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安徽省安庆市望江中学2015届高三第一次月考数学(文)试题


安庆市望江中学 2015 届高三第一次月考 数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。试卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的, 请将答案填在答题卡的相应位置。
1、集合 A ? {x | x ? x ? 6 ? 0}, B ? { y | y ? ln x,1 ? x ? e } ,则集合 A ? C R B
2 2

等于( ) ; D、 [?3, 0)

A、 [?3, 2]

B、 [?2, 0)

(0,3]

C、 [?3, 0] ) ;

2、在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的 (

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 3、已知函数 f ( x) 是偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? A、 ?2 B、2

1 ,则 f (1) 的值是( x
C、1 ) ;

) ; D、0

4、已知函数 f ( x) 满足 f (tan x) ? sin 2 x ? 1 ,则 f (tan

19? ) 的值是( 6
D、

A、

3 2

B、

3 2

C、

3?2 2

3?2 2

5、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 A、有一个内角为 30 的直角三角形 C、有一个内角为 30 的等腰三角形

cos A cos B sin C ,则 ?ABC 是() ; ? ? a b c
B、等腰直角三角形 D、等边三角形

2 ? 6、若函数 f ? x ? ? x ? 2 x tan ? ? 1在 ? ? ?1, 3 ? 上为单调函数,则? 的取值范围是(

) ;

? ? ? ? ? ?? ? A 、 ? ? ? k? , ? ? k? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 3 2 ? 2 ? ?4 ?

B、 ? ? ? k? , ? k ? ? ? k ? Z ? 3 ? 4 ?

? ?

?

?

? ? ? ? ? ?? ? C.、 ? ? ? k? , ? ? k? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ?
? 2 4 ? ?3 2 ?

? ? ? ? D 、 ? ? ? k? , ? k ? ? ? k ? Z ? 3 4 ? ?

7 、已知函数 y ? xf ?( x ) 的图像如图所示 ( 其中 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数 ), 则以下说法错误的是
·1 ·



) ; ;B、当 x ? ?1 时, 函数 f ( x) 取得极大值;

A、 f '(1) ? f '( ?1) ? 0

C、方程 xf '( x) ? 0 与 f ( x) ? 0 均有三个实数根 ;D、当 x ? 1 时,函数

f ( x) 取得极小值
8、函数 f ( x) ? ln(e ? x ) 的图像是(
2

) ;

(第 7 题图)

A

B

C

D

9、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增,若 f ( 1 ) ? 0 , ?ABC 的内角 A 满足

2

f (cos A) ≤ 0 ,则角 A 的取值范围是(
A. [ 2? , ? )

) ;

C. [ ? , ? ] [ 2? , ? ) D. [ ? , 2? ] 3 2 3 2 3 3 3 sin x,sin x?cos x ,给出下列四个命题: 10、定义函数 f ( x) ? cos x,sin x?cos x ? (1)该函数的值域为 [?1,1] ;(2)当且仅当 x ? 2k? ? (k ? z ) 时,该函数取得最大值;(3)该函数是以 ? 2 3? 为最小正周期的周期函数;(4)当且仅当 2k? ? ? ? x ? 2k? ? (k ? z ) 时, f ( x) ? 0 。上述命题中正 2

3

B. [ ? , ? ]

{

确的个数是 ( A 、 1个

)。 B、2 个

C、3 个

D、4 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡的相应位置。
11.函数 f ( x) ?
x

4 ? x2 的定义域是 ln( x ? 1)

12.曲线 y ? 2 在点 P (0,1) 处的切线方程是 13.已知函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像向左平移 ? (0 ? ? ? ? ) 个单位后,所对应函数在区间 [ 调递减,则实数 ? 的值是
·2 ·

? 5?
3 , 6

] 上单

14、设曲线 y ? x

n ?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn ,则
.

a1 ? a2 ?

? a99 的值为

15.给出下列五个结论: ①函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R ) 有 3 个零点; ②函数 y ? log 2 (2 x ? 3) 的图像可由函数 y ? log 2 2 x 的图像向左平移 3 个单位得到 ③若奇函数 f ( x) 对定义域内的任意 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) ,则函数 f ( x) 是周期函数; ④函数 y ? f ( x ? 2) 与函数 y ? f (2 ? x) 所对应的图像关于直线 x ? 2 对称; ⑤ 对 于 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( x), g ( ? x) ? g ( x) , 且 x ? 0 时 , f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 ( 其 中

f '( x), g '( x ) 分别是 f ( x), g ( x) 的导函数,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 (??, 0] 上单调递增.
其中正确结论的序号是 (填上你认为正确的所有结论的序号)。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16 题:(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? x 的定义域为 A, 集合 B ? {x | x ? 2mx ? m ? 9 ? 0} . (Ⅰ )若 A B ? [2,3] ,求实数 m 的值; (Ⅱ )若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围.
2

2

2

17 题: (本小题满分 12 分)
在 ?ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,且 a、b、c 互不相等,设 a=4,c=3, A = 2C 。 (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)求 b 的值。

18 题: (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ? x .
x 2

(Ⅰ )求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ )求函数 f ( x) 在区间 [0, k ]( k ? 0) 上的最大值。

19 题:(本小题满分 13 分)
已知函数 f ( x) ? mx ? nx ? k 为奇函数,且 f ( x) 在 x ?
3

3 2 3 时取得极值 ? 。 3 9

(Ⅰ )求实数 m, n, k 的值; (Ⅱ )过定点 Q (a, b)(a ? 0) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,若这样的切线可以作出三条。
·3 ·

求证: ? a ? b ? f (a ) 。

20 题(本小题满分 13 分)
?ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 B ? 60 ? , a ? ( 3 ? 1)c .
(1)求角 A 的大小; (2)已知当 x ? [

? ?

