 ? 3a ? b ? a ? 0 ? 2 ?
联立<1>、<2>有: ?
? a ? 1 ?a ? 2 或? ………………4 分 ?b ? 3 ?b ? 9

当 a ? 1,b ? 3 时, f ( x) ? 3x 2 ? 6x ? 9 ? 3?x ? 1?2 ? 0 这说明此时 f ( x) 为增函数,无极值,舍去 ………………6 分

当 a ? 2,b ? 9 时, f ( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9 ? 3?x ? 3??x ? 1? 故方程 f ( x) ? 0 有根 x ? ?3 或 x ? ?1
x
f ( x)
(??,?3)

?3

?? 3, ? 1?
- ↓
?a ? 2 符合题意 ?b ? 9

?1

??1, ? ??
+ ↑ …………9 分

+ ↑

0 极大值

0 极小值

f ( x)

由表可见,当 x ? ?1 时, f ( x) 有极小值 0,故 ?

? 1? (2)由上表可知: f ( x) 的减函数区间为 ?? 3, f ( x) 的 增 函 数 区 间 ?? 1, ? ?? ………………12 分



?? ?, ? 3?



第 5 页 共 8 页

19,(1) L ? ( x ? a ? 3)(12 ? x) 2 , x ? [9,11 ]. …………4 分

(2) L? ? (12 ? x)(18 ? 2a ? 3x),
2 令 l ? ? 0, x ? 12 (舍去) ,x ? 6? a 。 3 2 28 由 3 ? a ? 5 ,故 8 ? 6 ? a ? ,…………6 分 3 3 2 9 ① 当 8 ? 6 ? a ? 9 时,即 3 ? a ? , L( x) 在[9,11]上为减函数. 3 2

Lm a x? L(9) ? 9(6 ? a) ,…………8 分
2 28 9 ② 当9 ? 6 ? a ? 时,即 ? a ? 5 时, 3 3 2 2 2 L( x) 在(9,6+ a )上递增,在 (6 ? a,11) 上递减, 3 3 2 1 ? Lmax ? L(6 ? a) ? 4(3 ? a) 3 .…………10 分 3 3

9 ? 9(6 ? a),3 ? a ? ) ? ? 2 ? Q(a ) ? ? …………12 分 1 9 ?4(3 ? a) 3 , ? a ? 5 ? 3 2 ?

20, 解: (1)∵方程 ax2+bx=2x 有等根,∴Δ =(b–2)2=0,得 b=2. 由 f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为 x=– x2+2x. ……4 分

b =1 得 a=–1,故 f(x)=– 2a

(2)f(x)=–(x–1)2+1≤1,∴4n≤1,即 n≤ 而抛物线 y=–x2+2x 的对称轴为 x=1 ∴n≤

1 …………6 分 4

1 时,f(x)在[m,n]上为增函数. …………8 分 4

若满足题设条件的 m,n 存在,则 ?

? f ( m) ? 4 m ? f ( n) ? 4n

2 ? ?? m ? 2m ? 4m ?m ? 0或m ? ?2 即? 2 ?? …………10 分 n ? 0 或 n ? ? 2 ? ? n ? 2 n ? 4 n ? ?

又 m<n≤

1 ,∴m=–2,n=0,这时定义域为[–2,0] ,值域为[–8,0]. 4

第 6 页 共 8 页

由以上知满足条件的 m、n 存在,m=–2, n=0. …………12 分 21.解:设 P( x0 , y0 )

y1/ ? 2x ? 2/ x?x0 ? 2x0 ? 2 y2/ ? ?2x ? a / x?x0 ? ?2x0 ? a
??2 x0 ? 2 ? 1 ? 4 x0 2 ? (4 ? 2a) x0 ? 2a ? 1 ? 0 ------------- ① 2 x0 ? a
…………2 分



?

y0 ? x02 ? 2 x0 ? 2 2 y0 ?? x0 ? ax0 ?b

? 2 x02 ? (2 ? a) x0 ? 2 ? b ? 0
…………7 分

-------------------②

① -2 ? ② ? b ?

5 ? 2a 2

? y ? ? x 2 ? ax ? b ? ? x 2 ? ax ? ?? x 2 ? y ? 5 ? a ( x ? 1) ? 0 2

5 ? 2a 2

? ?0 ? x ?1 ? ? x ?1 ? ? y? 3 5 ? x2 ? y ? ?0 ? 2 ? 2

所以过点 ( 1 ,

3 ) 。 2

…………12 分

22 .解:(1)∵ k ? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax , x ? (0,1) ………………………1 分

由 k ? ?1 ,得 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,即 a ? 即a ?

3x 2 ? 1 1 1 ? (3x ? ) 恒成立 2x 2 x

1 1 (3 x ? ) min …………………………………3 分 2 x

∵当 x ? (0,1) 时, 3x ?

1 1 3 时取等号。 ? 2 3x ? ? 2 3 ,当且仅当 x ? 3 x x

1 1 ∴ (3 x ? ) min ? 3 ,又 a ? 0 ,故 a 的取值范围是 0, 3 ………………5 分 2 x

?

?

(2)设 g ( x) ? f ( x) ? a( x 2 ? 3x) ? x 3 ? 3ax , x ? [?1,1] 则 g ?( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x 2 ? a) ? 3( x ? a )(x ? a ) …………………………6 分 ①当 a ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 [ ?1,1] 上是减函数。 ∴ g ( x) 的最大值为 g (?1) ? 3a ? 1 ……………………8 分 ②当 0 ? a ? 1 时, g ?( x) ? 3( x ? a )(x ? a ) 。
第 7 页 共 8 页

由 g ?( x) ? 0 得: x ? a 或 x ? ? a ;由 g ?( x) ? 0 得: ? a ? x ? a ∴ g ( x) 在 [?1,? a ] , [ a ,1] 上是增函数,在 [? a , a ] 上是减函数。 ∴ g ( x) 的极大值为 g (? a ) ? 2a a …………………………………………8 分 由 g (? a ) ? g (1) ? 2a a ? 3a ? 1 ? ( a ? 1) 2 ? (2 a ? 1) 知 当 2 a ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ?
1 时, g (? a ) ? g (1) 4

∴ g ( x) max ? g (1) ? 1 ? 3a ……………………… 10 分 当 2 a ?1 ? 0 ,
1 ? a ? 1 时, g (? a ) ? g (1) 4

∴ g( x) max ? g(? a ) ? 2a a …………………11 分

第 8 页 共 8 页


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