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2012西南科技大学概率论A卷第一学期期末考试试题及答案


西南科技大学 2012-2013-1 学期

《概率论与数理统计 B》本科期末考试试卷(A 卷)
………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效………………………
课程代码 1 6 1 9 9 0 0 6 0 命题单位 理学院:公共数学教研室



















总分

学院 _____________班级名称_______________学号_____________姓名_____________ 教师________________

一、填空题(共 5 题,每小题 4 分,共 20 分) 1、袋中有 8 个球,其中 6 个新球,2 个旧球,今从袋中随意取走 3 个球后,再从剩下的球中任取一个, 它恰为新球的概率为 .

2、一批产品的废品率为 0.2,每次抽取一个,观察后放回去,下次再取一个,共重复 3 次,则 3 次中恰 有两次取到废品的概率为 . .

3、设随机变量 X 与 Y 相互独立,方差分别为 D( X ) ? 1, D(Y ) ? 4 ,则 D( X ? 2Y ? 1) ? 4、设 X ~ N (1, 2) , Y ~ N (1,3) ,且 X 与 Y 相互独立,则 2 X -Y ~ .

5、设一批零件的直径服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,今从这批零件中随机抽取 16 个,测其直径,算得样本均 值 x=12.075 mm ,样本的标准差 s ? 0.049 mm,则 ? 的置信度为 0.95 的置信区间为 ( 注: z0.05 ? 1.645, z0.025 ? 1.96, t0.05 (15) ? 1.7531, t0.025 (15) ? 2.1315 ) 二、选择题(共 5 题,每小题 4 分,共 20 分) 1、设 A,B 为任意两个随机事件,且 A ? B,P( B) ? 0 ,则下列选项中必然成立的是( (A) (C) ) .

P( A) ? P( A B) P( A) ? P( A B)

(B) P( A) ? P( A B) (D) P( A) ? P( A B) )

2、假设随机变量 X 的概率密度函数 f ( x) 是偶函数,分布函数为 F ( x) ,则( (A) (C)

F ? x ? 是偶函数 F ( x) ? F ? -x ? ? 1

(B) F

? x? 是奇函数
- F ? -x ? ? 1
0
1 4

(D) 2F ( x) X Y 0 2

3、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:

5
1 6 1 4
第 1 页 共 7 页

1 3

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_

《概率论与数理统计 B》-A 卷

则 P{XY ? 0} ? ( (A)

) (B)

1 4

5 12

(C)

3 4

(D) 1 )

4、设随机变量 X 和 Y 不相关,则下列结论正确的是( (A) D( XY ) ? D( X ) ? D(Y ) (C) X 与 Y 相互独立

(B) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) (D) X 与 Y 不独立

5、假设总体 X 服从参数为 ? 的泊松分布, X1 , X 2 ,..., X n 是来自总体 X 的一个简单随机样本,其样本均值 为 X ,样本方差为 S 2 ,已知 ? =a X ? (2 ? 3a) S 为 ? 的无偏估计量,则 a ? (
2 ?



(A) ?1

(B) 0

(C)

1 2

(D) 1

三、 (8 分)设 A, B, C 是随机事件, A, C 互不相容, P( AB) ? 1 , P(C ) ? 1 ,求 P( AB C ) . 4 3

四、 (12 分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中有三件合格品和三件次品,乙箱中仅装有三件 合格品. 从甲箱中任取三件产品放入乙箱后, 求: (1)乙箱中次品件数 X 的分布律及数学期望; (7 分) (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. (5 分)

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《概率论与数理统计 B》-A 卷

第 2 页 共 7 页

五、 (10 分)已知随机变量 X 的概率密度为

?ax ? 1, 0 ? x ? 2 f ( x) ? ? 其他 ? 0,
求: (1)常数 a 的值;(3 分) (2)X 的分布函数 F ( x) ;(4 分)

(3)随机变量 Y ? X 3 的概率密度.(3 分)

六、 (10 分)设随机变量 ( X , Y ) 在区域 D ? {( x, y) x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1} 上服从均匀分布, (1)求关于 X 和 Y 的边缘概率密度,并说明 X 与 Y 是否独立?(7 分) (2)计算概率 P{X ? Y } .(3 分)

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《概率论与数理统计 B》-A 卷

第 3 页 共 7 页

七、 (10 分)设总体 X 的概率密度为
x?0 x?0

其中 ? ? 0 为未知参数, X1 , X 2 ,..., X n 是来自总体 X 的一个简单随机样本。 求: (1) ? 的矩估计量;(5 分) (2) ? 的最大似然估计量. (5 分)

