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高一数学错题集


5.某城市有大学 20 所,中学 200 所,小学 480 所,现用分层抽样的方法抽取容量为 n 的样 本进行某项调查,已知抽取的中学为 10 所,则样本容量 n 为 40 .

8.现给出一个算法的算法语句如右图。此算法的运行结果是 55
S ? 0 I ? 1



W h ile I ? 9 S ? S ? I I ? I ?1 E n d W h ile

12.已知 { a n } 为等比数列,x,y 之间的一组数据如下:

P r in t S

第8题 x y
?1

0 6

1 7

2 9

10

线性回归方程 ? ? bx ? a 所表示的直线必经过点 ( a 3 , a 7 ) ,则 a 5 = y

.

14. 已知数列 { a n } 中,a1 ? 12 ,a n ? 1 ? a n ? 2 n , 则

an n

的最小值为

4 根号 3 -1

.

17. (本题满分 14 分) 已知锐角 ? A B C 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a , b , c 且 ( b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? (1)求角 A 的大小; (2)求 sin( A ? 10 0 ) ? [1 ? (1)60° (2) 18. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? a , g ( x ) ?
f (x) x

3 bc

3 tan( A ? 10 )] 的值.
0

(1) 若不等式 f ( x ) ? 0 的解集是 { x | a ? x ? 1} ,求 a 的值;

1

(2)若 x ? 0 , a ? 4 ,求函数 g ( x ) 的最大值; (3) 若对任意 x∈ ?1, ? ? ? ,不等式 g ( x ) >0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 (1)-3 (2)-2 (3) (-4,正无穷) 19. (本题满分 16 分) 如图,有一壁画,最高点 A 处离地面 4m,最低点 B 处离地面 2m,若从离地高 1.5m 的 C 处 观赏它,则离墙多远时,视角 ? 最大? 根号 3/2 B C 20. (本题满分 16 分) 设数列 ? a n ? 满足 a1
? 0, 4 a n ? 1 ? 4 a n ? 2 4 a n ? 1 ? 1 ,令 b n ?

A

?

4m

1.5 m
4 an ? 1

D 2m

. 第 19 题

⑴试判断数列 ? b n ? 是否为等差数列?并 说明理由; ⑵若 c n ?
1 a n ?1

,求 ? c n ? 前 n 项的和 S n ;

⑶是否存在 m , n ( m , n ? N * , m ? n ) 使得 1, a m , a n 三数成等比数列? (1) (2)4n/n+1 (3)m=3,n=2;

1.不等式 ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集为

(1,-1)



7.下图是一次考试结果的频率分布直方图,若规定 60 分以上(含 60)为考试合格,则这 次考试的合格率为 3/4 .

2

频率/组距

0.024

0.012 o 20 40 60 80 100

分数/分

(第 7 题图)
0.008

12.若不等式 号 3/3

x 0.004 4 0.002

2

? 3y ≥
2

xy k

对任意的正数 x , y 总成立,则正数 k 的取值范围为 0<k=<根



15. (本题满分 14 分) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图

如下图 ⑴根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;乙班 ⑵计算甲班的样本方差.5.72

.

19. (本题满分 16 分) 已知 f ( x ) ? ? 3 x 2 ? a ( 5 ? a ) x ? b ⑴当不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 (? 1,3 ) 时,求实数 a , b 的值;a=2 或 3 b=9 ⑵若对任意实数 a , f ( 2 ) ? 0 恒成立,求实数 b 的取值范围;b<-0.5 ⑶设 b 为常数,解关于 a 的不等式 f (1) ? 0 . 20. (本题满分 16 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若对任意 n ? N * ,都有 S n ? 3 a n ? 5 n . ⑴求数列 ? a n ? 的首项;5/2 ⑵求证:数列 ? a n ? 5? 是等比数列,并求数列 ? a n ? 的通项公式;5(3/2)n-5
3

⑶数列 { b n } 满足 b n ?

