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2018-2019版高中数学苏教版必修五课件:1.3 正弦定理、余弦定理的应用(二)_图文

第1章 解三角形 §1.3 正弦定理、余弦定理的应用(二) 学习目标 1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体 的高度测量问题. 2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题. 3.进一步培养学习数学、应用数学的意识. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 测量仰角(或俯角)求高度问题 思考 如图,AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高 点,如果能测出点 C , D 间的距离 m 和由 C 点, D 点观察 A 的仰 角,怎样求建筑物的高度AB(已知测角仪器的高是h)? 答案 梳理 问题的本质用α、β、m表示AE的长,所得结果再加上h. 知识点二 测量方向角求高度问题 思考 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测 得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5 km后 到达 B 处,测得此山顶在西偏北 25°的方向上,仰角为 8°, 怎样求此山的高度CD? 答案 梳理 问题本质是:如图,已知三棱锥 D - ABC , DC⊥ 平面 ABC , AB=m,用α、β、m、γ表示DC的长. 题型探究 类型一 命题角度1 仰角问题 例1 测量仰角(或俯角)求高度问题 如图所示,D,C,B在地平面同一直线上, DC = 10 m ,从 D , C 两地测得 A 点的仰角分别为 30°和45°,求A点离地面的高AB. 解答 引申探究 如图所示,在坡度一定的山坡 A处测得山 顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的坡 度为 15°,向山顶前进 100 m 到达 B 处, 又测得 C 对于山坡的斜度为 45°,若 CD =50 m,山坡对于地平面的坡度为θ,求 cos θ. 解答 命题角度2 俯角问题 例2 在200 m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是 400 30°、60°,则塔高为 3 m. 答案 解析 如图,在△ABC中, 200 3 BC=ABtan∠BAC=200×tan 30°= 3 (m), 200 3 3 200 AE=BC,则 DE=AEtan 30° = 3 × 3 = 3 (m), 200 400 所以塔高 CD=200- 3 = 3 (m). 反思与感悟 利用正弦、余弦定理来解决实际问题时,要对所给的实际背景进 行加工、提炼,抓住本质,抽象出数学模型,使之转化为解三角 形问题. 跟踪训练1 江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在 答案 解析 同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与 炮台底部连线成30°角,则两条船相距 30 m. 设两条船所在位置分别为A、B两点,炮台底部所在位置为C点, 30 在△ABC 中,由题意可知 AC=tan 30° =30 3(m), 30 BC=tan 45° =30(m),C=30° , AB =(30 3) +30 -2×30 3×30×cos 30° =900, 2 2 2 所以AB=30 m. 类型二 例3 测量方位角求高度问题 如图所示, A、 B是水平面上的两个点,相 距 800 m , 在 A 点 测 得 山 顶 C 的 仰 角 为 45° , ∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其 中D点是点C到水平面的垂足,求山高CD. 解答 反思与感悟 此类问题特点:底部不可到达,且涉及与地面垂直的平面,观 测者两次观测点所在直线不经过“目标物”.解决办法是把目标 高度转化为地平面内某量,从而把空间问题转化为平面内解三 角形问题. 跟踪训练2 如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走10 m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是 10 6 m. 答案 解析 当堂训练 1.一架飞机在海拔8 000 m的高空飞行,在空中测出前下方海岛两侧海 岸俯角分别是30°和45°,则这个海岛的宽度为5 856.4 m.(精确到0.1 m) 答案 解析 8 000 8 000 宽=tan 30° -tan 45° =5 856.4(m). 1 2 3 4 2.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶 40 3 20 3, 3 望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是 米. 答案 解析 甲楼的高为 20tan 60° =20× 3=20 3(米), 3 乙楼的高为 20 3-20tan 30° =20 3-20× 3 40 3 = 3 (米). 1 2 3 4 3.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测 得一建筑物的仰角分别为 30°, 45°, 60°, 且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为 30 6 m. 答案 解析 1 2 3 4 4.设A是△ABC中最小的内角,则sin A+cos A的取值范围是 (1, 2 ] . 答案 解析 π sin A+cos A= 2sin(A+4). ∵A为△ABC中最小内角, π ∴A∈(0,3), π π 7 π 2 ∴A+4∈(4,12π),∴sin(A+4)∈( 2 ,1], ∴sin A+cos A∈(1, 2 ]. 1 2 3 4 规律与方法 1.在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方 案,但有些过程较烦琐,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两 个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式. 2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达,这类问 题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理和余弦定理, 计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离,然后转化为解直角三 角形的问题. 本课结束

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