八、(10 分)某种产品的重量为 X ,由长期的经验知 X ~ N (12,1) ,更新设备后,从所生产的产品中 随机地取 36 件,测得样本均值 x ? 12.5 ,如果方差没有变化,问设备更新后,产品的重量是否有 显著变化?(显著性水平取 ? ? 0.10 ) 附: z0.10 ? 1.282, z0.05 ? 1.645, t0.10 (35) ? 1.3062, t0.10 (36) ? 1.3055, t0.05 (35) ? 1.6895, t0.05 (36) ? 1.6883

一、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 1、

3 ; 4

2、 0.096 ;

3、 17 ; 4、 X ~ N (1,11) ; 5、 (12.049,12.101)

二、选择题(每小题 4 分,共 20 分) 1、A; 2、C; 3、C; 4、B; 5、C 三、 (8 分) 解: P( AB C ) ?

………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………

x ? 1 ?? ? e , f ( x,? ) ? ?? ? 0, ?

P( ABC ) ………………………2 分 P(C )
《概率论与数理统计 B》-A 卷 第 4 页 共 7 页

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_

?

P( AB) ? P( ABC ) P ( AB ) ………………………………………4 分 ? 1 ? P(C ) 1 ? P (C )

?
四、 (12 分)

3 ………………………2 分 8

解: (1) X 的分布律

X P

0

1

2

3

1 20

9 20

9 20

1 20

……………………5 分

E( X ) ?

3 …………………………………………………………………2 分 2

(2)设 A={从乙箱中任取一件产品是次品},由全概率公式得

P( A) ? ? P{ X ? i}P{ A X ? i )} …………………………………………3 分
i ?0

3

?
五、(10 分) 解: (1)由 1 ?

1 9 1 9 2 1 3 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? …………………………2 分 20 20 6 20 6 20 6 4 1 ……………………………3 分 2

?

2

0

(ax ? 1)dx ? 2a ? 2 得, a ? ?

x?0 ? 0, ? 2 ? x ? x, 0 ? x ? 2 ……………………………………4 分 (2) F ( x) ? ? ? 4 ? 1? x ? ? 1,

?1 ? 2 1 1 3 y (1 ? y 3 ), 0 ? y ? 8 ? 3 (3) Y ? X 的概率密度 fY ( y ) ? ? 3 ……………3 分 2 ? 0, 其他 ?
六、 (10 分) 解: (1) ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x, y ) ? ?

?2, ? 0,

( x, y) ? D ……………………2 分 其他

?2(1 ? x), 0 ? x ? 1 ……………………………2 分 f X ( x) ? ? ? 0, 其他 ?2(1 ? y), 0 ? y ? 1 ……………………2 分 fY ( y ) ? ? ? 0, 其他
显然,

f ( x, y) ? f X ( x) ? fY ( y) ,所以 X 与 Y 不独立.

………1 分

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《概率论与数理统计 B》-A 卷

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(2) P{ X ? Y } ? 七、 (10 分)

x? y

??

f ( x, y)dxdy ? 2? 2 dx ?
0

1

1? x

x

dy ?

1 ……………3 分 2

解: (1) E ( X ) ?

?

??

0

x?

1

?

e dx ? ? …………………………2 分
?
?

?

x

令 E ( X ) ? X ,得 ? ? X ,故 ? 的矩估计量为 ? ? X ? (2)设 x1 , x2 ,..., xn 为相应于样本的观测值,则似然函数为

1 n ? Xi n i ?1

……3 分

? ? xi 1 ? ? 1 ? e i?? ,xi ? 0(i ? 1, 2,..., n) L(? ) ? ? n ? ? 0, xi ? 0 ? ?
n

…………………………2 分

当 xi ? 0 时,对数似然函数 ln( L(? )) ? ? n ln ? ?

?x
i ?1

n

i

?

xi d (ln L(? )) n ? i ?1 ?? ? 2 ?0 令 d? ? ?
得 ? 的最大似然估计量为 ? ? 八、 (10 分) 解:由题知,需检验假设
?

n

?x
i ?1

n

i

n

?X

………………………………3 分

H0 : ? ? ?0 ? 12,
2

H1 : ? ? ?0 ……………………2 分

由于方差 ? ? 1 已知,故该检验的拒绝域为

z ?

X ? ?0 ? z? 2 ? n
2

…………………………………3 分

又已知 ? ? 0.10 , z?

? z0.05 ? 1.645 ,
………………………3 分

z ?

12.5 ? 12 ? 3 ? 1.645 1 36

z

落入拒绝域中,故拒绝 H 0 ,即设备更新后,产品的重量有显著变化。……………………2 分

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《概率论与数理统计 B》-A 卷

第 6 页 共 7 页

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