9n ? 4 an ? 5

,问是否存在 m ,使得 b n ? m 恒成立?如果存在,求出 m 的

值,如果不存在,说明理由.26/15 san 11.从装有 5 只红球和 5 只白球的袋中任意取出 3 只球,有如下几对事件:①“取出两只 红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球” ;②“取出两只红球和一只白球”与“取 出 3 只红球” ;③“取出 3 只红球”与“取出的 3 只球中至少有一只白球” ;④“取出 3 只 红球”.其中是对立事件的有 4 ” (只填序号).

17.(本小题满分 14 分) 如图,有两条相交成 6 0 ? 的直路 X X ? , YY ? ,交点是 O ,甲、乙分别在 O X , O Y 上,起 初甲离 O 点 3 km,乙离 O 点 1 km,后甲沿 X X ? 方向用 2 km/h 的 速度, 乙沿 Y ?Y 方向用 4km/h 的速度同时步行. 设 t 小时后甲在 X X ? 上点 A 处,乙在 YY ? 上点 B 处. (Ⅰ)求 t=1.5 时,甲、乙两人之间的距离;7km (Ⅱ)求 t=2 时,甲、乙两人之间的距离;根号 73 (Ⅲ) 当 t 为何值时,甲、乙两人之间的距离最短?5/2
X? 乙· O Y?
?

Y

60

· 甲

X

19.(本小题满分 16 分) 函数 f ( x ) ? A= { x |
1 2
2

1 2

x ? (a ? b)
2

x ?1 ?
2

9 2

, g ( x ) ? ax 2 ? b ( a、 b、 x ? R ),

x ?3

x ?1 ?
2

9 2

? 0}

(Ⅰ)求集合 A;(-根号 15,根号 15) (Ⅱ)如果 b ? 0 ,对任意 x ? A 时, f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的范围;a<=3 (Ⅲ)如果 b ? 0 ,当“ f ( x) ? 0 对任意 x ? A 恒成立”与“ g ( x ) ? 0 在 x ? A 内必有解” 同时成立时,求 3a ? b 的最大值.

4

si 14.二次函数 b 成等比 数列,且函数 f (x)在[-1,0]上的最大值为-6,则 a 的值是 ▲ .
f ( x ) ? ax ? bx ? c
2

的系数 a,b,c 互不相等,若 1 , 1 , 1 成等差数列,a,c,
a b c

13.设{an} ( n ? N * ) 是等比数列,有下列四个判断:①{an2} ( n ? N * ) 是等比 数 列 ; ② ? a n a n ?1 ?
(n ? N )
*

是 等 比 数 列 ; ③ ?an

? a n ?1 ? ( n ? N )
*

是等比数列;④

? lg

an

?

( n ? N ) 是等差数列.其中正确判断的序号是
*

1;2;

.
? 6 0 ,a ?
?

9. 在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边长,若 A
a?b?c s i n A ? s i nB ? s i n C

3

,则

的值等于 1/2

.

7.若一个直角三角形的三边长成等比数列,则该三角形的最小角的正弦值为 3/5

.

wu 8.已知 a ? 3, b ? 2 ,若 a ? b = ? 3 ,则 a 和 b 的夹角为__ 9.已知 ? ? ( 0 , __. 12.已知 S n ? __. 15. (本题满分 12 分) 解关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? 2 m x ? m 2 ? 1 ? 0 . (m-1,1+m) 16.(本题满分 12 分) 等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? a n ? 66, a 2 a n ?1 ? 128, S n ? 126, 求 n 和公比 q 的
5

__.
5 13

?
2

), ? ? (

?
2

, ? ) ,且 s in ( ? ? ? ) ?

33 65

,cos ? ? ?

,则 sin ? ? __ 3/5

1 1? 2

?

1 2 ? 3

?

1 3 ?2

?? ?

1 n ? n ?1

,若 S m ? 9 ,则 m ? __ 9

值. N=7 q=2 或 1/ 2 20.(本题满分 16 分) 设 ? C 1 , ? C 2 , ? , C n 是圆心在抛物线 y ? x 2 上的一系列圆,它们的圆心的横坐标分 ? 别记为 a1 , a 2 , ? , a n ,已知 a 1 ? 切,且顺次逐个相邻外切. (1)求 a 2 ;1/6 (2)求由 a1 , a 2 , ? , a n 构成的数列 ? a n ? 的通项公式; (3)求证: a 1 ? a 2 ? ? a n ?
2 2 2

1 4

, a 1 ? a 2 ? ? a n ? 0 ,又 ? C k ( k ? 1, 2, 3 ? n ) 都与 x 轴相

1 4

.

liu
? x ? y ? 1 ? 0, ? 10.已知实数 x , y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 , ? x ? y ? 1 ? 0, ?

