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2011届高考数学 必看之-知识点总结 排列组合二项定理


高中数学第十章-排列组合二项定理
考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用 问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一 些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问 题. §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可 以有 重复 元素 的排列. . .. .. .. 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排 成一排,那么第一、第二??第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不 同元素中,每次取出 n 个元素可重复排列数 m·m·? m = mn.. 例如:n 件物品放 入 m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: m n 种)

二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 ......

n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
?相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也 必须完全相同. ?排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m
m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表

示. ?排列数公式:
A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!

规定 0! = 1
m m?1 An ? nAn ?1

m m m m?1 m m?1 An ? 1 ? A n ? Am ?C n ? A n ?mA n

0 规定 C n ?C n n?1

2. 含有可重元素 的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,?...an 其中限重复数为 n1 、 n2??nk ,且 n = n1+n2+??nk , 则 S 的排列个数等于
n? n! . n1!n2 !...nk !
1!2!

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其 排列个数?其排列个数 n ? 3! ? 1 .
3!

三、组合. 1. ?组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合. ?组合数公式: C m n?
m

Am n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! n ? Cm n? m m! m!(n ? m)! Am
n?m n;

?两个公式:① C n ?C

②C

m?1 m m n ?C n ?C n ?1

①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素中 取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中 取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同
m ?1 m 选法,分二类,一类是含红球选法有 C m?n1 ?C1 1 ?C n 一类是不含红球的选法有 C n )

②根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对 于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元
1 素中再取 m-1 个元素,所以有 C m?n ,如果不取这一元素,则需从剩余 n 个元素中

取出 m 个元素,所以共有 C n 种,依分类原理有 C

m

m?1 m m n ?C n ?C n ?1 .

?排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺 序关系. ?①几个常用组合数公式
0 1 2 n Cn ?C n ?C n ???n n ?2
0 2 4 1 3 5 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ?C n ? ? ? 2 n ?1 m m m m ?1 Cm n ? C m ?1 ? C m ? 2 ?C m ? n ?C m ? n ?1 k ?1 kC k n ? nC n ?1

1 1 ?1 Ck Ck n? n ?1 k ?1 n ?1

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如: ii. 导数法.
1 2 3 n 1 n ?1 1 1 ? ? ?? ? 1? ? ? ) (利用 2! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 1)! n! ( n ? 1)! n!

iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.
3 3 3 3 4

m ?1 m C 3 ?C 4 ?C 5 ? ?C n ?C n ?1 . v. 递推法(即用 C m n ?C n ?C n ?1 递推)如:

0 2 1 2 n 2 n vi. 构造二项式. 如: (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) ?C 2n

证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ? x) n ? (1 ? x) 2n 其中 x n 的系数,左边为
0 1 n ?1 2 n?2 n 0 0 2 1 2 n 2 ?C 2 n Cn ?C n n ?C n ?C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) ,而右边

n

四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体 排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如, 一般地, n 个不同元素排成一列,要求其中某 m(m ? n) 个元素必相邻的排列有
?m?1 m n ?m?1 m An n ?m?1 ? A m 个.其中 A n ?m?1 是一个“整体排列”,而 A m 则是“局部排列”.
2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 An ?
2 . An?1 1 ? A2

?1 2. ②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 An n?1 ? A2

2 ?1 . ③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 An ? An n?1

注:①③区别在于①是确定的座位,有 A2 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不同 2 商品任取的 2 个,有不确定性. ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档 中,此法主要解决“元素不相邻问题”.
?m m 例如: n 个元素全排列, 其中 m 个元素互不相邻, 不同的排法种数为多少? An n ?m ? An ?m?1

(插空法) ,当 n – m+1≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.
2

⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其 他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排 其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全
m 排列有 A n n 种, m(m ? n) 个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因

此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排

成一列,其中 m 个元素次序一定,共有

An n Am m

种排列方法.

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?
m 解法一: (逐步插空法) (m+1) (m+2) ?n = n! / m! ; 解法二: (比例分配法)A n n / Am .
n n C kn ?C ( k ?1)n n ?C n

⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有

Ak k

.

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有

C2 4 ? 3(平 2!

均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将 200 名运动员平均分成两 组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少? (P?
8 2 C18 C2 10 C 20 / 2!



注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序
?m m m n ? 1 时有 不变,共有多少种排法?有 An n ?m ? An ?m?1 / Am ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤

2

意义. ⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如: x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球 排成一列, 在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板, 把球分成 4 个组. 每一种方法所得球的数目依次为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 ,故( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 是方程的一组解.反之,方程的任何一组解 ( y1, y 2 , y 3 , y 4 ) ,对应着惟一的一种在 12
x1 x2 x3 x4 个球之间插入隔板的方式(如图

所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等
3 于插隔板的方法数 C 11 .

