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高中数学 3.4《基本不等式》学案 新人教a必修5

基本不等式(二) 一、 自主学习 预习与反馈 1.已知 x,y 都是整数, (1)若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得 xy ? p (2)若 (积为定制) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得 上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大。 2.设 x,y 满足 x ? 4 y ? 40 ,且 x,y 都是正数,则 lg x ? lg y 的最大值是( A.40 B.10 C.4 3.在下列函数中,最小值为 2 的是( ) A. y ? x ? D.2 B. y ? 3 ? 3 x ?x ) 1 x C. y ? lg x ? 1 (1 ? x ? 10) lg x 1 ( x?4 ) D. y ? sin x ? 1 ? (0 ? x ? ) sin x 2 4. 若 x ? 4 ,则函数 y ? x ? A.有最大值-6. B.有最小值 6 5.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 C 有最大值-2 D.有最小值 2 5 2 ? 的最小值为 x y ★利用均值不等式求最值时,应注意的问题 ①各项均为正数,特别是出现对数式、三角数式等形式时,要认真考虑。 ②求和的最小值需积为定值,求积的最大值需和为定值。 ③确保等号成立。 以上三个条件缺一不可,可概括“一正、二定、三相等” 。 二、 学习探究 【题型一】利用不等式求函数的最值 已知 x ? 5 1 ,求函数 y ? 4x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5 变式 已知 0<x< 1 ,求函数 y=x(1-3x)的最大值。 3 【题型二】含条件的最值求法 已知整数 x,y 满足 8 1 ? ? 1 ,求 x+2y 的最小值。 x y 变式 :已知 x ? 0, y ? 0 ,满足 x ? 2 y ? 1 ,求 1 1 ? 的最小值. x y 【题型三】利用不等式解应用题 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 1m 的造价为 2 150 元, 池壁每 1m 的造价为 120 元, 问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少元? 3 2 知识拓展 1. 基本不等式的变形: (a ? b)2 a?b 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 a?b 2 ;( ;ab ___ ;ab ___( (a ? b)2 ____ 4ab ) ; a2 ? b2 _____ ) ____ 2 2 2 2 2 a ? a2 ? an n 2. 一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 , , an (n ? 2) ,都有, 1 ? a1 a2 an (当且仅当 n a1 ? a2 ? ? an 时取等号) 3. a2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc(a, b, c ? R) 当且仅当 a ? b ? c 时取等号) 巩固练习 1.设 x>0,y>0,x+y=1,则使 m ? x ? y 恒成立的实数 m 的最小值是( C.2 ? ) A. 2 B. 2 2 D2 2 ) 2.设 x,y 满足 x+4y=40,且想,且 x,y ? R ,则 lg x ? lg y 的最大值是( A.40 B。 10 C。4 D。 2 3.已知正项等差数列 ?an ? 的前 20 项和为 100,则 a5 a16 的最大值为( A.100 B。75 C。 50 ) D。 25 ) 4.函数 f ( x) ? x 的最大值为 ( x ?1 1 2 C。 A. 2 5 B。 2 2 D。1 5. 设 x>0,则 y=3-3x- 1 的最大值是 x 6. 函数 f(x)=3x+lgx+ 4 (0<x<1)的最大值为 lg x 7. 求 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 6 (x>-1)的最小值。 x ?1 8. 某单位建造一间背面靠墙的小房, 地面面积为 12 m 2 , 房屋正面每平方米的造价为 1200 元, 房屋侧面每平方米的造价为 800 元,屋顶的造价为 5800 元. 如果墙高为 3 m ,且不计房屋背 面和地面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少? 名题赏析 (2010 上海文数)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小 题满分 8 分。 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ?1 ? 是等比数列; (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n . 5 解析:(1) 当 n?1 时,a1??14;当 n≥2 时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 an ? 1 ? (an?1 ? 1) , 6 * 又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列; ?5? (2) 由(1)知: an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? ?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6? n ?1 n ?1 ?5? ,得 an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6? n ?1 ,从而 ? n ? 90 (n?N*); n ?1 ?5? 由 Sn?1>Sn,得 ? ? ?6? ? 2 2 ? 1 ? 14.9 ,最小正整数 n?15. , n ? log 5 25 5 6

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