若使 Z

? a x ? y ( a ? 0 ) 取得最大值的最优解有无数

个,则 a 值为

-1


? 1, ? 3 x 2 ? 1, ? ??, ? 3 x 2010 ? 1 的方差为

5.若数据 x1 , x 2 , x 3 , ? ? ? x 2010 的方差为 2 ,则 ? 3 x1 Qi

8 .

16. 如图所示的茎叶图是青年歌手电 甲 乙 视大奖赛中 7 位评委给参加最后决赛的两位选手 8 5 7 9 甲、乙评定的成绩,程序框图用来编写程序统计 8 5 5 4 8 4 4 4 6 7 每位选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值) , 2 9 3 试根据下面条件回答下列问题: (1)根据茎叶图,乙选手的成绩中,中位数和 众数分别是多少? (2)在程序框图中,用 k 表示评委人数,用 a 表示选手的最后成绩 (各评委所给有效分数的平 均 值 ). 那 么 图 中 ① ② 处 应 填 什 么 ? “S1=S-max-min”的含义是什么? (3)根据程序框图,甲、乙的最后成绩分别是 多少? (1)84 84 (2)

6

ba 6.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 s 是 12



jiu 17、在Δ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c 且满足 c sin A ? a cos C . (1)求角 C 的大小; (2)求 3 s in A ? c o s ( B ? (1)45 (2)大 105:60°°
?
4 ) 的最大值,并求取得最大值时角 A , B 的大小.

19、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流密 度达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时, 车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 2 ?x?2 0时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次 0 0 函数。 (1)当 0?x?2 0时,求函数v(x)的表达式; 0 (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时) f (x) ? x?v(x) 可以达到最大,并求出最大值。 (精确到 1 辆/小时) 。 (1)v=-x/3+200/3 (2)x=100 3333

14、 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列, 将这 n ? 2 个 数的乘积记作 T n ,再令 a n ? lg T n , (n∈N*) ,则数列 { a n } 的通项公式是 。

shi 14.如图是由所输入的 x 值计算
y

值的一个算法程序,若 x 依次取数列 { n 2 15 .

15 n + 60}
R e ad x

( n ? N * )的项,则所得 y 值中的最小值为

If x ? 6 T h e n y ? x ?1
2

11.正方形 ABC D 的中心为 (3, 0) , A B 所在直线的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则正方形 ABC D
E ls e

的外接圆的方程为 (x-3)?+y?=250/16


ABC

y ? 3x ? 5

9.把一段长为 1 的篱笆分成两端,分别作为钝角三角形

的两边

AB

和 B C ,且

E n d If P r in t y

7

? A B C ? 120

?

,则三角形面积的最大值为

根号 3/8



十一 4、已知扇形的周长为 6cm,圆心角为 1 弧度,则该扇形的面积为 18
cos( C ? 15、 A B C 中, 设内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c , ?

cm

2

?
4

) ? cos( C ?

?
4

) ?

2 2

(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 3 且 sin A ? 2 sin B ,求 ? ABC 的面积

17 、 汽 车 在 公 路 上 行 驶 时 , 安 全 车 距 d ? m ? 正 比 于 车 速 v ? k m/ h 的 平 方 , 当 ?
v ? 1 0 0k m / h时,安全车距为 20 m .

(1)求安全车距 d ? m ? 与车速 v ? km / h ? 的关系式; (2)若车身长为 5 m ,当车速为多少时,一小时内的车流量最大? (车流量=
距离 安全车距 ?车身



(1)d=1/500v?

十二 4.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20—80 mg/100ml(不含 80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证,并处 200 元以上 500 元以下罚款;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车, 处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证,并处 500 元以上 2000 元以下罚 款.据《法制晚报》报道,2009 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,全国查处酒后驾车和 醉酒驾车共 28800 人,如图是对这 28800 人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图,则属于醉酒驾车的人数约为 频率 组距
0.02 0.015 0.01 0.005 20 30 40 50 60 70 80 90 100 z≤100

5760

人.