注意:若为非负数解的 x 个数,即用

a1 , a 2 ,...a n

中 ai 等 于

xi ? 1

,有

x1 ? x2 ? x3 ... ? xn ? A ? a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ...an ? 1 ? A ,进而转化为求
n ?1 CA ?n .

a 的正整数解的个数为

⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都 包含在内,并且都排在某 r 个指定位置则有 A r A n ? r . 例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在 (或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?
m m?1 ?1 m 1 m?1 固定在某一位置上: Am n ?1 ;不在某一位置上: A n ? A n?1 或 An?1 ? Am?1 ? A n?1 (一类是

r

k ?r

不取出特殊元素 a,有 An?1 ,一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位置, 然后再从 n-1 个元素中取 m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元
?r k r k ?r 素都包含在内 。先 C 后 A 策略,排列 C rr C nk? r A k ;组合 C r C n ? r .

m

ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素
k 都不包含在内。先 C 后 A 策略,排列 C n?rk A k k ;组合 C n ? r .

iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列 (或组合) , 规定每个排列 (或 组合)都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略,排列 C r C n ? r A k ;组 合 C r C n?r . II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题 先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;④正难则 反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的 策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数 相等, 不管是否分尽, 其分法种数为 A / Ar (其中 A 为非均匀不编号分组中分法数) . r 如果再有 K 组均匀分组应再除以 A k . k
2 4 4 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C10 C 8 C 4 / A2 2 ? 1575.
2 2 2 2 4 若分成六组, 各组人数分别为 1、 1、 2、 2、 2、 2, 其分法种数为 C101C 91C 8 C 6 C 4 C 2 / A2 2 ? A4

s

k ?s

k

s

k ?s

②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的 顺序,其分法种数为 A ? Am m 例:10 人分成三组,各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法
2 3 3 为: C10 ?C 8 ?C 5 5 ? A3 种.

若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动,则安排方
2 3 4 C 8 C 5 ? A3 法有 C 10 3种

③均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的
m 顺序,其分法种数为 A / Ar . r ? Am

例: 10 人分成三组,人数分别为 2 、 4 、 4 ,参加三种不同劳动,分法种数为

2 4 4 C 10 C 8C 4 3 ? A3 A2 2

④非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不相 同 , 且 不 考 虑 各 组 间 顺 序 , 不 管 是 否 分 尽 , 其 分 法 种 数 为
m2 mk 1 A ? Cm n C n - m1 ? C n -(m1 ? m2 ?... ? mk -1 )

例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C102C 83C 5 若从 10 5 ? 2520 人中选出 6 人分成三组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 101C 92C 73 ? 12600. 五、二项式定理.
0 n 0 1 n ?1 r n ?r r n 0 n 1. ?二项式定理: (a ? b) n ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n a b .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ? 1项;
0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ?,C n , ?,C n n;

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展 开. ?二项展开式的通项.
(a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C n a
r n ?r r

b (0 ? r ? n, r ? Z ) .

?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数 最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大; II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第
C
n ?1 n ?1 2 ?C 2 n n

n 2

n

n ?1 n ?1 项和第 ? 1 项,它们的二项式系数 2 2

最大.

③系数和:
0 1 n Cn ?C n ? ? ?C n n ?2 0 2 4 1 3 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2 n?1

附:一般来说 (ax ? by) n (a, b 为常数)在求系数最大的项或最小的项 时均可直接根据 ........... 性质二求解. 当 a ? 1或 b ? 1 时,一般采用解不等式组 ? 的系数或系数的绝对值)的办法来求解. ?如何来求 (a ? b ? c) n 展开式中含 a p b q c r 的系数呢?其中 p, q, r ? N , 且 p ? q ? r ? n 把
? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 或? ( A k 为T k ?1 ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

r (a ? b ? c) n ? [(a ? b) ? c] n 视为二项式,先找出含有 C r 的项 C n (a ? b) n?r C r ,另一方面在
p q r n q n?r ?q q q p q (a ? b) n?r 中含有 b q 的项为 C n?r a b ?C n?r a b ,故在 (a ? b ? c) 中含 a b c 的项为

r q p q r Cn C n?r a b c .其系数为 C nr C n ?q r?

(n ? r )! n! n! p q r ? ? ?C n C n? p Cr . r! (n ? r )! q! (n ? r ? q )! r! q! p!

