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苏州市2015-2016学年上学期期末考试高二数学


苏州市 2015 – 2016 学年第一学期期末考试

2016.1.13

高二数学
注意事项: 1. 本试卷共 4 页.满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2. 请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域,在本试卷上答题无效. 3. 答题前,考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置. 参考公式: 4 3 π ,其中 是球的半径. 3 一. 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答 .题 .卡 .相 .应 .位 .置 . 上. . 球的体积公式: = 1. 若直线 经过两点 (1, 2), (3, 4),则 的倾斜角为 2. 抛物线 = 1 2 的焦点到其准线的距离为 2 . . .

3. 已知两条直线 1 :4 + 3 + 3 = 0,2 :8 + 6 ? 9 = 0,则 1 与 2 的距离是 4. 函数 = sin 的图象在点 (π, 0) 处的切线方程为 .

5. 一质点的运动方程为 = 2 + 10(位移单位:m;时间单位:s) ,则该质点在 = 3 时的瞬时速度为 m/s. 6. 若函数 () = 3 ? 32 + 在区间 [?1, 1] 上的最大值是 2,则实数 的值为 7. 将一个圆锥沿母线剪开,其侧面展开图是半径为 2 的半圆,则原来圆锥的高为 8. 设 △ 是等腰三角形,∠ = 120? ,则以 , 为焦点且过点 的双曲线的离心率是 9. 关于异面直线 , 有下列四个命题: ① 过直线 有且只有一个平面 ,使得 ? ; ② 过直线 有且只有一个平面 ,使得 ? ; ③ 在空间存在平面 ,使得 ? , ? ; 其中,正确命题的序号是 ④ 在空间不存在平面 ,使得 ? , ? . (把所有正确命题的序号都填上) . . . .

10. 在平面直角坐标系 中, 已知点 (0, 2), 直线 : + ? 4 = 0. 点 (, ) 是圆 : 2 + 2 ? 2 ? 1 = 0 上的动点, ? , ? ,垂足分别为 , ,则线段 的最大值是 .

11. 已知三棱锥 ? 的各个顶点都在一个半径为 的球面上,球心 在 上, ? 底面 , = √2,则球的体积与三棱锥体积之比是 12. 如图, 在平面直角坐标系 中, 1 , 2 分别是椭圆
2 2




+ 2 = 1( > > 0) 2 的左、右焦点,, 分别为椭圆的上、下顶点,直线 2 与椭圆的另一个 3 交点为 ,若 tan ∠1 = ,则直线 的斜率为 . 4

1

2



13. 如图,一根长为 2 米的竹竿 斜靠在直角墙壁上,假设竹竿在同一平面内 则 的中点 经过的路程为




移动,当竹竿的下端点 从距离墙角 点 1 米的地方移动到 √3 米的地方, 米.
′ ′ ′

14. 已知函数 () = ? ln (0 < < 1) ,若对于任意 ∈ [?1, 1],不等式 () ? e ? 1 (其中 e 是自然对数的底)恒成立,则实数 的取值范围是 .

高二数学 第 1 页(共 4 页)

二. 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答 .题 .卡 .指 .定 .区 . 域内作答,解答时应写出文字说明、证明 . 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 △ 的顶点 (5, 1),边 上的中线 所在直线的方程为 2 ? ? 5 = 0,边 上的高 所在直线的方程为 ? 2 ? 5 = 0. (1) 求顶点 的坐标; (2) 求直线 的方程.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 ? 中,, , 分别是棱 , , 的中点. 已知 ? , = 6, = 8, = 5. (1) 求证:直线 ? 平面 ; (2) 求证:平面 ? 平面 .




高二数学 第 2 页(共 4 页)

17. (本小题满分 14 分) 某景点为了提高门票收入,需要进一步改造升级,经过市场调查,门票新增额 (万元)与改造投入 51 2 1 3 资金 (万元)之间满足: = ? + ? ln()(1 ? ? 60) .当 = 10 时, = 102.景 50 100 点新增毛收入 ()(万元)为门票新增额扣除改造投入资金. (1) 求 = () 的解析式; () (2) 若将 定义为投入改造资金的收益率,试确定投入资金 (万元)的大小,使得改造资金的 收益率最高,并求出最高收益率. (参考数据:ln 5 = 1.61)

18. (本小题满分 16 分) 如图,圆 :2 + 2 = 8 内有一点 (?1, 2), 是过点 且倾斜角为 135? 的弦. (1) 求弦 的长; (2) 若圆 与圆 内切且与弦 相切于点 ,求圆 的方程.


高二数学 第 3 页(共 4 页)

19. (本小题满分 16 分) 已知 (?2, 0), (2, 0) 是椭圆 的左、右顶点, 是其右焦点, 是椭 圆 上异于 , 的动点,且 △ 面积的最大值为 2√3. (1) 求椭圆 的方程及离心率;


(2) 直线 与过点 关于 轴的垂线交于点 ,当直线 绕点 转动时,试判断以 为直径的圆与直线 的位置关系,并加 以证明.









20. (本小题满分 16 分) 已知函数 () = ln ? ,() = () + ? 6 ln ,其中 ∈ R 为常数. (1) 当 = 1 时,试判断 () 的单调性; (2) 若 () 在其定义域内为增函数,求实数 的取值范围; (3) 设函数 ?() = 2 ?+4, 当 = 2 时, 若存在 1 ∈ (0, 1), 对任意的 2 ∈ [1, 2], 总有 (1 ) ? ?(2 ) 成立,求实数 的取值范围.

高二数学 第 4 页(共 4 页)

苏州市 2015 – 2016 学年第一学期期末考试

2016.1.13

高二数学 (附加题)
注意事项: 1. 本试卷共 2 页,满分 40 分,考试时间 30 分钟. 2. 请在答题卡上的指定位置作答,在本试卷上答题无效. 3. 答题前,请您务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置. 21. (本小题满分 10 分) 1 求函数 () = ln + 的最小值. 2 + 1

22. (本小题满分 10 分) 求与圆 :2 + 2 ? 4 = 0 外切,且与 轴相切的动圆圆心 的轨迹方程.

高二数学(附加题) 第 1 页(共 2 页)

23. (本小题满分 10 分) 如图,四棱锥 ? 的底面为正方形,侧棱 ? 底面 , 且 = = 2,, , 分别是线段 , , 的中点. (1) 求直线 与平面 所成角的大小; (2) 求二面角 ? ? 的大小.













24. (本小题满分 10 分) 已知抛物线 = 2 ( ≠ 0)的准线方程为 = ?1. (1) 求抛物线的方程; (2) 设 是抛物线的焦点,直线 : = + ( ≠ 0)与抛物线相交于 , 两点,记 , 的斜 率之和为 .求常数 ,使得对于任意的实数 ( ≠ 0) ,直线 恒过定点,并求出该定点的坐标.

高二数学(附加题) 第 2 页(共 2 页)


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