, ] 时,函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 的最大值为 3,求 ?ABC 的面积. 6 2

21 题(本小题满分 13 分)
已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x =-1 处取得最小值 m -1(m ? 0 )。设函数 f ( x) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点。

·4 ·

高三数学月考答案
一、选择题 BCBDD 二、填空题 11、 (1,2) 12、 y ? x ln 2 ? 1 三、解答题:
16 题:⑴ A ? {x | ?1 ? x ? 3???? x ? R}, B ? {x | m ? 3 ? x ? m ? 3, x ? R, m ? R},
A ? B ? [2,3]? m ? 5

ACBCA

13、

11 ? 12

14、-2

15、③④⑤



A ? ?R B ? m ? 6或m ? ?4
sin A b c ,得 4 3 , = = sin B sin C sin A sin C

17 题: (Ⅰ)解:在 V ABC 中,由正弦定理 a = 因为 A = 2C ,所以 解得 cos C =
2 ; 3

4 3 4 3 ,即 , = = sin 2C sin C 2sin C cos C sin C

(Ⅱ)解:在 V ABC 中,由余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C , 得 9 = 16 + b 2 - 8b 2 ,解得 b = 3, 或b = 7 .
3
3

因为 a、b、c 互不相等,所以 b = 7 .
3

18 题:

(1) f ?( x) ? x(e x ? 2)得x ? 0或x ? ln2,所以函数f ( x)的单调递增区间是 (-?,0)和(ln2, ??),单调递减区间是(0,ln2)

(2) f (0) ? f (1) ? ?1, 且f ( x)在(0,ln 2)上递减,在(ln2,1)上递增. ?当0 ? k ? 1时,f ( x)max ? f (0) ? ?1

当1 ? k时,f ( x)max ? f (k ) ? (k ?1)ek ? k 2



·5 ·

19 题:解:

(1)

f (0) ? 0?k ? o, f ?( x) ? 3m2 ? n
? ?? ?m ? n ? 0 ? ?m ? 3n ? ?2

? 3 ? f ?( 3 )?0 ? ? f ( 3 )?? 2 3 9 ? 3

? m ? 1, n ? ?1, k ? 0

? f ( x) ? x3 ? x, f ?( x) ? 3x 2 ? 1

(2)证明:设切点P(t , t 3 ? t ), 则切线方程为y ? t 3 ? t ? (3t 2 ?1)( x ? t ) 因为切线过点Q(a, b),?b ? t 3 ? t ? (3t 2 ?1)(a ? t ),即2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0 因为直线PQ有三条,即关于t的方程2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0有三个解. 令g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b,即y ? g (t )的图象与x轴有三个交点. g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at , 令g ?(t ) ? 0, t ? 0或t ? a 当t ? 0时, g (t )有极大值g (0) ? a ? b 当t ? a时, g (t )有极小值g (a) ? a ? a3 ? b
0 ? ? g (0)?a?b? 3

?

? g (a )?a?a ?b?0

? ?a ? b ? a3 ? a,即 ? a ? b ? f (a)

20 题:解: (1)因为 B ? 60 ? ,所以 A ? C ? 120 ? , C ? 120 ? ? A 因 为 a ? ( 3 ? 1)c , 由 正 弦 定 理 可 得 : sin A ? ( 3 ? 1) sin C 2? 2? 2? sin A ? ( 3 ? 1) sin( ? A) ? ( 3 ? 1)(sin cos A ? cos sin A) 3 3 3 3 1 ? ( 3 ? 1)( cos A ? sin A) ,整理可得: tan A ? 1 2 2 ? 所以, A ? 45 ? (或 ) 4 ? ? 1 (2) f ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x ? a sin x ,令 t ? sin x ,因为 x ? [ , ] ,所以 t ? [ ,1] 7 分 6 2 2 2 a a 1 f ( x) ? g (t ) ? ?2t 2 ? at ? 1 ? ?2(t ? ) 2 ? ? 1 , t ? [ ,1] 4 8 2 a 1 1 1 1 1 1 若 ? ,即 a ? 2 , f max ? g ( ) ? a ? , a ? ? 3 ,则 a ? 5 (舍去) 4 2 2 2 2 2 2 2 a a a2 1 a ?1, ? 1 ? 3 ,得 a ? 4 若 ? ? 1 ,即 2 ? a ? 4 , f max ? g ( ) ? 4 8 8 2 4 a 若 ? 1 ,即 a ? 4 , f max ? g (1) ? 1 ? 2 ? a ? a ? 1 , a ? 1 ? 3 ,得 a ? 4 (舍去) 4
·6 ·

故 a ? 4 , S ?ABC ? 6 ? 2 3 21 题:解: (1)设 g ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,则 g ? ? x ? ? 2ax ? b ; 又 g ? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,
?

? 2a ? 2


a ?1
b?2

b ? ?1 2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1 ? 2 ? c ? m ?1,
f ? x? ? g ? x? m ? x? ?2, x x
2 2 0 2 2 0

c ? m;

设 P ? xo , yo ?
2



PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? ? x ? ? x0 ? ? x0 ? ?

? 2 x0 2

?

m2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 x0

解得: m ? ? 2 ? 1 ;w.w.w.zxxk.c.o.m
m ? 2 ? 0 得 ?1 ? k ? x 2 ? 2 x ? m ? 0 ? *? x m m 当 k ? 1 时, 方程 ?*? 有一解 x ? ? , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 当当 k ? 1 时, 2 2

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 若 m ? 0 , k ? 1?
1 , m
2 ?1 ? k ? k ?1

?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ?

若 m ? 0 , k ? 1?

1 , m
2 ?1 ? k ? k ?1

?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ?

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 零点 x ?
1 k ?1

k ? 1?

1 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一 m

·7 ·


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