2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时,常用近似公式 (1 ? a) n ? 1 ? na ,因为这时展
2 2 3 3 n n 开式的后面部分 C n a ?C n a ? ? ?C n a 很小,可以忽略不计。类似地,有 (1 ? a) n ? 1 ? na

但使用这两个公式时应注意 a 的条件,以及对计算精确度的要求. 高中数学第十一章-概率 考试内容: 随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立 事件同时发生的概率.独立重复试验. 考试要求: (1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. (2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能 性事件的概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互 独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ 次的概率. §11. 概率 知识要点 1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出 现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 ,如果某个事件 A 包含的 结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P (A)?
m . n 1 n

3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥, 那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概 率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),推广: P (A1 ?A 2 ? ? ?A n ) ? P (A1 ) ? P (A2 ) ? ? ? P (An ) . ②对立事件:两个事件必有一个发生 的互斥事件 叫对立事件. 例如:从 1~52 张 .......... ..... 扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不 可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色 互斥 牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为其中一个必发生.
对立

注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A)? P(A) ? P(A? A) ? 1 . ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样 的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每 个事件发生的概率的积,即 P(A·B)=P(A)·P(B). 由此,当两个事件同时发生的 概率 P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事 件.例如: 从一副扑克牌 (52 张) 中任抽一张设 A: “抽到老 K”; B: “抽到红牌” 则 A 应与 B 互为独立事件 [看上去 A 与 B 有关系很有可能不是独立事件,但
P(A)? 4 1 26 1 1 .又事件 AB 表示“既抽到老 K 对抽到红牌”即 ? , P(B) ? ? , P(A)? P(B) ? 52 13 52 2 26
2 1 ,因此有 P (A)? P (B) ? P (A? B) . ? 52 26

“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 P(A? B) ?

推广:若事件 A 1 ,A 2 , ? ,A n 相互独立,则 P (A1 ?A 2 ?A n ) ? P (A1 ) ? P (A2 ) ? P (An ) . 注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相 互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事 件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件 一定不是独立事件. ④独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次 试验的结果, 则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,
k n ?k 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率: P n (k) ?C k . n P (1 ? P)

4. 对任何两个事件都有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B)
[例 1]求经过两点 P1(2,1)和 P2(m,2) (m∈R)的直线 l 的斜率,并且求出 l 的倾 斜角α 及其取值范围. 选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式. 解:(1)当 m=2 时,x1=x2=2,∴直线 l 垂直于 x 轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角α =

? 2

(2)当 m≠2 时,直线 l 的斜率 k= ∴α =arctan

1 ? ,α ∈(0, ) , m?2 2

1 ∵m>2 时,k>0. m?2

∵当 m<2 时,k<0 ∴α =π +arctan

1 ? ,α ∈( ,π ). m?2 2 1 ,m)共线,求 m 的值. 2

说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围. [例 2]若三点 A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(

选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解:∵A、B、C 三点共线,

∴kAB=kAC,

?2?3 m?3 ? . 1 3? 2 ?2 2

解得 m=

1 . 2

说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解. [例 3]已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求直线 l 的斜率. 选题意图:强化斜率公式. 解:设直线 l 的倾斜角α ,则由题得直线 AB 的倾斜角为 2α . ∵tan2α =kAB=

? 2 ? (?5) 3 ? . 3 ? (?1) 4

?

2 tan ? 3 ? 2 1 ? tan ? 4 1 或 tanα =-3. 3

即 3tan2α +8tanα -3=0, 解得 tanα = ∵tan2α =

3 >0,∴0°<2α <90°, 4

0°<α <45°, ∴tanα =

1 . 3 1 3

因此,直线 l 的斜率是

说明: 由 2α 的正切值确定α 的范围及由α 的范围求α 的正切值是本例解法中易忽略的地 方.

命题否定的典型错误及制作
在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容.从课本内容安排上看,显得较容易, 但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解,在解决这部分内容涉及的问题时容易出错.下面 仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述. 一、典型错误剖析 错误 1——认为命题的否定就是否定原命题的结论 在命题的否定中,有许多是把原命题中的结论加以否定.如命题: 2 是无理数,其否定 是: 2 不是无理数.但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了. 例 1 写出下列命题的否定:

? 对于任意实数 x,使 x =1; ? 存在一个实数 x,使 x =1. 错解:它们的否定分别为 ? 对于任意实数 x,使 x ≠1; ? 存在一个实数 x,使 x ≠1. 剖析:对于?是全称命题,要否定它只要存在一个实数 x,使 x ≠1 即可;对于?是存在 命题,要否定它必须是对所有实数 x,使 x ≠1. 正解:?存在一个实数 x,使 x ≠1; ?对于任意实数 x,使 x ≠1.
2 2 2 2 2 2 2