开始 x←1,y←1

z←x+y

酒精含量 (mg/100ml) 第4题

x←y y←z

y 输出z

第5题
8

8.过点 P ? 1,1 ? 且与直线 2 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 程的一般式表示) 9.已知函数 f ( x ) ?
4
x

2x+y-3=0

.(结果用直线方

? a
x

为奇函数,则 a ? __ -4^x

_____.
???? ??? ? ??? ?

2

13.在 ? A B C 中, A B ? 3 , A C ? 4 , B C ? 5 , O 点是内心,且 A O ? ? 1 A B ? ? 2 B C ,则
?1 ? ? 2 ?

3/2

5/6 .学

15. (本小题满分 14 分)设两个非零向量 e1, e2 不共线. (1) 设 m=k e1 + e2, n=e1 + k e2, 且 m∥n,求实数 k 的值; (2) 若 e 1 =2, e 2 =3, e1 与 e2 的夹角为 60°,试确定 k 的值,使 k e1 ? e 2 与 e1 ? k e 2 垂直. (1)-1 (2) (-13+-根号 133)/6 18. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x ) ? 2 m cos 2 x ? 2 3 m sin x ? cos x ? n ( m ? 0) 的定义 域为 [ 0 ,
?
2 ] ,值域为 [1, 4] .

??

?? ?

??

?? ?

(1)求 m , n 的值; (2)若 f ( x ) ? 2 ,求 x 的值. (1)1 2 (2)π /6-kπ 或π /2-kπ

十三 6.执行下面的程序框图,输出的 k ? 7 .

7.下图是一次考试结果的频率分布直方图,若规定 60 分以上(含 60)为考试合格,则这 次考试的合格率为 0.88 .

频率/组距
0.024

0.012

0.008 0.004 0.002

9
o 20 40 60 80 100 分数/分

19. (本题满分 16 分) 已知 f ( x ) ? ? 3 x 2 ? a ( 5 ? a ) x ? b ⑴当不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 (? 1,3 ) 时,求实数 a , b 的值; ⑵若对任意实数 a , f ( 2 ) ? 0 恒成立,求实数 b 的取值范围; ⑶设 b 为常数,解关于 a 的不等式 f (1) ? 0 . (1)b=9 (2)-0.5 (3)b<-13/4 无解 b≥-13/4 (5+根号 4b+3/2,正无穷)∪(负无穷,5-根号 4b+3/2) a=2 或 3

20. (本题满分 16 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若对任意 n ? N * ,都有 S n ? 3 a n ? 5 n . ⑴求数列 ? a n ? 的首项; ⑵求证:数列 ? a n ? 5? 是等比数列,并求数列 ? a n ? 的通项公式; ⑶数列 { b n } 满足 b n ?
9n ? 4 an ? 5

,问是否存在 m ,使得 b n ? m 恒成立?如果存在,求出 m 的

值,如果不存在,说明理由. (1)5/2 (2)15/2(3/2)^n-1 -5 (3)2

十四 11. 函数 f ( x ) ? x | x ? 1 | 的单调减区间是 (负无穷,0)∪(1/2,1) 8.32 .

12. 右图是一组数据的频率直方图,则这组数据的平均数为

10

? x ? y ? 2 ? 0, ? , 则 z ? 2 x ? y 的最小值是 9. 设 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 , ?y ? 2 ?

6

.

20. (本小题满分 16 分) 设数 { a n } 前 n 项 和 S n 满 足 : S 3 ?
3 2 , 且 Sn ? 1 3 a n ? c ( c 为 常 数 , n ? N ).
*

(1) 求 c的 值 及 数 列 { a n }的 通 项 公 式 ; (2) 设
bn ? ? a n ? n ? n , 若 bn ?1 ? bn 对 一 切 n ? N 恒 成 立 , 求 实 数 ?的 取 值 范 围 .
2 *