2

错误 2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词 在命题的否定中,有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词,如“是”改为“不 是” 、 “等”改为“不等” 、 “大于”改为“小于或等于”等.但对于联言命题及选言命题,还 要把逻辑联结词“且”与“或”互换. 例 2 写出下列命题的否定: ? 线段 AB 与 CD 平行且相等; ? 线段 AB 与 CD 平行或相等. 错解:? 线段 AB 与 CD 不平行且不相等; ? 线段 AB 与 CD 不平行或不相等. 剖析:对于?是联言命题,其结论的含义为: “平行且相等” ,所以对原命题结论的否定 除“不平行且不相等”外,还应有“平行且不相等” 、 “不平行且相等” ;而?是选言命题,其 结论包含“平行但不相等” 、 “不平行但相等” 、 “平行且相等”三种情况,故否定就为“不平 行且不相等” . 正解:? 线段 AB 与 CD 不平行或不相等; ? 线段 AB 与 CD 不平行且不相等.

错误 3——认为“都不是”是“都是”的否定 例 3 写出下列命题的否定: ? a,b 都是零; ? 高一(一)班全体同学都是共青团员.

错解:? a,b 都不是零; ? 高一(一)班全体同学都不是共青团员. 剖析:要注意“都是” 、 “不都是” 、 “都不是”三者的关系,其中“都是”的否定是“不 都是” , “不都是”包含“都不是” ; “至少有一个”的否定是“一个也没有” . 正解:?a,b 不都是零,即“a,b 中至少有一个不是零” . ? 高一(一)班全体同学不都是共青团员,或写成:高一(一)班全体同学中至少有一人共 青团员. 错误 4——认为“命题否定”就是“否命题” 根据逻辑学知识,任一命题 p 都有它的否定(命题)非 p(也叫负命题、反命题);而否命题 是就假言命题(若 p 则 q)而言的.如果一个命题不是假言命题,就无所谓否命题,也就是说, 我们就不研究它的否命题.我们应清醒地认识到:假言命题“若 p 则 q”的否命题是“若非 p 则非 q” ,而“若 p 则 q”的否定(命题)则是“p 且非 q” ,而不是“若 p 则非 q” . 例 4 写出命题“满足条件 C 的点都在直线 F 上”的否定. 错解:不满足条件 C 的点不都在直线 F 上. 剖析:对于原命题可表示为“若 A,则 B” ,其否命题是“若┐A,则┐B” ,而其否定形式 是“若 A,则┐B” ,即不需要否定命题的题设部分. 正解:满足条件 C 的点不都在直线 F 上.

二、几类命题否定的制作 1.简单的简单命题 命题的形如“A 是 B” ,其否定为“A 不是 B” .只要把原命题中的判断词改为与其相反意 义的判断词即可. 例 5 写出下列命题的否定: ? 3+4>6; ? 2 是偶数. 解:所给命题的否定分别是: ? 3+4≤6; ? 2 不是偶数. 2.含有全称量词和存在量词的简单命题 全称量词相当于日常语言中“凡” , “所有” , “一切” , “任意一个”等,形如“所有 A 是 B” ,

其否定为“存在某个 A 不是 B” ;存在量词相当于 “存在一个” , “有一个” , “有些” , “至少有 一个” , “至多有一个”等,形如“某一个 A 是 B” ,其否定是“对于所有的 A 都不是 B” . 全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题. 例6 写出下列命题的否定:
2

? 不论 m 取什么实数,x +x-m=0 必有实根. ? 存在一个实数 x,使得 x +x+1≤0. ? 至少有一个整数是自然数. ? 至多有两个质数是奇数. 解:? 原命题相当于“对所有的实数 m,x +x-m=0 必有实根” ,其否定是“存在实数
2 2

m,使 x +x-m=0 没有实根” .
? 原命题的否定是“对所有的实数 x,x +x+1>0” . ? 原命题的否定是“没有一个整数是自然数” . ? 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数” .
2

2

3.复合命题“p 且 q” , “p 或 q”的否定 “p 且 q”是联言命题,其否定为“非 p 或非 q”(也写成┐p 或┐q“; “p 或 q”是选言 命题,其否定为“非 p 且非 q”(也写成┐p 且┐q“; 例7 写出下列命题的否定:

? 他是数学家或物理学家.? 他是数学家又是物理学家. ?

1 ≥0. x ? 2x ? 3
2

解:? 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家” . ?原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家” ,即“他不是数学家或他不是物理 学家” . ?若认为┐p:

1 1 <0,那就错了.┐p 是对 p 的否定,包括 2 <0 或 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3
2

1 =0. x ? 2x ? 3
2

或∵p:x>1 或 x<-3,∴┐p:-3≤x≤1.


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