(1)2/3 (-1/2)^n-1 (2)(负无穷,8/3) 十五 9.投掷一颗质地均匀的骰子两次,观察出现的点数,记下第一次的点数为 m ,第二次的点 数为 n ,设向量 a ? ? m , 2 ?, b ? ?3 , n ? ,则“向量 a与 b 共线”的概率为 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? lg
1? x 1? x

1/18

(1)求 f ? x ? 的值域; (2)证明 f ? x ? 是奇函数; (3)判断函数 y ? f ? x ? 与 y ? 2 的图 像是否有公共点,并说明理由。 (1)(0,正无穷) (2) 20.(本小题满分 16 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,满足 S n ? 2 ? a n (1) 求数列 ?a n ? 的通项公式
2 (2) 设数列 ?b n ? 满足 b n ? ? a n ? a n ,若 n ? 5 时, b n ?1 ? b n 恒成立,求实数 ? 的取值

范围 (1)(1/2)^n-1 (2)(0,3/32]

十六 9.已知 ? ? ( 0 ,
?
2 ), ? ? (

?
2

, ? ) ,且 s in ( ? ? ? ) ?

33 65

, cos ? ? ?

5 13

,则 sin ? ? _

11

13.当 x ? (1, 2) 时,不等式 x 2 ? m x ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是__ ▲ __ 设 ? C 1 , ? C 2 , ? , C n 是圆心在抛物线 y ? x 2 上的一系列圆,它们的圆心的横坐标分 ? 别记为 a1 , a 2 , ? , a n ,已知 a 1 ? 切,且顺次逐个相邻外切. (4)求 a 2 ; (5)求由 a1 , a 2 , ? , a n 构成的数列 ? a n ? 的通项公式; (6)求证: a 1 ? a 2 ? ? a n ?
2 2 2

1 4

, a 1 ? a 2 ? ? a n ? 0 ,又 ? C k ( k ? 1, 2, 3 ? n ) 都与 x 轴相

1 4

.

十七

设△abc 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c 且满足 cosB/sinB+cosC/sinC=1/sinA 1) 求证:a?=bc 2) 若 cos(b-c)+cosA=1,求角 A 的大小 已知 a∈R 时,集合[a,a?+2]有且只有三个整数,则 a 的取值范围是_____________ 十八 14.在 ? A B C 中,已知 ? A ? 1 2 0 ? , AB ? AC ? 2 , D 是 B C 边的中点,若 P 是线段 AD 上任意一点, 则 P A ? P B ? P A ? P C 的最小值为
??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

-1



20.已知向量 a = (2 cos x , 2 sin x ) , b = (cos x , ? 3 cos x ) , 函数 f ( x ) ? a ? b , g ( x ) ? f (
?
6 x?

?
3

) ? a x ( a 为常数) .

(1)求函数 f ( x ) 图象的对称轴方程; (2)若函数 g ( x ) 的图象关于 y 轴对称,求 g (1) ? g (2) ? ? ? g (2010) 的值; (3) 已知对任意实数 x1 , x 2 , 都有 | c o s 时取“ ? ”. 求证:当 a ?
2? 3
12

?
3

x1 ? c o s

?
3

x 2 |?

?
3

| x 1 ? x 2 | 成立, 当且仅当 x1 ? x 2

时,函数 g ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 上是增函数.

(1)π /3+π n/2 (2)0 (3)

15.已知角 ? 的终边上有一点 P ( ? 3 , a ? 1) , a ? R . (1)若 ? ? 120 ? ,求实数 a 的值; (2)若 cos ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,求实数 a 的取值范围. (1)-2 (2)(负无穷,-1)
开始 输入 x



x?2

N N


y ? 2
x ?1

x ? ?2

y?

x?2

y ? ?2 x ? 4

输出 y 结束

十九 17.在锐角 △ A B C 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 s in A ? (1)求 ta n (1) (2)根号 3 18、若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 接近 m . (1)若 x 2 ? 1 比 3 接近 0,求 x 的取值范围; (2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a 2 b ? ab 2 比 a 3 ? b 3 接近 2 ab ab ; (1)(-2,2) (2)
2

2 3

2



B ?C 2

? s in

2

A 2

的值; (2)若 a ? 2 , S △ A B C ?

2 ,求 b 的值.

13

14


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